高考数学常用数值篇1
摘要：“数学是思维的体操”，而数学学科的本质是思维。要提高学生对数学的兴趣，关键是提高他们的思维反映能力。针对文科数学来讲，导数与函数相结合，是一个难点，在高考题目里怎样做到准确有效的解题，就需要从提高学生的能力和培养创新思维上入手。
关键词：导数；函数；高考；思维力
【中图分类号】G424.1
引言：作为文科生来讲，力求使学生掌握基础知识和常见题型，结合高考内容有适当的提升和综合。中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，是高考的重点和热点。导数处于初等数学和高等数学的衔接点，同时具备函数、不等式以及常量和变量的互动特点，自纳入高中数学以来就一直是命题的热点。
一、导数在高考试题中的分布
文科高考数学题一小一大，一般总计17分：基础分值为11分，属于通性通法，为学生可以掌握的内容；综合分值6分，往往涉及含参和恒成立的问题，有一定难度。综观近几年全国高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点：（1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围），和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题；（2）求极值，函数单调性，应用题；（3）函数、数列和导数的综合应用问题。而其中增强学生运用导数研究函数的意识、体会、感悟，并学会用函数的思想方法在综合问题中的应用，提高分析转化问题以及构造函数解决问题的能力。
《考试大纲》对导数的考查要求一般分成三个层次：一是主要考查导数的概念及导数的几何意义，求导公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间，判定函数的单调性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和有关不等式和函数的单调性等内容有机地结合在一起设计综合题，加强能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义。
二、高考热点问题示例
热点一：导数的几何意义
导数的几何意义是高考涉及导数知识时经常考查的一个知识点，如求切线的斜率、求切线的方程等，难点在于在于对其几何意义的正确理解。
例1已知曲线y=13x3+43
（1）求曲线在点p（2，4）处的切线方程；
（2）求曲线过点p（2，4）的切线方程；
（3）求满足斜率为1的曲线的切线方程。
解析：（1）y′=x2
在点p（2，4）处的切线的斜率k=y′|x=2=22=4
曲线在点p（2，4）处的切线方程为y—4=4（x—2）
即4x—y—4=0
（2）设曲线y=13x3+43与过点p（2，4）的切线相切于点a（x0，13x03+43），则切线的斜率k=y′|x=x0=x02
切线方程为y—（13x03+43）=x02（x—x0）；即y=x02·x—23x03+43
点p（2，4）在切线上，4=2x02—23x03+43
即x03—3x02+4=0
x03—8—3x02+12=0；即（x0—2）2（x0+1）=0
解得x0=—1，或x0=2
故所求切线方程为4x—y—4=0或x—y+2=0
规律方法：根据条件列方程或方程组是解决该问题的主要方法，灵活运用x=x0处的导数就是该点处的切线的斜率是解决有关切线问题的关键.由导数的几何意义，可知点（x0，f（x0））处的切线方程为y=f′（x0）（x—x0）+f（x0）。
变式1、曲线y=x2—x在点（1，0）处切线的倾斜角为（）
变式2、（2010年四川）设曲线y=x2在点（1，a）处的切线与直线2x—y—6=0平行，则a=（）
思考：（2010·江苏）函数y=x2（x>0）的图象在点（ak，a2k）处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1，其中k∈n*，a1=16，则a1+a3+a5的值是________.
热点二：导数的简单应用
导数的简单应用包括：求函数的极值、单调区间，判定函数的单调性等
例2、（2008·湖北）已知函数f（x）=（m为常数，且m>0）有极大值9。
（1）求m的值；
（2）若斜率为—5的某直线是曲线y=f（x）的切线，求此直线方程。
解析：（1）令f′（x）=3x2+2mx—m2=（x+m）（3x—m）=0，则x=—m，或x=m3.
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：
从而可知，当x=—m时，函数f（x）取得极大值9，
即f（—m）=9，m=2。
（2）由（1）知，f（x）=x3+2x2—4x+1
依题意，知f′（x）=3x2+4x—4=—5
x=—1，或x=—13
又f（—1）=6，f—13=6827，
所以切线方程为y—6=—5（x+1），或y—6827=—5x+13
即5x+y—1=0，或135x+27y—23=0。
规律方法：此题属于逆向思维，但仍可根据求函数极值的步骤求解，但要注意极值点与导数之间的关系，利用这一关系f′（x）=0建立字母系数的方程（组），通过解方程（组）确定字母系数，从而解决问题。
练习1、若函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则的取值范围为（）。
易错题：函数f（x）=x3+3x2+3x—a的极值个数为：
a.2B.1C.0D.与a值有关
分析：（1）对多项式函数求导转化为函数根与判别式的关系；
（2）判断为极值的条件：1f′（x）=0。
2在该点附近导数符号相反。
练习2、函数f（x）=12x—x3在区间上最小值为。
变式题：函数f（x）=12x—x3在区间上满足f（x）>m恒成立，求m的取值范围。
可作如下分析：
1在闭区间上最值的求法可简单理解为：极值+端点处的函数值大小比较。
2变式题加了恒成立，本质上仍是求最小值。
热点3、利用导数求解不等式恒成立问题
例3、设函数f（x）=13x3—（1+a）x2+4ax+24a，其中常数a>1
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若当x≥0时，f（x）>0恒成立，求a的取值范围。
解：第（1）问略
（2）当x≥0时，f（x）在x=2a，或x=0处取得最小值.
f（2a）=13（2a）3—（1+a）（2a）2+4a·2a+24a
=—43a3+4a2+24af（0）=24a
由x≥0时，f（x）≥0恒成立，得a>1，f?2a?>0，f?0?>0，
故a的取值范围是（1，6）
规律方法：（1）当函数中含有参数时，要根据解不等式的需要对参数进行分类讨论，讨论时要不重不漏；（2）要注意根据各个因式的符号将f′（x）>0等价转化为常见的不等式，很多情况下都是转化为一元二次不等式，所以对一元二次不等式的解法要熟练掌握，特别是含参数的一元二次不等式.（3）对恒成立问题和函数知识结合紧密，是学生的一个难点也是高考的一个考点，应对根的分布与不等式的最值问题慢慢让学生学会融会贯通。
练习：设函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R.
