线上教学的几种方式篇1
本文所讨论的内容，是新旧课程中《直线的方程》这一知识点的教学。
一、课程标准与教学大纲的比较
解析几何是几何学的一个分支,是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科,它把数学的两个基本对象——形与数有机地联系起来，通过形与数的结合,使几何问题代数化,把几何要素及其关系用代数的语言加以描述；处理代数问题,分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题。认识数学内容之间的联系,体会“数形结合”的思想方法。坐标法是解析几何研究的基本方法。由曲线求方程和由方程研究曲线性质是解析几何研究的主要问题,它们贯穿于解析几何学习的全过程。在学习中逐步提高认识和加深理解。在以上方面，无论课程标准还是教学大纲，都是一致的。
1.课标要求
⑴在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素。
⑵理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式。
⑶能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
⑷根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。
⑸能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。
⑹探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
2.大纲要求
⑴理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点直线的斜率公式,掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式,并能根据条件熟练地求出直线的方程。
⑵掌握两条直线平行与垂直的条件,掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式；能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
3.对比分析
⑴课标要求学生从几何和代数两个角度看待二元一次方程,通过直角坐标系把直线和方程联系起来,使学生对解析几何有更生动深入的理解。
⑵课标对倾斜角的定义比大纲的定义简练。
⑶课标证明了斜率公式与两点的位置关系无关,公式的推导简洁明了。由于学生没有学习三角函数的有关知识,课标并没有明确要求掌握斜率随倾斜角变化而变化的规律。大纲是先给出倾斜角的定义,而后定义斜率,推导过程比较繁琐。
⑷课标不再要求“直线到直线的角”和“两条直线的夹角”,不再对两条相交直线的位置关系作定量的精确研究,大纲提出了直线到直线的角及两直线的夹角的正切公式。
⑸课标紧紧抓住勾股定理来研究直线的性质,并沟通知识间的内在联系：勾股定理——距离公式——两条直线的垂直条件——点到直线的距离；而大纲是利用平面向量的有关知识推导两直线垂直的条件；利用勾股定理及三角形面积公式等知识推导点到直线的距离。
⑹课标在学习计算公式时,融入算法思想,写出计算步骤。而大纲是直接套用公式计算。
⑺课标比较关注信息技术的应用。适当借助信息技术,形象、直观帮助学生认识所研究的直线。
二、新旧教材编排体例的比较
《直线的方程》安排在新教材数学必修2的第三章，独立成章；先讲倾斜角和斜率，接下来讲两条直线平行与垂直的判定，再讲直线方程的五种形式，最后是直线的交点坐标与距离公式。旧教材中《直线的方程》被安排在数学（必修）第二册（上）第七章，与《简单的线性规划》《圆的方程》合为一章；先讲直线的方程和方程的直线两个概念，然后讲倾斜角和斜率，再讲直线方程的五种形式，最后讲两条直线的位置关系。
相对于旧教材，新教材删去了两直线的夹角和到角，弱化了两条直线的位置关系的内容，还有，新教材并没有提及方程的直线的概念。不仅如此，相对于旧教材来说，新教材在体例上最大的变化就是，在每一小节里至少有一处“思考”或“探究”，将该节核心的知识以问题的形式呈现给学生，这也是新教材的一大特色和亮点。
由于《直线的方程》在新旧教材中的位置变化，因此，相应的研究方式也发生了一定的转变。旧教材将《直线的方程》放在了“三角函数”与“向量”之后，用正切函数的图象和性质，比较详细地研究了直线的斜率和倾斜角的关系，用两角和或差的正切公式及诱导公式推证了夹角公式及到角公式；旧教材用旋转来定义倾斜角和到角，用向量推导斜率的计算公式，并给出直线的方向向量。新教材则在这一章避开了向量，对未学而必须用到的三角公式通过加注的方式予以说明，或者删去部分内容。新教材这种全新的处理方式，体现了一种全新的理念。
改革数学教材结构，突出体现了学习数学的方法及过程，适应学生发展的要求。较长时期以来，中学数学教材在很大程度上追求或者尽量保持一种较完美的逻辑体系，将数学看成静态的，统一的知识实体，相互联系各种结构与真理，并由逻辑与内在涵义共同而成一整体。在数学教学中则表现为，强调数学作为严谨且有形式体系的整体结构，以概念为主导，注重概念的内涵，尤其重视逻辑关系的推理，造成了长期以来，中学数学课与迅猛发展的社会现实严重脱节的现象。新教材先从倾斜角和斜率入手，暂时回避直线的方程和方程的直线两个较抽象的概念，符合学生的认知规律；学习了直线方程的五种形式以后，再用它解决实际问题。整个过程既强调由形到数的方面，又不忽视由数到形的方面，两者相得益彰。一是强调数学的本质和对数学整体的认识；二是贴近学生的认知规律；三是贴近生活，感受数学的价值。
经过新、旧教材的教学对比发现，新教材在顺序的安排以及学生是否容易接受等方面更胜一筹。
三、新旧教材编写意图的比较