（1）当a=—103时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；
（3）若对任意的a∈[—2，2]，不等式f（x）≤1在[—1，1]上恒成立，求b的取值范围。
高考数学常用数值篇2
关键词：导数；极值；增减；参数；取值范围
中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2013）12-0140-03
导数是研究函数的强有力的工具，因为有了导数，函数更显得生机和活力，也为学生解决函数问题开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间。一直以来，导数都是高考命题的热点，有些固定模式的题型常考，虽入手点容易但易错，比如说导数为0的有些问题学生因理解不够全面时常产生困惑，如果把这些问题本质理解清楚，学生便不会因为记不住结论而经常犯错了。
问题一判断极值点的个数
《考试说明》中要求学生了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，利用导数求极值是高考考点。
例1、问函数的极值点有几个？
错解：只有一解X=1
函数的极值点有1个.
学生都知道极值点得通过来解，但导数等于0的点可能不是函数的极值点，如本题：在R上递增，无极值存在。也就是说，若存在，是处取得极值的必要不充分条件。正是因为对极值概念掌握得不够全面，所以部分学生犯错了，函数f（x）在x=x0处取得极值的充要条件是左右两侧的符号不同。
问题二已知函数在某个区间上是增（减）函数，求参数的取值范围
复杂函数的单调性通过导数来求解便不复杂了，已知函数单调性求参数取值范围是导数考查问题中的常见题型。
例2、已知
若在[1，4]上单调递减，求的取值范围。
错解：在[1，4]上单调递减在[1，4]上恒成立
用分离参数得到
事实上，函数f（x）在区间上的单调性并不排斥在区间内个别点处有（如在R上为增函数，但它在x=0处导数为0），甚至可以在无穷多个点处，只是这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间即在区间的任意子区间内都不恒等于0.因此，在（a，b）内可导的函数在（a，b）上递增（或递减）的充要条件恒成立。本题的结果应是在[1，4]上恒成立来解得，然后检验参数等号的取值能否使不恒为0，显然是满足的。对这个问题最后等号的检验一般较为显然，所以在解题的过程中经常被省略不写。学生若能借助实例把这当中的本质理解清楚，便不会再漏掉等号了。
问题三已知函数存在增（减）区间，求参数取值范围
这一类型的题目容易让学生与问题二那种类型的题目混淆起来，一个是恒成立问题、一个是存在性（有解）问题，要注意当中的区别与联系。
例3、已知
若存在单调递减区间，求a的取值范围。
错解：存在单调递减区间有解
用分离参数得到
对一个函数求减区间常令来解，所以在解决这道题时，学生此时产生了疑问，到底导数等于0可取还是不可取？其实当a=-1时，
无减区间，所以此时的等号不成立。
我们可以详细地研究一下，若
高考数学常用数值篇3
【关键词】中值定理；单调性；最值；凹凸性
在数学世界里，不等关系要比相等关系更广泛的存在，不等式的研究是不等关系的一个重要内容，数学不等式不仅在数学的各个分支都有广泛应用，它还广泛应用在物理，工程，经济，科学等各领域.我们从数学学习这个角度看，从初等数学到高等数学，不等式的证明一直都占有非常重要的地位，它的题型多变，方法也很多，在初等数学中主要有比较法、综合法、分析法、反证法、换元法、数学归纳法等常用方法，在高考中，不等式的证明是一个重点也是难点.到了高等数学，不等式的证明仍是重要的研究内容，这里主要谈谈高等数学中常用的证明不等式的方法.
1利用中值定理证明不等式
中值定理主要是指罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，积分中值定理，应用较多的是拉格朗日中值定理和积分中值定理.利用中值定理证明不等式方法的关键是根据待证的不等式的特点构造出辅助函数，然后利用相应的中值定理证明不等式，下面主要说说怎样利用拉格朗日中值定理证明不等式.
2利用函数单调性证明不等式
函数性态分析主要包括单调性，奇偶性，凹凸性，最值，极值，渐近线几个方面的研究，其中函数单调性是函数性态分析中最主要的内容，利用函数单调性证明不等式是证明不等式问题最有效地方法，在教学中，我们发现学生往往习惯于利用该方法证明不等式问题.在利用该方法时，简单的题目可以直接构造函数，但很多时候是需要恒等变形后再构造函数，这样会使问题变得更容易简单.
4利用曲线凹凸性证明不等式
综上，主要从六个方面介绍了在高等数学一元微积分学中证明不等式的常用的方法，如果学生能够熟练掌握上述的这些方法，那么在证明不等式时就会得心应手，当然在此基础上也要学会灵活应用，因为一个不等式证明往往可能会涉及几个方法的结合.
【参考文献】
[1]吴传生.经济数学：微积分[m].高等教育出版社，2008.
[2]吴赣昌.微积分：上[m].中国人民大学出版社，2009.
[3]同济大学应用数学系.高等数学[m].5版.高等教育出版社，2001.
[4]张新国.吉米多维奇数学分析习题精选精析[m].科学技术文献出版社，2008.
高考数学常用数值篇4
【关键词】高中数学不等式；高考试题；教学策略
随着新课改的实行，高中数学教学内容与教学方式也出现了一系列的变革，在其教学的过程中，更加强调学生的主体地位，作为高中数学教学中的重要组成部分，不等式的学习是一个非常重要的基础理论组成部分，是在很多数学问题解题过程中必不可少的工具，本文就主要对与不等式有关的高考试题进行简单分析，并提出相关的教学策略.
一、不等式教学在高中数学教学中的重要地位
在高中数学教学过程中，基础理论的一个重要组成部分就是不等式的有关知识，其是现实世界不等式关系及刻画日常生活中的相关关系的重要数学模型，是在一些数量关系的研究过程中必备的知识，其在高中数学教学过程中占有非常重要的地位，在概率范围、夹角范围、面面距离、线线距离、线面距离等的研究中具有非常重要的作用，同时其能够为数列前n项最值、单调性、定义域、函数最值等的研究提供极大的方便，在高中数学的整个教学过程中都具有非常广泛的应用范围.另一方面，在不等式的教学过程中，对于学生的数学素养及数学思想的培养具有重要的桥梁作用，不等式的教学思想涉及到方程、函数、转化、数形结合、分类转化等思想，这对于学生各方面能力的提升具有非常重要的作用，通过不等式教学中的分类划归的思想，对于学生的逻辑思维能力、抽象概括能力、动手能力、归纳总结能力、观察分析能力的提升具有非常重要的作用.
二、不等式高考试题的简单分析
在近几年的高考试题的考查过程中，不等式相关知识点，通常不会单独出现，而是会与其他相关知识点相融合来进行考查.在填空题中，主要是考查求最值和取值范围的问题；在解答题中，主要是与函数、导数及数列结合的综合性试题以及应用题中的求最值.下面，本人列举了近三年江苏省高考题中涉及不等式的题目：
2012年江苏高考卷第14题：已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a；clnb≥a+clnc则的取值范围是.
2013年江苏高考卷第14题：在正项等比数列{an}中，a5=，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+an>a1a2…an的最大正整数n的值为.
2014年江苏高考卷第14题：若aBC的内角满足sina+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.
第19题：已知函数f（x）=ex+e-x，其中e是自然对数的底数.（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤ex+m-1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）
12年高考题是利用线性规划来解决问题；13年高考题和14年高考第14题分别将数列和不等式，三角函数和不等式结合起来，进行等价转换；14年高考第19题是不等式与函数，导数，分类讨论相结合的综合性解答题.这几道题目难度较大，涉及知识点较多.不仅会对学生的不等式知识、方法与基本技能进行考查，还会侧重于学生的实际问题的解决能力、分析问题的能力、测试运算的能力、逻辑推理的能力进行考查，考查了学生的数学知识、数学方法、数学思想等.随着新课改的实行，其题目的深度与广度也在不断提升，对于不等式解法及线性规划等问题的考查主要是为了对学生的数学知识、数学方法、数学思想等进行培养.
高中数学不等式教学策略
随着新课改的实行，高中数学的教学理念出现了一定的变化，在教学的过程中，不仅要完成对学生进行相关理论知识的传授，还需要积极的对学生的分析问题及解决问题的相关能力进行培养，这就需要在日常教学过程中，注重相关解题方法的教学，在不等式教学过程中，应该注重对学生的思维能力、实践能力、数学运算能力、空间想象能力进行培养，并要加强不等式与其他相关知识的融合，下面提出几点具体的不等式教学策略.
1.积极提升学生的解题积极性
不等式相关知识与日常生活有着密切的联系，高中阶段的学生已经具有了一定的不等式知识基础，在高中不等式教学的过程中，应该依据学生的实际特点，制定出循序渐进的教学方案，做好初中不等式知识与高中不等式知识的衔接工作，并要积极地设置良好的教学情境，以便于学生对实际问题进行抽象化的处理，积极提升学生在学习过程中的解题积极性，这对于其解题准确率的提升具有积极的作用.
2.积极提升学生的数学思维能力
不等式解题过程中，对于学生的综合运算能力要求较高，学生在实际的学习过程中，只有具备充足的运算能力，才能在实际问题的解决过程中，采取创新性的措施，所以在实际的高中数学不等式教学过程中，应该将不等式解题放置于大环境中，并要加强不等式与立体几何知识、数列、解析几何、函数、三角及方程之间的联系.
3.注重对学生进行推理论证过程中的传授
在实际的不等式有关题目的解题过程中，学生具备一定的推理论证能力是非常必要的，这就需要在日常教学过程中，在进行不等式知识传授的同时，对学生的思维能力进行培养，让学生对不等式中蕴含的思想予以充分的理解，这对于学生的逻辑思维能力及抽象思维能力的提升具有非常重要的作用.
高中数学教学过程中一项非常重要的组成部分就是高考试题中的必考内容，本文就主要对高中数学不等式高考试题的特点进行了简单分析，并提出了相关的教学策略，对于不等式教学效率的提升具有积极的作用.
【参考文献】
改编方式一：改变题干，不改设问
命题者有时会改变一道题的题干——比如设置一个新的函数解析式，但不改变题目的设问.这种改编方式在高考命题中最为常见.
例1[2010年高考数学湖北卷（文科）第21题]设函数f（x）=x3-x2+bx+c，其中a>0，曲线y=f（x）在点p（0，f（0））处的切线方程为y=1.（1）确定b，c的值；（2）设曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））及（x2，f（x2））处的切线都过点（0，2），证明：当x1≠x2时，f′（x1）≠f′（x2）；（3）若过点（0，2）可作曲线y=f（x）的三条不同切线，求a的取值范围.
例2[2007年高考数学全国新课标卷（理科）第22题]已知函数f（x）=x3-x.（1）求曲线y=f（x）在点m（t，f（t））处的切线方程；（2）设a>0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：-a
分析：例1这道高考题的第（3）问其实来自例2的第（2）问，比较可知，例1的第（3）问与例2的第（2）问都提到了过某一点可作曲线的三条不同切线，并要求根据这个条件讨论参数的取值范围，其设问方式是一致的.但曲线所对应的函数却不同，例2中的函数是具体函数f（x）=x3-x，例1中的函数则被命题者设置为含参函数f（x）=x3-x2+bx+c.这种改编方式就属于“改变题干，不改设问”.
改编方式二：条件设问，交换位置
交换高考题中的条件和设问的位置，从而构造出一个新的试题，也是命题者常用的改编方式之一.