这部分内容从理论上揭示了几何中的“形”与代数中的“数”相统一的关系，为“形”与“数”的相互转化开辟了途径，同时也体现了解析几何的基本思想，为解析几何的教学奠定了一个理论基础。因此，无论是新教材还是旧教材，都非常强调该章节在整个体系中的基础地位。尽管如此，但是两者在编写意图上还是存在一定的差别的。主要体现在以下几个方面：
1.从教材的知识编写体例来看，新教材编者力图改进知识的呈现方式，将每节的核心知识以问题的方式，通过学生的“思考”与“探究”，让学生体验知识产生、发展的过程，在过程中体会概念的内涵，揭示概念的本质，受到数学思想方法的熏陶。旧教材以概念为核心，过分强调了其形式体系和整体结构，平铺直叙，缺乏变化，对于处在知识更新极快时代的青少年学生来说，无异于一杯白开水。
2.在新教材中，《直线的方程》作为解析几何的起始内容，更加突出了用代数方法解决几何问题的过程，强调代数关系的几何意义。具体地说：⑴强调数形转换、数形结合这一重要的思想方法。在必修数学2中具体体现在：首先探索确定直线的几何要素，再用坐标表示他们，根据确定直线的几何要素探索建立直线的方程的几种形式。学习和体会用解析几何解决问题的“三部曲”。⑵强调几何背景和学生发展的需要。例如，用日常生活中大家熟悉的“坡度（倾斜程度）”引入直线的斜率这个概念；在探究与发现中，为学生利用所学知识解决问题提供了一个平台，这也是学生发展的需要。旧教材一开始就直接进入“直线的方程”与“方程的直线”的理论学习，较为抽象，不利于学生的接受。与原课程相比，《标准》更强调知识的发生、发展，更强调其几何背景。这样做，在很大程度上关注了学生自身的发展与需要；较好地体现了该章的基础性地位和作用。
3.新教材适当调整知识的顺序，并删去了旧教材中有关内容，一是出于对学生知识承受能力的考虑，二是为了突出本章的主干结构。例如，新教材删去了两直线的夹角和到角的正切公式，这是因为当时学生还没有学习相关的三角函数知识，一方面减轻了学生的学习压力，另一方面突出了本章的主干结构。
线上教学的几种方式篇2
在上到必修2第三章《直线与方程》时，我们学校同年级教文科的一位新教师问我“直线的两点式方程要不要上”？对于她问这个问题的原因我可以理解，甚至有同感，教给学生干吗呢？理由一：既然已经学了点斜式方程，直接由直线上的两点、求出直线的斜率，再由直线的点斜式不就把方程求出来了嘛。理由二：两点式方程结构复杂，即使教给学生，学生也未必能记住，如果记错了还不如不教，得不偿失。理由三：两点式方程限制条件多，垂直于坐标轴的直线不能用两点式来表示。正巧，我们学校和海盐高级中学、平湖当湖中学期中考试时是三校联考的，到平湖当湖中学去商讨期中考试的范围时，借此机会我也拿这个问题请教了两所学校的备课组长，一致认为直线的两点式该弱化处理，学生容易算错。种种理由显示直线的两点式方程似乎没有“立足之地”了。在新课标下到底如何定位、把握直线的两点式方程的教学呢？
二、课前分析
1.学情分析
在初中，学生学了一点平面几何的知识，那时他们还仅限于图形的处理。到了高中从《直线与方程》、《圆与方程》到选修1-1《圆锥曲线》这三章他们开始接触解析几何。解析几何的本质就是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。在《直线与方程》这一章中，以平面直角坐标系为平台，给直线插上方程的“翅膀”，通过直线的方程研究直线之间的位置关系：平行、垂直，以及两条直线的交点坐标，点到直线的距离公式等等。
从几何直观到代数表示
从代数表示到几何直观
（建立直线的方程）
（通过方程研究几何性质和度量）
直线的方程起了一个“桥梁”的作用。直线的方程重要性不言而喻了。
2.两点式本身的优点分析
直线的两点式体现了“两点确定一条直线”这一朴素的数学理念；斜率不存在时的直线方程可用两点式的变形写出，向直线的一般式方程完成过渡；研究两点式方程的目的不是说这种形式比较简单或是好用，两点式方程起着承上启下的作用，它保持了知识的完整性和系统性，在思想与方法层面上，对学生分析问题解决问题的能力的培养应该有好处；两点式方程的表达式工整，结构优美，如果设它等于一个参数，马上可以得到直线的参数方程，为将来选修模块中的直线的参数方程做了铺垫，这是其它方程所不能代替的。
如果按照点斜式的程度来上这节课的话，会不会真的“上了还不如不上”呢？带着这个困惑我决定进行一次“详细上这堂课”的教学尝试。
三、上课实录
因为上节课学过了直线方程的点斜式，所以我上课一开始给出了一道小练习：已知直线经过两点，求直线的方程.让学生独立当场完成。做完之后我统计了一下，用点斜式方法来求的占，还有的同学是用初中学过的待定系数设求一次函数的方法。前者用时较短，后者用时较长。看到这个结果，我基本心中有数，故意不做点评我开始了新课的教学。
师：前面我们已经探索了确定直线位置的几何要素有哪些？
生众：两点确定一条直线。
师：对。还有吗？
生：已知一个点和倾斜角。
师：很好。倾斜角和斜率都表示直线的倾斜程度，所以已知一个点和直线的斜率也可以确定一条直线。已知直线过点和它的斜率（或倾斜角）可以求出直线的方程为，我们把这个方程称为直线的点斜式，那么已知直线过了两个点怎么求直线的方程呢？比如开头那个小练习，我们可以怎么做呢？
让两个学生起立作答。对于这两种做法我都给予了肯定。那么已知直线上两点求直线方程有没有更快捷的方法呢？我们一起探讨吧。
师：已知、，如何求直线的方程？
生1：先求出直线的斜率，再写出直线的点斜式方程：。
师：能不能变形？上式的形式不便于记忆及应用，可以把上式进行变形，使它的形式比较对称和美观，能够体现数学之美。你认为什么形式更美观些？
生2：。
师：这是等价变形吗？两边除以时，必须。
生3：。
师：同理时才为等价变形。我们可以用方程
表示过两点、的直线方程了。这个方程形式体现了“对称美”，突出了两点的坐标，根据直线所过的两点的坐标可以立即写出直线的方程，所以我们就把这个形式的方程就叫做直线的两点式方程，简称两点式。