例3[2009年高考数学全国大纲卷（理科）第6题]设a，b，c是单位向量，且a·b=0，则（a-c）·（b-c）的最小值为
（a）-2（B）-2（C）-1（D）1-
例4[2008年高考数学浙江卷（理科）第9题]已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a-c）·（b-c）=0，则c的最大值是
（a）1（B）2（C）（D）
分析：单位向量、数量积、夹角、模的最值是向量问题永恒的“主题”，以此为背景的高考题层出不穷.原题例4的条件“（a-c）·（b-c）=0”被改编为例3的设问“求（a-c）·（b-c）的最小值”，而例4中要求解答的“c的最大值”则被改编为例3的条件“c为单位向量”.条件设问一交换，一道崭新的试题由此产生.
改编方式三：转换背景，保留实质
命题者常用的另一种改编方式是转换问题的背景，但不改变其他条件和设问.这种改编方式常见于解析几何问题，命题者把圆改成圆锥曲线，把圆锥曲线改为圆，或者把一种圆锥曲线换成另一种圆锥曲线，就得到了新的命题.
例5[2009年高考数学辽宁卷（理科）第20题]如图1所示，椭圆C过点a1，，两个焦点为（-1，0），（1，0）.（1）求椭圆C的方程；（2）e，F是椭圆C上的两个动点，如果直线ae的斜率与aF的斜率互为相反数，证明：直线eF的斜率为定值，并求出这个定值.
例6[2004年高考数学北京卷（理科）第17题第（2）问]如图2所示，过抛物线y2=2px（p>0）上一定点p（x0，y0）（y0>0），作两条直线分别交抛物线于a（x1，y1），B（x2，y2）.当pa与pB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线aB的斜率是非零常数.
例7[2005年高考数学江西卷（文科）第21题第（1）问]如图3所示，m是抛物线y2=x上的一点，动弦me，mF分别交x轴于a，B两点，且ma=mB.若m为定点，证明：直线eF的斜率为定值.
分析：例5这道高考题的第（2）问同时参考了例6、例7这两道高考题.
和例6相比较，命题者把抛物线背景改成了椭圆，用具体数值代替了字母，其他方面几乎没有作改动.两题的条件都是过圆锥曲线上的定点作两条直线与圆锥曲线相交，且这两条直线的斜率互为相反数.两题的设问都是联结两直线与圆锥曲线的交点，要求证明该直线的斜率为非零常数.这两题的解法也是相同的，都要联立圆锥曲线与直线的方程，根据韦达定理求出其中一个交点的坐标，再由两条直线斜率互为相反数求出另一个交点的坐标，最后根据两点的坐标确定所求直线的斜率.
在例7中，由ma=mB可知amB（见图3）为等腰三角形，故∠maB=∠mBa.又a，B在x轴上，所以∠maB+∠mBx=π，所以me与mF的倾斜角互补，斜率互为相反数.比较可知，例6和例7几乎完全一样，其解题思路和方法也基本相同.
改编方式四：穿上“外套”，沿用解法
有些经典的数学问题题目简洁，解法多样，在培养同学们的思维能力方面起着非常重要的作用.命题者会给这类题目穿上各种“外套”，把它转变成新的试题.但层层“剥壳”之后，我们会发现，经典问题的解法就是解决新问题的关键方法.
例8[2009年高考数学山东卷（理科）第20题]等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈n*，点（n，Sn）均在函数y=bx+r（b>0且b≠1，b，r均为常数）的图象上.（1）求r的值；（2）当b=2时，记bn=2（log2an+1）（n∈n*），证明：对任意的n∈n*，不等式··…·>成立.
例9[1985年高考数学上海卷（理科）第8题]求证：（1+1）·1+·1+·…·1+>.
分析：例8看似是一道创新题，但它的第（2）问其实来自例9.例9看似平凡却意蕴丰富，可以用数学归纳法、放缩法、构造对偶式、构造数列等方法解决，其实质就是考查通项公式为1+的数列的前n项之积与的大小关系.
对例8的第（1）问，由an=Sn-Sn-1（n≥2）可得{an}是以b为公比的等比数列，再由=b解得r=-1，由此可求得an=2n-1，所以bn=2n（n∈n*）.因此，例8的第（2）问就转化为证明··…·>成立，即考查通项公式为1+的数列的前n项之积与的大小关系.
两题的本质区别在于数列的通项公式不同，其证明方法是完全一致的.命题者给例9穿上了厚厚的“数列”外套，将它转变成例8，使其看上去复杂了很多.
通过上面的叙述，相信你已经明白了我们的良苦用心.这些高考题看似不同，其实彼此间存在着很多联系，如果我们能进行对比分析、归类总结，就能举一反三、从容应对.因此，在高考复习时，除了要重视教材，还应该重视研习历年高考真题，并有意识地注意以下几点：
（1）在解答高考真题时，不能仅满足于求出问题的答案，而应该关注三个问题：解题思路是怎样获得的？有没有其他解法？哪种解法更简捷？
（2）当遇到难题时，要问问自己：题目到底难在哪里？它考查了哪些知识点？解决类似问题的方法可以套用到这道题中吗？
（3）做完高考真题后，我们要想想：以前做过类似的题目吗？如果能找到和这道高考题类似的题目，就拿来比较一下，找找它们之间的联系和区别：它们的相同之处和不同之处是什么？是条件不同问题相同、条件相同问题不同，还是题目不同解法相似？
数学高考的宗旨之一是考查考生对基础知识、基本技能、基本思想方法的掌握程度，将三者有机地结合，提高考查的层次，而数形结合思想正是这一宗旨的绝佳体现。近些年的高考试题中对数形结合思想方法运用非常广泛，考生若注重这一思想方法的培养，解题时既省事又省时。下面简单讨论一些具有代表性的高考题。
一、解决值域、最值问题
中学数学中经常出现此类问题，通过图形可以迅速判断出取值范围。
点评线性规划在教材中的地位决定了它在试卷中的地位，所以在高考中多以选择题、填空题的形式出现。由于它的应用十分广泛，考的几率很大，它的内容单一，考纲要求不高，2013年及以后有可能与其他内容综合命题，要特别关注。
例2求函数y=x-1-2x的值域。
点评本题可用多种解法，比较而言，利用数形结合解题更加容易，因为y1与y2这两个函数图象都是我们比较熟悉的，在定义域内y1与y2同时取得最大值，即可得到y的最大值。
二、解方程问题上的应用
通过绘制精确的数学图形来考虑方程的解，特别对于方程解的个数问题事半功倍。
（1）在同一坐标系中作出函数图象y1=12x，y2=|x-1|，如图4。
（2）作图时已不难发现并证明直线y1=12x与y2=|x-1|的图象相切。
（3）由图可直观地看出y=kx，k∈（0，12）时与y2=|x-1|有三个交点，即该方程的实数解有三个。
点评方程f（x）=g（x）的实数解，就是函数y1=f（x）与y2=g（x）图象交点的横坐标。有些涉及到方程解的问题，可以通过将方程适当变形，使等号两边都是我们比较熟悉的函数，然后再通过函数的图象加以讨论。
三、解决某些数列问题
有时按照常规解法解决某些数列问题较为烦琐，不妨用数型结合来试一试。
解析除了可以用等差数列的基本性质解题外还可以通过数形结合来处理这个问题。由于a1>0，a2003+a2004>0，a2003・a20040且a20040中最大的自然数是4006。
点评数列问题结合图形来解题比较少见，此题运用二次函数图象的特征将数与形巧妙的结合起来，使所求的Sn的范围变得很直观。遇到此类问题可尝试这种解法。
四、解决不等式问题
不等式可以在坐标轴或数轴上表示出来，以此表示出不等式的解集。
关键词：考研数学潍坊科技学院
中图分类号：o1文献标识码：a文章编号：1672-3791（2013）04（b）-0188-01
考研是许多学生的梦想，也是许多学生找到理想工作的前提。因此考研几乎成为众多学生追寻更高境界的一条路。针对于潍坊科技学院的学生来说亦是如此。很多学生怀有考研梦，可是对于数学的恐惧让很多学生放弃考研。追其原因主要是潍坊科技学院的学生有一半左右来自职业高中，其数学基础很差，在大一学习数学的时候也就刚刚跟上课本的进度，根本就没有拓展。就是因为这样，大部分职业高中进入某院的学生选择就业，参加考研的学生仅占一成左右。基于这样的情况，笔者对职业高中考入潍坊科技学院的学生考研数学复结了几点建议，希望能对考研的学生起到帮助。
数学在考研中所占分值为150，比重大，属于提分的科目。因此，复习好数学对考研成功来说非常重要，针对潍坊科技学院的学生笔者认为有以下几方面进行关注。
第一，坚持基础为主，课本的为主，打牢基础。某院的本科高等数学教材选用的是同济大学的高等数学，是一本非常好的数学教材，对于考研学习来说非常实用。学生应该以此教材的内容为主，首先把教材的内容弄透，特别是定义。比如说极限、导数、积分的定义，这是必须要弄明白的，只有明白了定义其原理就掌握了，这样就会对于拓展的考研题目可以从定义入手了。首轮的复习必须把课本看透，课本上的题目都要弄懂，力争把课后的题目都做一遍。线性代数相对来说是简单的，其定义结论性的内容是在空间向量那部分，其余的都是计算性内容，基本方法容易掌握，复习中只需要掌握其基本计算方法即可。概率的知识难点在于后面的统计部分，复习好这一块，要求学生必须把概率的分布熟练，理解透彻，在考研中的这部分题目一般也是具有规律可循。
无论考数几，高等数学部分都是最重要的，因此对微积分中的基本概念重新过一遍，一定要理顺。特别是在考纲中要求“理解”的概念更要重视。例如，函数（一元或多元）、极限、连续、导数（偏导数）、微积分（全微分）、各种积分；极值与最值、曲线的凹凸性与拐点；曲线的三支渐进线。曲率、曲率圆与曲率半径、梯度、散度、旋读；常数项级数的收敛与发散、任意项级数的绝对收敛与条件收敛。幂级数的收敛区间与收敛域。幂级数的和函数；微积方程的阶、解、通解和特解等。对于微积分中的一些定理，要记住定理的条件和结论，知道怎样用这些定理解决有关问题。例如：在闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、零点定理）、微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理、柯西中值定理）、积分中值定理、隐函数存在定理等。
第二，考研要早作准备，提早复习。
通过接触，笔者了解到某院的学生虽然基础差，但是都准备的比较早，有些学生在大三就开始复习高等数学了，这是非常可取的。这部分学生往往都是觉得自己的数学基础比较弱，存着笨鸟先飞的想法，他们往往都是以课本为主；还有个别学生是数学基础比较好，他们本着先复习好数学，然后着手复习专业课的想法，而这些学生往往做一些真题就感觉数学不是这么好复习了。
针对这些学生，笔者建议提早复习可取，但不能盲目的去做真题，难题。并不是你做会真题，难题，考研的时候你的数学就能考出高分。提前准备，及早复习应该以课本基础为主，在此基础上适当的增加一些难度，做一些针对此知识点的真题，循序渐进，一步一个脚印。
第三，一定要有专门的数学复习笔记本。
考研数学的内容多而乱，复习的过程中经常会刚理解了后面的定义定理，前面的又忘记了，因此需要在理解的过程中，把自己理解的东西记好，随时查看。俗话说得好“好记性不如烂笔头”。笔记本的主要作用是用于：（1）复习过程中遇到需要记忆却不容易记的公式定理等，都先记到笔记本里，在后面用到时能随时翻看和记忆；（2）解题时常犯或容易犯的错误记进笔记本里，经常翻看避免发生类似错误；（3）总结解题方法和技巧，记在笔记本里，自己经验总结的东西一定要记下来，比辅导书上总结的更加适合自己。（4）定期写复习感想，记录各阶段的复习心情和感想，勉励自己，始终保持好心情。
第四，熟悉理念考研的真题，多做中档题，少做难题。
在考研试卷中，中档题（难度系数0.3～0.8之间）约占75%～80%。中档题主要考查基本概念、基本知识和基本运算。在复习完一轮之后，每天适当做些往年考研真题和模拟题中的中档题。对于深入理解概念，牢记公式，掌握基本方法是有好处的。可以使你保持良好的备战状态，以便应考。最近几年考研数学试题，主要以考查数学的基本概念，基本方法和基本原理为主，在此基础上考查考生的运算能力，抽象概括能力，逻辑思维能力，空间想象能力和综合运用所学知识解决实际问题的能力。
潍坊科技学院的学生在做题方面可能能力欠缺，但是如果做了大量的题目，采取题海战术，这种欠缺是可以弥补的。
第五，考试前一定要重新记忆数学公式，定理结论。
考前几天一定要反复熟悉微积分中的一些公式，做到牢记公式。例如两个重要极限，一些等价的无穷小量，倒数基本公式，常用的简单函数的高阶导数公式、基本积分公式、牛顿-莱布尼茨公式、积分限函数求导公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式、初等函数的麦克劳琳展开式、一阶线性微分方程的求解公式、函数的傅里叶系数公式等。
这是笔者针对潍坊科技学院学生考研的情况以及大一时高等数学的学习情况思考的几点关于考研数学复习的建议。应该也适合其他基础较差的学生进行考研数学的复习。
参考文献
[1]雷锋斌，仪建红.普通高校学生考研心理分析[J].山西高等学校社会科学学报，1999，11（5）：92-93.