师：注意到方程后面的两个限制条件，两点式方程不能表示哪些直线呢？
生：当时，直线倾斜角是90°，当时，直线的倾斜角是0°。这两种直线不能用两点式方程表示。
师：真聪明。那这两种直线就没有方程吗？
生：有的。当，直线倾斜角是90°时，直线垂直于轴，直线上的每一点横坐标都是，所以可用表示。同理当，直线的倾斜角是0°时，直线可用方程表示。
师：非常好。直线的两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线，就如同直线的点斜式不能表示斜率不存在的直线一样，有点残缺美。但是有没有办法弥补这点小遗憾呢？把直线的两点式方程怎么变一变就能表示平面上的任意一条直线？
生4：分式化成整式，去分母。没有分母它就没有限制条件了。
师：真的太棒了。对角相乘把方程化为就可以了。
书上之所以不化成这种形式，是为了讲究和谐美和对称美。以后大家在直接使用两点式求直线方程时，可要看清楚两个点的坐标哟，能不能用两点式表示才是关键。
（后面就是例题讲解和练习的巩固，在此省略。）
通过课堂上学生热烈的讨论探究以及例题讲解、课后练习的巩固，我发现教学前的困惑，基本消除了。上完了《直线的一般式》之后，我观察学生的作业，再碰到已知两点求直线的方程时，他们用的多的还是直线方程的两点式。不用担心学生会算错，要算错的话不管什么方法都会算错。结构复杂也不是问题，一节课的探究下来，对结构也是理解的比较清楚了。通过这节课的备课、教学，我发现教科书给了我们一个新观念、新方法，也为数学教学提供了新思路。
四、课后反思
1、研读课标，准确定位教学目标
新课标准提出：“高中数学应该返璞归真，努力揭示数学概念的发展过程和本质，使学生理解数学概念的逐步形成的过程，体会蕴含其中的思想方法；教学中要注意沟通各个部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力。”
课程标准是教学的依据，务必认真、反复地研读，深刻领会、把握课程标准的精神，领悟新课改的理念。教学必须以课程标准为“纲”，孰轻孰重，清清楚楚，才能切实地贯彻新课改的精神和课标的理念。
通过两点式方程的教学，使学生认识到“两点确定一条直线”这一朴素的数学文化理念；让学生知道直线的方程有五种形式，增强了知识的系统性，扩大了学生的视野。教学中让学生分析方程的不同，以便于学生形成批判性的思维习惯；通过分析两点式方程的结构，让学生体会到数学的对称美。达成以上目标只需十几分钟，如果放弃这么好的一个教学时机，对学生的终生发展会留有遗憾。
2、研读教材，准确把握教学目标
教科书是解读课程标准的范本。它凝聚着编者对课标的准确理解的心血，蕴藏着丰富的数学教育内涵，体现着数学的科学性和编排的合理性、艺术性。作为一线教师只有研读教科书，才能准确把握教学目标，悟出教科书的精髓，发挥教科书的教育作用。
在人教a版中，直线的斜截式和截距式是通过两道例题的形式给出的，在课标中明确提到“根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。”教材的编写者在编写教材时的良苦用心可见一斑。我们只有不断对教材中的每个细节深入研究，领悟教材编写者的意图，才是真正的“用教材”，才能提高个人的教学水平，才能真正把课堂教学落到实处。
3、研究学法，提高效率、贯彻理念
对于高中生来说，多进行一些学法指导，在教学时尽可能遵循方法和知识双重走向，让学生体验教科书分段设计、分层推进的策略，学会自主探究、合作交流的学习方式，为后续学习提出一个模式，学生自然而然地适应高中数学的学习。
线上教学的几种方式篇3
关键词：中职院校机械制图教学改革
一、中职机械制图教学现状及存在问题
机械制图是机械专业极其重要的基础课之一，是学生从应试教育进入到机械行业的第一门课程。机械制图是设计者――制造者――使用者的语言纽带。因此所有学校都十分重视机械制图课程的教学。
首先，现在主流的机械制图课程教学，主要针对高校的机械专业，以大学为主，大专院校为辅，其机械制图的教学内容、学习方向、学习深度都是考虑高校学生所需求的内容。在职业院校中，尤其是中职院校的学生，他们主要是初中毕业的学生，年龄小，学习能力差，学习习惯不良，没有很高的思维活跃度，因此无法适应适用于高等学校机械制图的书籍和教学内容。
再者，目前机械制图的课程顺序是先讲授国标及规定画法，然后讲授画法和几何知识，最后才是机械制图的实质内容。这种授课方式对于高校学生来说比较容易能够接受，并且在年龄上他们已经拥有完全成熟的空间立体概念，能够更加从容地思考出空间立体图形，对于画法几何也能够轻而易举地理解和掌握。但是对于初中毕业的学生，由于没有学习过高中阶段的立体几何知识，没有建立一个完整的或较为完整的空间立体感，所以很难学习画法几何知识，也很难想象出完整的立体图形。学生学习的效果差，教师无法正常进行教学进度计划，导致后面的课程草草了事，最终无法完成教学目标，学生考试不尽如人意。
第三，机械制图课程在高校内基本上是采用传统的讲授式教学方法，以教师为中心，学生被动接受，验证结论。这种教学方法对于大学生比较适用，但中职学校的学生注意力集中时间短，本身自我学习能力不强，需要老师的辅助，上课不能单纯地使用传统的教学方式。
二、中职机械制图课程教学改革指导思想
结合中职生大部分是初中毕业生的特点，探索适合他们的教学内容和教学方法，以达到学生愿意学，能学好，为专业打好基础的目标。
三、中职机械制图课程教学改革的内容
本次课程改革分为两个部分，第一部分是教学内容的改革，第二个部分是教学形式的改革。
1.教学内容的改革
教学内容的改革主要是将原有的画法几何知识、国标知识融会到基本几何体内的绘制中，通过基本几何体的测绘、绘制、组合，完成机械制图知识的准备。主要使用的方式是，每次讲解一个基本几何体的画法时，首先使用模型，让学生观察该物体的三个视图方向，然后画出物体的三视图，再利用模型进行游戏式的提问。