函数f（x）在区间i上的最大值和最小值问题，本质上是一个最优化的问题。求解函数最大值与最小值的实际问题，包括三方面的工作：一是根据实际问题建立目标函数，通常总是选取待求的最优量为因变量：二是按上述的求解方法求出目标函数在相应区间上的最大值或最小值；三是对所求得的解进行相应实际背景的几何意义的解释。同时一方面要深刻理解题意，提高阅读能力，要加强对常见的数学模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面要不断拓宽知识面，提高间接的生活阅历，如了解一些诸如物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，也涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题，培养实际问题数学化的意识和能力。
最值问题综合性强，几乎涉及高中数学各个分支，要学好各个数学分支知识，透彻地理解题意，能综合运用各种数学技能，熟练地掌握常用的解题方法，才能收到较好的效果。
（1）代数法。代数法包括判别式法（主要是应用方程的思想来解决函数最值问题）配方法（解决二次函数可转化为求二次函数的最值问题）不等式法（基本不等式是求最值问题的重要工具，灵活运用不等式，能有效地解决一些给定约束条件的函数最值问题）④换元法（利用题设条件，用换元的方法消去函数中的一部分变量，将问题化归为一元函数的最值，以促成问题顺利解决，常用的换元法有代数换元法和三角换元法）。
①判别法：判别式法是等式与不等式联系的重要桥梁，若能在解多元函数最值过程中巧妙地运用，就能给人一种简单明快、耳目一新的感觉。而应用判别式的核心在于能否合理地构造二次方程或二次函数，还需注意是否能取等号。若函数可化成一个系数含有y的关于x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，在a（y）≠0时，由于x，y为实数，必须有：=[b（y）]—4a（y）c（y）≥0，由此求出y所在的范围确定函数最值。
②配方法：配方法多使用于二次函数中，通过变量代换，能变为关于t（x）的二次函数形式，函数可先配方成为f（x）=a[t（x）—m]2+n的形式，再根据二次函数的性质确定其最值（此类题的解法关键在于用“配方法”将二次函数一般式化为顶点式，同时要考虑顶点的横坐标的值是否落在定义域内，若不在定义域内则需考虑函数的单调性）。
③不等式法：均值不等式求最值，必须符合“一正、二定、三相”这三个必要条件，因此当其中一些条件不满足时应考虑通过恰当的恒等变形，使这些条件得以满足“和定积最大，积定和最小”，特别是其等号成立的条件。（在满足基本不等式的条件下，如果变量的和为定值，则积有最大值；变量的积为定值，则和有最小值。本例中计算的目的，是利用隐含在条件之中的和为定值，当然这里还需要利用系数的凑合才能达到目的，具有一定技巧）
④换元法：换元法又叫变量替换法，即把某个部分看成一个式子，并用一个字母代替，于是使原式变得简化，使解题过程更简捷（在利用三角换元法求解问题时，关键还是要在掌握好三角函数常用关系式的基础上，结合所求解的函数式，慎重使用）。
（2）数形结合法。数形结合法是数学中的一种重要的思想方法，即考虑函数的几何意义，结合几何背景，把代数问题转化为几何问题，解法往往显得直观、简捷。通过数与形之间的对应和转化来解题，有许多的优越性。将抽象的数学语言和直观的图形结合起来，借助几何图形活跃解题思路，使解题过程简化。有时函数最值也借助数形结合方法来求解。
①解析式：解析法是观察函数的解析式，结合函数相关的性质，求解函数最值的方法。
②函数性质法：函数性质法主要是讨论利用已学函数的性质，如函数的单调性求函数最值等。
③构造复数法：构造复数法是在已经学习复数章节的基础上，把所求结论与复数的相关知识联系起来，充分利用复数的性质来进行求解。
④求导法（微分法）：导数是高中现行教材新增加的内容，求导法求函数最值是应用高等数学的知识解决初等问题，可以解决一类高次函数的最值问题。找闭区间[a，b]上连续的函数f（x）的最大（或最小）值时，将不可导点、稳定点及a，b处的函数值作比较，最大（或最小）者即为最大（或最小）值。
关键词：高中数学；导数；考查内容；解题方法
中图分类号：G633.6文献标识码：a文章编号：1992-7711（2017）01-0110
一、导数在高考中的考试内容
1.运用导数的有关知识，研究函数最值和极值问题
在考试中经常会遇到要求在一定条件下使“强度或功率最大”“用料最省或成本最低”“效率最高或生产过程最优”等问题，即求函数的最大值与最小值问题。利用函数的导数，求函数在区间[a，b]上的最大值及最小值。先求出方程y=0在区间[a，b]内的解，并计算出相应的函数值，再与区间端点a、b处的函数值比较，即可选出最大值与最小值及相应的x的值。
2.利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率问题
高考考查的重点内容之一：求曲线的切线。例如，求曲线y=f（x）在点p（a，f（a））处的切线方程，过点（a，b）的直线与曲线y=f（x）的相切问题，或者求两个曲线y=f（x）和y=g（x）的公切线问题。
3.运用导数的有关知识，研究函数的单调性
函数的单调性在高考试卷中，所占的地位是比较重的。求可导函数单调区间的一般步骤和方法：（1）确定函数f（x）的定义区间；（2）求f（x），令f（x）=0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；（3）把函数f（x）的间断点，即f（x）无定义点在横坐标上各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f（x）的定义区间分成若干个小区间；（4）确定f（x）在各小区间内的符号，根据f（x）的符号判断f（x）在每个相应小开区间内的增减性。