第一步：寻找物体的特殊点，然后让学生在所画的三视图当中标记出来。再寻找物体的一般点，让学生标记出来。第二步：寻找特殊的线段，利用找到的特殊点连成的线段。寻找的特殊线段分为投影面的平行线和投影面的铅垂线。在寻找特殊线段的时候让学生明白，线段是通过两点之间连接而成的。再寻找一般线段，通过2个一般点的位置连接形成的线段。第三步：寻找投影面，利用两条相交的直线确定一个平面的理论，去思考特殊的线段相交形成的面与线段之间的关系是什么，让学生快速掌握点线面的投影知识。这种方式的训练会增加原有课程的课时数，却把原有知识分散到基本几何体内。学生会在娱乐的状态下学会点线面的投影知识。利用每个基本几何体的不同形状及不同位置，可以强化点线面的投影知识。学生了解了基本几何体的知识与画法，就可以进一步进行组合体的学习。简单的组合体绘制依旧可以使用这种方法。待到学生开始学习复杂组合体时，教师可以使用逆向思维的方式对其组合体进行分解，并在分解的时候通过不同位置的点线面寻找另外位置的点线面，使其更加容易绘制出组合体三视图。
课程内容的安排是在每次课上绘制一幅完整三视图，包括图框、标题栏、三视图、标注尺寸等，再利用该三视图进行上述游戏式的训练点线面投影。这种课程的安排可以让学生快速掌握三视图的绘制，而且逐层递进，让学生逐渐进入到复杂三视图的绘制。同时三视图的绘制保证其完整性，也为后期学习的零件图、装配图做好基础。三视图的绘制全部放到课堂完成，有助于教师直接观察到学生的学习情况，可以直接指导没有掌握的学生。同时，在课堂有效完成三视图也可以防止学生在课后抄袭甚至于代做的情况。学生独立完成每一幅三视图，能够增强个人自信心以及对此学科的热爱。练习册作为补充，可以布置为课后作业，用来巩固强化。
2.教学方法的改革
在机械制图课程教学中采用任务驱动法教学时，尤其要注意分组和教师对小组的调控，按好、中、差分组，每个小组4～5人，小组最佳数量为4～6组。组内合作，组间竞争，小组成员得分一致，可以调动学习较快的学生帮助学习较慢的学生，共同进步。小组之间拥有竞争的关系，每次回答问题都是一个小组回答，其他小组找错。回答问题得到的分数也会根据小组的回答情况及其他小组补充情况而决定。这种方式可以促进小组之间进行竞争，提高思考的效率，激发学生学习的积极性，激发他们的拼搏意识，增强团队凝聚力。
四、中职机械制图教学改革成果
笔者利用此方式对初中毕业的学生进行了教学实验。以初中毕业学生为实验对象，四个班级分为两组，以传统方式和改革方式进行授课。结果显示，其中接受传统教学的学生错误大多数出现在三视图的绘制以及三视图的补充修改部分。而接受改革教学的学生错误大多出现在三视图的补充修改部分。从两组授课方式可以看出，改革的教学方式比传统的教学方式更加适合中职院校学生。
五、中职机械制图课程教学改革存在的问题
而这种授课内容的改革以及授课形式的改革，也存在一定的问题。
第一，学生不能理解教师在课堂上讲授的内容时，会产生一定的厌学心理，甚至会产生逆反心理。对该类学生，教师首先需要与其本人沟通，了解厌学的原因，然后与班主任、家长共同寻找对策，也可以利用业余时间对其进行补课，或由同组的学生对其进行帮助。
线上教学的几种方式篇4
关键词:说题;数学教学;数学思维
■问题提出
弗赖登塔尔曾提出:学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”,也就是由学生本人把要学的东西通过自己去发现或创造出来,教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造,而不是把现成的知识灌输给学生.所以,在数学教学活动中,必须重视学生探索新知的经历和获得新知的体验,只有重视过程的教学,“展示背景、挖掘本质、暴露思维、推迟判断”,才能使学生体会到数学是活动的、动态的、开放的,才可以使数学结论生动、鲜活、充实,成为可以理解、易于接受的东西,便于同化或顺应于学生已经形成或正在形成的认知结构,成为学生的真知而实现有意义的学习.
■什么是“说题”
说题,就是在学生经过认真、仔细、严谨的审题,在充分思考的基础上,让学生说清题意,说出解题思路和解题过程,说出问题的拓展和延伸,说出解题后的感想等.“说题”教学与传统习题教学的最大区别在于课堂上的主角是学生,而不是教师,变教师的“一言堂”为学生的“群言堂”,改变了学生听教师讲的被动的学习局面.
■常见课型的“说题尝试”
1.命题教学――说“产生过程”
在高中数学中,数学命题是数学知识的主体,是数学推理的要素和数学证明的依据,是学生数学学习的核心内容之一,也是数学教学的重要组成部分.有些数学命题(如公式、定理、公理等)本身可以看成一个蕴涵着很多数学思想和数学方法的典型例题.在教学中,教师不能只关注结果,还应挖掘教材之间的内在联系,发挥数学知识的教育教学功能.对于此类知识的教学,教师可以让学生各抒己见,大说“命题的获得过程”.学生亲自参与发现困惑的情景、尝试的过程,经历探索过程的磨砺,汲取更多的思维营养,加深对数学知识的理解,掌握数学知识的应用,提高解题能力.
(1)案例等比数列的前n项和公式?摇
内容人教版a必修模块《数学5》等比数列前n项和公式.
教师现在我们来探求等比数列{an｝前n项和的公式,即Sn=a1+a2+…+an的结果,也就是要求用a1,q,n或a1,an,q来表式Sn(明确学生说题的方向).
学生1利用等比数列的通项公式可得Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1.
教师思路很对,已经做到探求的要求了,但式子显得比较冗长,还应该化简,这正是我们讨论的对象.
学生对上述式子的化简并没有太多的经验,教师此时提示可以“从最简单的开始”.过了一会儿,就有几个学生发表意见.
教师你是如何想到的?能猜想一下一般性的结论吗?
还没有等这位学生说完,教室里就有人窃窃私语,表示对结论的不完全同意,教师从中选了一个代表.
学生3刚才这位同学说的不完全对,如q=1就不可以,他说的是q≠1的情形.
教师q=1时又如何?
学生3当q=1时,Sn=na1.
各自谈谈自己的看法.
在教师的引导下,全班同学互相补充和提示,过了片刻.
学生4利用乘法公式(1-q)(1+q+q2+…+qn-1)=1-qn,这是n=2,3时的推广公式,容易验证.
学生5利用Sn=a1+q(a1+a1q…+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+qSn-qan,
教师很好,你看到了Sn=Sn-1+an这一层关系,其他同学还有其他办法吗?
学生6可以将n-1个式子a2=a1q,a3=a2q,…,an=an-1q相加,得到a2+a3+…+an=(a1+a2+…+an-1)q,即Sn-教师这位同学借鉴了学生5的方法,用了累加得到了Sn的表达式,但本质跟学生5的方法是一样的.
此时,课堂已经异常活跃,很多学生在绞尽脑汁,想另辟蹊径,找出更好的办法.
教师很好,虽说实质与上两位同学相同,但变形的技巧更灵活了,值得肯定.
很高啊,妙!
,将以上n式相加即可得到Sn的公式了.
教师精彩!这是利用了数列求和中的“裂项相消法”.
(2)教学反思
在实际教学中,由于受课堂时间限制,教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”,急急忙忙地抛出“错位相减法”,这样做使得活的数学知识变成了一堆毫无意义的符号和难以记忆的公式、法则,使数学发现、数学探索中“火热的思考”被淹没,学生获得的知识犹如无源之水、无根之木.因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围,突破学生学习的障碍.同时,形成繁难的情境激起了学生的求知欲,引导学生急于寻求解决问题的新方法,为后面的教学埋下伏笔.
2.例题教学――说“数学本质”
数学例题和习题的教学是数学解题教学的重要组成部分.例题是为引入新知识、做解题示范、加深理解和初步应用、提高能力而设计的题目,它体现教材的深度和广度、体现对学生掌握知识的要求.课本例题的最大特点是针对性强,基础性强,但大多数课本例题是一题一问、一题一解,给学生的思维空间较小.尽管和老教材相比,新教材在部分例题解答后面安排了“思考”这个环节,对例题进行了一些挖掘,但大多数例题仍缺乏纵向和横向的引申.如何让学生在解题时,将题目说透、说出自己的解题思维、说出问题本质、说出新旧知识的有效联接就变成例题“说题”教学中重点要做的文章了.
(1)一道课本例题的教学设计
内容人教版a选修模块《数学2-1》p71例6.
已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点p(-2,1),斜率为k.试问k为何值时,直线l与抛物线y2=4x只有1个公共点,有2个公共点,没有公共点?
教师解析几何的本质就是用代数的方法解决几何问题.因此,分析本题时,首先应该作出相应的图形.(培养学生良好的解题习惯,为下面的教学做文章,过了一分钟,学生作图完毕,教师在学生回答的基础上在黑板上作出图形.)
教师在这个问题中,有三个几何要素,点p,直线l和抛物线y2=4x.其中,点p与抛物线y2=4x有何关系?
学生点p在抛物线y2=4x开口之外.
教师请同学们分析直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点时的位置关系是如何的.
学生1直线l与抛物线y2=4x相切.
教师(利用几何画板在课件中进行演示)一共有几条?
学生12条(迟疑片刻),应该是3条.
教师为什么?
学生1当直线l与x轴平行时.
教师这算是直线l与抛物线y2=4x相切吗?
学生1应该不算.
教师看来直线与抛物线有一个交点,不只是相切这一情形,还应考虑直线与抛物线的对称轴平行的情形.直线l与抛物线y2=4x没有公共点、两个公共点时的位置关系又是如何呢?
(教师结合学生的回答在几何画板中作了演示(此处略))
教师刚才我们讨论直线l与抛物线y2=4x没有公共点、有1个公共点、2个公共点的几何特征,如何用代数的方法解决呢?
学生2可以将直线l的方程y-1=k(x+2)与抛物线y2=4x联立成方程组,消去x,得ky2-4y+4(2k+1)=0.?摇①
利用方程①的根的判别式Δ=-16(2k2+k-1)即可求出直线l与抛物线y2=4x没有公共点、有1个公共点、2个公共点时k的取值范围.
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教师能否具体些?
学生3不对,直线l与抛物线y2=4x有一个公共点应该有三种情形,还有一种是k=0,而直线l与抛物线y2=4x有两个公共点时,应不包含k=0这一情形.
教师很好,你能指出学生2忽视了对k=0情形的讨论的根源在哪吗?
学生3方程①不一定是一元二次方程,当k=0时,方程①是一元一次方程,方程只有1个根,此时恰是直线与抛物线对称轴平行的情形.
教师漂亮!这位同学找出了为什么直线l与抛物线y2=4x有一个公共点的代数源由,用判别式判断根的个数时,一定要注意前提应该是一元二次方程.
(此时学生思路已打开,很快全班同学完成了这个问题.)
教师这题告诉我们经过点p有3条直线与抛物线y2=4x有1个公共点,是不是经过平面上任意一点都有3条直线与抛物线y2=4x有1个公共点呢?
学生4不一定.当点p在抛物线开口之外时,有3条,2条切线和1条斜率为0的直线;当点p在抛物线上时,有2条,1条切线和1条斜率为0的直线;当点p在抛物线开口之内时,只有1条斜率为0的直线.
(教师引导学生总结直线与抛物线有一个交点的一般结论(略),并在课件上展示如下练习.)
若直线y=kx-k+2与抛物线y2=2px(p>0)恒有公共点,求p的最小值.