4.运用导数研究不等式恒成立（或存在性）
利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数。通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明转化为函数问题。
二、常见的几种解题方法
1.求函数最值和极值
利用导数解决极值和最值问题的题型大概有三类：（1）求函数极值、最值。基本思路：确定定义域，找到疑似极值点，求出单调区间，求出极值，再求出最值。（2）已知函数极值，求系数值或范围。可以利用导函数零点问题转化为方程解问题，求出参数，再检验；也可以转化为函数单调性问题。（3）已知最值，求系数值或范围。
例如：求函数f（x）=x3-3x在[-3，3/2]上的最大值和最小值。
解：由于f′（x）=3x2-3=3（x2-1）=3（x+1）（x-1），则当x∈[-3，-1）或（1，3/2]时，f（x）>0，所以[-3，-1]，[1，3/2]为函数f（x）的单调增区间；当x∈（-1，1）时，f′（x）
例如：函数f（x）=3x4+4（1-p）x3-6px2-12p（1-p）x+12，0是函数f（x）的极值点。求实数p。
解：由于f′（x）=12x3+12（1-p）x2-12px-12p（1-p），0是函f（x）的极值点，所以，f′（0）=12p（1-p）=0，p=1。
2.求曲线的切线方程
这个内容的题型可以分成三种：一是求曲线过某一点的切线，二是求两个函数的公切线，三是过某一点的直线是否与曲线相切。例如：（1）求y=f（x）在x=a处的切线，直接求出f′（x）在x=a处的值再带入公式即可。（2）求两个曲线y=f（x）和y=g（x）的公切线，解决这类问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。这时需要分别切这两个函数的切点为（x1，f（x1））和（x2，f（x2））；再建立x1和x2的等式关系，即：（x2-x1）f′（x1）=y2-y1，（x2-x1）f′（x2）=y2-y1；求x2、x1，进而求出公切线。
3.已知函数的零点，求系数或求零点个数
题型1：判断函数零点的个数。
可以采用方程法、函数图像法、转化法、存在性定理等方法进行求解。
例如：设a∈R，f（x）=-1/3x^3+ax+（1-a）lnx。若函数y=f（x）有零点，求a的取值范围。
首先，f（1）=-1/3+a，
（1）若a≥1/3，则由于当x趋于正无穷时，f（x）趋于负无穷，且存在f（1）≥0，所以f（x）存在零点，也就是说a≥1/3满足条件。
（2）若a
由于a
于是，不难发现，f（x）在x=1取到唯一的极大值也是最大值。
所以，f（x）max=f（1）=-1/3+a
综合（1）（2）可知，a取值范围为a≥1/3。
题型2：已知函盗愕悖求系数。
可以通过图像法（研究函数图像与x轴交点的个数）；方程法；转化法（由函数转化方程，再转化成函数，研究函数的单调性。）
例如：函数设函数f（x）=lnx+ax-1在（0，1e）内有极值。求实数a的取值范围。
解：函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞）
求导函数f（x）=1/x-a/（x-1）2=x2-[（a+2）x+1]/x（x-1）2
函数f（x）=lnx+a/（x-1）在（0，1e）内有极值
f′（x）=0在（0，1e）内有解，令g（x）=x2-（a+2）x+1=（x-α）（x-β）
αβ=1，不妨设0
g（0）=1>0，
g（1/e）=1/e2-（a+2）/e+1
a>e+1/e-2
4.证明不等式恒成立
证明不等式的问题主要有以下三种方法：（上接第110页）（1）构造函数，研究单调性、最值、得出不等关系，有的涉及不等式放缩；（2）讨论法，（3）研究两个函数的最值。如证f（x）>g（x），需证f（x）的最小值大于g（x）的最大值即可。
例如：设f（x）=-x（x-a）^2（x∈R）其中a∈R，当a>3时，证明存在k∈[-1，0]使f（k-cosx）≥f（k2-cos2x）对任意x∈R成立。
解：f′（x）=-3x2+4ax-a2=（-3x+a）（x-a）
所以a/3
xa时候为减函数
由a>3得x
k-cosx与k2-cos2x在k∈[-1，0]时候的值都是在1以下
所以由f（k-cosx）≥f（k2-cos2x）
得k-cosx≤k2-cos2x
也就是（k-cosx）（k+cosx-1）≥0而k+cosx-1≤0
所以k-cosx≤0
k≤cosxcosx∈[-1，1]
所以k=-1时能够保证对于任意的x∈R都成立。
5.求函数的单调区间
这方面的内容主要有三大题型：（1）求函数的单调区间。（2）已知函数在某区间是单调，求参数的范围问题。可以研究导函数讨论，可以转化为f′（x）≥0或f′（x）≤0在给定区间上恒成立的问题，也可以利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集。（3）已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。可以研究导函数是零点问题，再检验，也可以直接研究不单调，分情况讨论。
关键词：高考；函数；新热点
中图分类号：G633.6文献标识码：a文章编号：1992-7711(2014)07-0157
一、引言
函数，作为高中数学的主干知识，起着连结和支撑数学知识的重要作用，一直是高考的重点内容，通常与方程、数列或者不等式等内容渗透或交叉出现。近几年来，随着新课程改革的提出，高考函数随之也在理论和实践上发生了深刻的变化。例如，在向量引入教材后，函数问题便增添了生机与活力，在很大程度上拓展了函数问题的命题空间。在改革的新浪潮下，本文结合高考试题，在以下几个方面深入探讨函数命题的新热点方向：