(学生有了刚才的分析经验,饶有兴趣地对此题进行了讨论,约过了2分钟)
学生5我还是利用判别式进行讨论,将直线方程和抛物线方程联立,消去x化简得
k2x2-2(k2-2k+p)x+(k2-4k+4)=0.?摇(*)
若使直线y=kx-k+2与抛物线y2=2px(p>0)恒有公共点,则方程(*)的判别式Δ1=4(k2-2k+p)2-4k2(k2-4k+4)=4(2pk2-4pk+p2)≥0恒成立,故方程2pk2-4pk+p2=0的判别式Δ2=16p2-8p3≤0?圯p≥2,即p的最小值为2.
教师很好,学生5两次利用方程的思想求出了p的最小值,分析问题很有深度.
学生6老师,这样做太麻烦了,我有一种简便的方法,因为直线y=kx-k+2经过定点p(1,2)点,要使经过该点的直线与已知抛物线恒有公共点的话,也就是说这一点必定在抛物线的开口之内或抛物线上.
(此时,全班学生被这精彩的解法折服了,全班静了一会儿,又动了起来,教师评价.)
教师两位同学都抓住了问题的本质,学生5是从代数的本质方程组恒有解的角度入手,而学生6则是从几何的本质,即点与抛物线的几何位置入手.两种思维正说明了解析几何是数与形的结合体,这也正是数形结合思想的本质所在.同学们可以在课后对该例题题设和条件再加工,看看还可以编出哪些题目.
(2)教学反思
课本例题一般都具有典型性、示范性和关联性,它们或渗透着某些数学方法,或体现了某种数学思想,或提供某种重要结论.教学时,教师如果忽视学生学习掌握知识的基本环节,急于讲应用、盲目讲应用,不分析、不研究数学知识的本质,重形式、重一招一式的机巧,不利于发散性思维的培养,不利于求异思维和创新能力的培养,同样也不利于知识的融会贯通和综合解题能力的提高.教师可以引导学生从题目的根源、条件、结论和解题方法等方面进行说题,通过追本溯源、一题多变、一题多解等教学方式,让学生充分认识例题本身所蕴涵的教育价值,学会怎样进行数学思维,怎样运用数学知识进行思考、解题,如何表述自己的解题过程等等.
■结束语
线上教学的几种方式篇5
关键词：相交线与平行线;教学;策略
【中图分类号】G633.6【文献标识码】B【文章编号】1671-8437（2015）02-0083-01
1“相交线与平行线”概述
“相交线与平行线”是初中数学教学中的重要内容，其知识的学习是建立在“直线、射线、线段和角”的内容之上，对平面内两条不重合关系的直线的位置关系的研究，包括对其所成的角的位置和数量之间关系的探讨，以及对平行线性质判定的学
习;同时，“相交线与平行线”较以前对“几何图形的初步认识”知识难度有了一定的提高，而且是学生自主完成由实验几何向论证几何有效转换的重要过渡阶段，其基本内容、研究思路和论证方法是学生学习后续几何知识的基础和前提。因此，在“相交线与平行线”的知识讲授过程中，对教师的课堂教学提出了较高的要求，需要采取有效的教学策略。
2“相交线与平行线”的有效教学策略
2.1建立实例情境，引入知识概念
知识点内容的引入，通常都是课堂教学中最为基础和重要的一部分，其引入的有效与否关系到是否能够充分的激发出学生的学习兴趣。因此，在对“相交线与平行线”实现课堂导入的过程中，可以通过建立实例情境，促进学生的实验参与，以充分的调动学生的思维能力，实现知识内容的层层推进。
例如，教师可以利用多媒体设备，向学生分别展示铁轨、跑道、道路等具有平行与相交关系的生活实例，让学生对其中存在的共同性进行区分;同时向其播放工人利用角尺画出公路标线的动画，并通过引入“你有多少种画平行线的方法”，使得学生能够从生活实际中找出平行线与相交线，提高学生的兴趣和欲望。
2.2充分利用变式图，加深辩证理解
对知识概念的理解不透彻是学生感到“相交线与平行线”内容较为困难的主要原因之一，为了使得学生能够对相关的概念进行深入的理解，教师可以充分利用变式图，包括正例变式图和反例变式图两种，使得学生对相交线与平行线的概念内涵和外延实现清楚的把握。
例如，在对“对顶角”知识进行教学的过程中，为了提高学生对其概念的理解度，教师可以先向学生展示图1和图2所代表的正例变式图，使得学生发现对顶角可以是锐角、直角和钝角三种形式;接着再向学生展示图3、图4、图5的反例变式图，让学生利用概念从中找出真正的对顶角。
图3图4图5
2.3理论与解题相结合，完成巩固应用
数学几何的教学对学生的逻辑思维能力具有很强的要求，特别是对于“相交线与平行线”知识的教学而言，逻辑思维能力是学生对知识内容实现分析、抽象概括以及推理证明的前提，而几何问题的解答实际上就是因果不断转化的过程。因此，在教学实践中，教师应该将理论与解题相结合，以此来巩固学生对相关知识的把握和应用。
例如，为了实现对知识点的串联，使得学生能够举一反三，教师可以设置以下这样的题目：如下图6所示，已知∠a=∠D，且∠C=∠F，试问Ce与BF之间是相互平行的关系吗？请说明理由。这时，教师要引导学生从结论出发，回想判断两条直线平行的方法有哪些，使得学生最后能够利用①同旁内角互补;②同位角相等;③内错角相等这三种方法确定Ce//BF。
2.4例题变式训练，实现查缺补漏
对于任何一种学科的教学而言，复习训练是实现知识内容巩固的最主要手段，对于“相交线与平行线”的教学也不例外，对学生进行例题的变式训练，是学生实现知识内容查缺补漏的有效途径。因此，在教学中，教师应该对例题进行变式，并让学生独立完成和小组交流，对存在的问题予以及时的纠正。
例如，教材中有这样一道例题：如下图7所示，CDaB于点D，FGaB于点G，且∠B=∠aDe，求证∠1=∠2。教师在引导学生利用∠3进行联系的时候，可以设置以下两种变式训练：
①CDaB于点D，FGaB于点G，且∠1=∠2，求证∠B=∠aDe;
②CDaB于点D，∠B=∠aDe，同时∠1=∠2，求证FGaB。
线上教学的几种方式篇6
【关键词】线性代数矩阵线性方程组最小二乘近似
【中图分类号】G642【文献标识码】a【文章编号】1674-4810（2014）30-0007-02
线性代数是高等数学中最基础的部分，随着科学技术的发展，线性代数几乎运用于所有科学研究中，因而它是大学理工科和经济类各专业学生的重要基础课之一。然而另一方面，这门课程内容相对抽象，加之国内教学长期以来独立讲解各种概念和定义、过分强调定理的证明而忽略其实质和几何背景，使得初学者感到非常困难和枯燥。这种教学就好像把这门学科拆成了碎片，对每一部分进行详尽、琐碎的考察。每一细节都弄清楚了，而完整的形象却消失了。在线性代数的教学过程中，存在以下问题：（1）线性代数课程自身的特点：抽象概念较多，逻辑思维能力要求较高。（2）课时量少。多数高校非数学专业的线性代数课时数都较少，一般为30～40课时之间，造成了课程教学要求和教学课时量之间的矛盾，从而使教师在讲授这门课程时有较大难度和挑战。（3）国内线性代数教材编排沿用数学专业《高等代数》课程体系和思路，重基础、轻应用，使学生感觉学习存在困难。
国内已有很多教师在解决上述问题方面做了有益的尝试。线性代数这门课程有两个重要的特征：（1）它有极强的几何背景；（2）作为应用，它为许多科学问题的解决提供了必要且有力的工具。我们在授课中紧扣这两个特征，从问题出发，利用线性代数的几何直观使学生掌握线性代数的基本思想、方法和技巧。
一在教学中突出几何直观
线性代数名曰代数，处理的却是几何对象：向量空间及其变换。向量是最基本的，也是学生比较熟悉的数学概念，向量及其运算和性质也是线性代数中的最基本元素。因而，教学开始就向学生重点介绍向量的有关知识和运算（点积、线性组合等），并结合二维和三维时的几何直观。当学生熟悉了向量及线性组合的概念和几何意义之后，线性方程组和
空间就是很自然的概念了。以二元线性方程组…（1）
为例，这是学生在小学时就用过的数学工具，而且知道它的几何意义：求直线2x+y=0和直线x+2y=1的交点坐标。
如今我们可将（1）式记作：…（2）。这样，
2元线性方程组又具有了特殊的含义：要使得向量是向量
和的线性组合，求组合系数x和y。而集合S=
便是由向量和生成的2维空间。
还可以利用点积的定义将（1）式记作：…（3）
这是在线性代数中线性方程组的表示方式。集合S即为矩阵
的列向量组生成的空间，又显然（1）式是有解的，这
也意味着向量。更重要的是：这里给出了矩阵的乘法
定义，也为“线性变换”这一线性代数的核心概念埋下伏笔。
如此看来，线性代数就是从解决最基础最原始的问题――“求解线性方程组”而发展出来的一门学科，在二维情形下其几何直观是我们早已熟知的。接下来要做的是将其推广到高维情形并详细讨论。而令学生费解的矩阵的乘法定义就是若干向量两两之间的点乘，它也来源于线性方程组，是很自然的定义。由此，我们从几何直观出发，对线性方程组进行刻画，使学生领会线性代数的基本思想和方法。
二线性代数的应用
线性代数处理的对象主要是向量空间及其线性变换；处理的工具主要是矩阵。通过线性方程组，我们对矩阵的概念、特性、运算及在解线性方程组中的应用等知识有所了解。我们阐述一个线性代数应用的例子，更好地说明线性代数作为“工具”的本质。而这个例子本身也可以体现学科之间的互通和数学的美妙。
如图1，设a，b∈R2，设向量是b在a上的投影，称e=b-p为该投射的误差。因为e与a垂直（正交），所以
，解得。即：…（4），令
，显然pt=p且p2=p，我们称p为投影矩阵，（4）式
的含义即为“b在a上的投影=投影矩阵p左乘向量b”，而性质p2=p可以理解为“投影的投影还是投影本身”这一几何直观。
下面我们推广到大于二维的情形，设有线性无关的m维向量a1，a2，…，an，S是a1，a2，…，an生成的子空间，令b∈Rn，且。设是b在S上的投影，其中a=[a1，a2，…，an]，误差为（如图2）。因为e垂直于S（即e与S中所有的向量正交），所以ate=0，即，因为a1，a2，…，an线性无关，所以方阵ata可逆。因此解
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*四川外国语大学教改立项项目――外语院校金融专业数学教学模式研究（编号：123219）
得。即。
同二维一样，我们称矩阵p=a（ata）-1at为投影矩阵，显然pt=p且p2=p。
图1图2
注：图1为向量b在向量a上的投影；图2为向量b在平面S（S=矩阵a的列向量生成的子空间）上的投影。
以上投影的思想和方法可被用来解决一个问题：当线性方程组ax=b无解的时候，我们如何求得最优的近似解？
ax=b无解，即b不属于矩阵a的列向量组生成的子空间（记作S）。所谓最优近似解，即满足是b在子空间S上的投影，此时的误差最小。即把求ax=b转化为求，即。
下面我们给出这一方法的一个精彩应用：设（0，6），（1，0），（2，0）是平面上的三个点，我们需要找到一条直线b=C+Dt，使得该直线距离这三点的距离最近，即求最优拟合直线。显然这三点并不在一条直线上。考虑方程组：
，我们记。
显然方程组ax=b无解。由以上讨论，我们求最优近似解，
其满足方程组的。即：，解得C=5，
D=-3。得到直线方程b=5-3t。
从图3可知（图3为点（0，6），
（1，0），（2，0）与直线b=5-3t
的误差）：
，即
为误差。这就是在科学分析中常见的最小二乘近似的代数解释。如果用微积分的知识来求最优拟合直线，即求函数的最大值点，令