二、高考函数问题中的新热点
1.与函数极限、导数的交叉
极限作为一种运算，从历年高考考查来看，基本要求比较低，随着考查力度的增大，它逐步融入到了各知识点当中，这使得函数与函数极限的创新交叉受到高考数学命题者的青睐。
例1.(2006年重庆高考题)：已知函数f(x)=(x2+bx+c)ex，其中b，c∈R为常数。若b2≤4(c-1)，且lim=4，试证：-6≤b≤2。
证明：由f(x)=(x2+bx+c)ex，得f'(x)=(2x2+b)ex+(x2+bx+c)ex，
所以f(0)=c，f′(0)=b+c。
于是lim=lim=f′(0)，即b+c=4。
又因为b2≤4(c-1)，故b2+4b-12≤0。
所以-6≤b≤2。
点评：本题集超越函数、函数极限于一体，灵活地运用导数的定义求极限值是此类题型的关键。
2.与导数的交叉
以函数为载体，以导数为工具，以考查函数诸多性质和导数极值理论、单调性质、几何意义及其应用为目标，是高考导数与函数交汇试题的显著特点和命题趋势。高考常以函数单调性区间、单调性证明等问题为载体，考查导数的单调性质和分类讨论思想的应用。
例2.(2007年安徽高考题)：设a≥0f(x)=x-1-ln2x+2alnx(x>0)。F(x)=xf′(x)，讨论F(x)在(0，+∞)内的单调性并求极值。
解：根据求导法则得f(x)=1-+，x>0。故
F(x)=x・f′(x)=x-2lnx+2a，x>0.
于是F′(x)=F′(x)=1-+x>0，
列表如下：
故知F(x)在(0，2)内是减函数，在(2,+∞)内是增函数，所以，在x=2处取得极小值，极小值F(2)=2-2ln2+2a。
点评：对于导数与函数的交叉试题，只要我们把握住导数在其概念、单调性、极值和几何意义等方面的应用，掌握近年来此类试题的考点、常见题型及其求解策略，从而适应高考的要求。
3.与概率统计交叉
概率与统计试题是高考的必考内容，它是以实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等知识为工具，以考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算和随机变量概率分布性质及其应用为目标。但概率统计试题的考查与函数创新交叉，也成为高考热点。
例3.(2005年湖南高考题)：某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这3个景点的概率分别为0.4，0.5，0.6，且客人游览哪个景点互不影响。设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。
(1)求ξ的分布列及数学期望；
(2)记“函数f(x)=x2-3ξx+1在区间[2，+∞)上递增”为事件a，求a事件的概率。
解：(1)设a1，a2，a3分别表示客人游览甲、乙、丙旅游景点3件事件，则a1，a2，a3相互独立，且p(a1)=0.4，p(a2)=0.5，p(a3)=0.6。
因为客人游览的景点数可能为0，1，2，3，相应地，客人没有游览的景点数可能为3，2，1，0，所以ξ的取值为1，3。
p(ξ=3)=p(a1a2a3)+p(a1a2a3)=p(1-a1)p(1-a2)p(1-a3)+p(1-a1)p(1-a2)p(1-a3)=2×0.4×0.5×0.6=0.24。
则p(ξ=1)=1-0.24=0.76，于是ξ的分布列为：
数学期望eξ=1×0.76+3×0.24=1.48。
(2)当ξ=1时，函数f(x)=x2-3x+1在区间[2，+∞)上递增，当ξ=3时，f(x)=x2-9x+1在区间[2，+∞)上不递增，因此p(a)=p(ξ=1)=0.76。
点评：函数与概率统计的交汇在高考中还是初见端倪,虽然难度不大，但具有内容新、背景新、结构新的特点，预计在今后的高考中将会设计得更加灵活、更能体现知识间的内在联系。
4.与物理问题交叉
函数的知识是其他学科(如物理学)的必备基础，也是研究和解决各种问题的基础。函数的教学内容蕴含着极其丰富的辨证思想，是对学生进行辨证唯物主义教育的良好素材。函数的思想方法已经广泛地渗透到中学数学的整个过程和其他学科当中了。
例4.(2007年南昌市高考模拟题)：若已知某质点的运动方程为s(t)=-at，要使t∈[0,+∞)上的每一时刻的瞬时速度的绝对值都不大于1，求a实数的取值范围。
解：s(t)=-a。
因为s′(x)≤1，所以
-a≤1，
则有
-a≤1
-a≤-1a≥
-1
a≤
+1，
当t∈[0,+∞)时，(+1)min=1，所以a≤1。当t+∞时，，且连续递增，所有值都小于1，所以a≥0。
故使在t∈[0,+∞)上恒成立，实数a的取值范围是0≤a≤1。
点评：质点运动函数s(t)的导数s'(t)的物理意义就是质点在时刻t的瞬时速度。利用导数的物理意义列出不等式，根据不等式在t∈[0,+∞)上恒成立，求出a的取值范围。
三、结束语
综上所述，近些年高考试题命题方式呈现出考查基础知识和能力相结合的特点，体现并渗透出新教材的教育理念，结合了新课程中的新思想和新方法，而且以基础知识和综合能力两者为重点，在众多知识点中寻求交叉点，并以此为考点命题，可以提高学生的思维能力、预算能力以及应用能力等。
参考文献：
[1]李家煜.高考函数问题解读[J].中学数学教与学，2004(2).
[2]李昭平.高考中函数问题新趋势透视[J].中学数学教与学，2007(1).高考数学常用数值篇5
高考数学常用数值篇6
高考数学常用数值篇7
高考数学常用数值篇8
高考数学常用数值篇9
高考数学常用数值篇10