化简得：得到相同的结果。我们可以看到线性代
数作为工具，可以解决实际的问题，微积分将非线性对象归结为线性对象，处理线性对象的任务就交给线性代数。特别在多元微积分中更是如此。此外，这种利用几何直观解释最小二乘近似更便于学生接受和理解，且可以激发学生的学习兴趣。
三线性代数教法的有益尝试
以往教材体系，一般是按定义、公理、引理、定理、推论的模式来编写。这样有利于让学生打下坚实的基础，以便在后续课程的学习或研究过程中逐步体会线性代数的思想和应用。这种编排对大多非数学专业的学生来讲显得太“数学化”了，因此很难接受和适应。另一方面，教材的编排遵从严密的逻辑体系，这样做往往会忽视问题的重要性，而只关注阐述知识的过程及其严谨性。即便学习很认真刻苦，学生也容易感觉“只见树木不见森林”。有些学生题目做了很多，技巧和方法用得烂熟，但问到“线性代数有什么用”，他们依然一头雾水。国内大多数线性代数教材一开始就讲行列式和它繁杂的性质和运算技巧。它的定义很复杂、抽象，虽然学生知道它是在解线性方程组的过程中被发现和定义的，但依然不明白这个定义有什么用？事实上，当我们学习了矩阵、线性方程组和向量空间之后，再学习行列式，它的定义就很自然了。它实际上就是将一个方阵经过初等变换为阶梯形后，对角线元素的乘积，这个数字反映了方阵的某些重要的特性（如是否可逆）。教学中在讲解完它的定义和性质之后，介绍其几何背景：二阶行列式就是平行四边形面积，行列式的性质都可以在平面上通过画图直观表示。而且二阶行列式可以通过代表它的一组邻边的向量按乘法法则展开得出来。行列式等于零就是面积为零，就是这个平行四边形退化到一条线上了，也就是线性相关三阶行列式是平行六面体的体积。n阶行列式可以看作它的各行张成的n维的体积，它的算法公式也可以由各行按乘法法则展开得到。这样，既对于行列式就有了一个较为直观的认识，又很好地反映了线性代数的几何直观。
学习线性代数和做科研一样，发现问题是核心。教师应当先抛出问题给学生（如求解方程组、线性方程组的解集与未知数个数和方程个数之间有何关系、向量怎样坐标化、n维数组空间的向量什么时候是基……），问题是很具体的，容易激起学生的求知欲和兴趣。然后围绕解决问题去组织教学内容，逐步通过解决问题来引入定义，给出性质、方法和技巧。这样更符合人的认知过程和学科发展的自然规律。
四结束语
我们在教学中做了以上尝试之后，学生觉得线性代数的入门形象了许多，并能切身感受到发现问题、分析问题和利用线性代数这一有力工具解决问题的全过程，而不仅仅以会做题目来衡量是否学好了线性代数这门课。我们将继续深化这种尝试和改革，以问题为中心、以几何背景为手段，以期形成一套完善的线性代数的新教学模式。
参考文献
[1]王利东、刘婧.从应用实例出发的线性代数教学模式探讨[J].数学教育学报，2012（3）：83～85
[2]王跃恒、李应求.关于以学生为中心的线性代数教学研究[J].中国大学教学，2011（8）：59～61
[3]白旭英、陈小蕾.引入matLaB进行线性代数教学的探究[J].价值工程，2011（34）：210～211
[4]黄玉梅、李彦.非数学专业线性代数教学改革探讨[J].重庆文理学院学报（自然科学版），2009（5）：87～89
[5]陈利娅、赖霞.恰当使用目标教学法，提高线性代数教学质量[J].高等教育研究（成都），2010（2）：87～89
[6]王海侠、孙和军、石霞.从低维到高维――加强《线性代数》的几何直观教学[J].数学教学研究，2010（1）：66～68
线上教学的几种方式篇7
关键词：几何画板、数学教学、应用于思考、操作。
随着计算机多媒体的出现和飞速发展，在网络技术广泛应用于各个领域的同时，也给学校教育带来了一场深刻的变革──用计算机辅助教学，并且越来越受到重视。从国外引进的教育软件《几何画板》以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图象功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好，并已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。那么，《几何画板》在高中数学教学中有哪些应用呢？下面谈谈我的几点体会：
一、《几何画板》在高中代数教学中的应用
“函数”是中学数学中最基本、最重要的概念，它的概念和思维方法渗透在高中数学的各个部分；同时，函数是以运动变化的观点对现实世界数量关系的一种刻划，这又决定了它是对学生进行素质教育的重要材料。函数的两种表达方式──解析式和图象──之间常常需要对照（如研究函数的单调性、讨论方程或不等式的解的情况、比较指数函数和对数函数图象之间的关系等）。为了解决数形结合的问题，在有关函数的传统教学中多以教师手工绘图，但手工绘图有不精确、速度慢的弊端；应用几何画板快速直观的显示及变化功能则可以克服上述弊端，大大提高课堂效率，进而起到事倍功半的效果。
具体说来，可以用《几何画板》根据函数的解析式快速作出函数的图象，并可以在同一个坐标系中作出多个函数的图象，如在同一个直角坐标系中作出函数y=x2、y=x3和y=x1/2的图象，比较各图象的形状和位置，归纳幂函数的性质；还可以作出含有若干参数的函数图象，当参数变化时函数图象也相应地变化，如在讲函数y=asin(ωx+φ)的图象时，传统教学只能将a、ω、φ代入有限个值，观察各种情况时的函数图象之间的关系；利用《几何画板》则可以以线段b、t的长度和a点到x轴的距离为参数作图（如图1），当拖动两条线段的某一端点（即改变两条线段的长度）时分别改变三角函数的首相和周期，拖动点a则改变其振幅，这样在教学时既快速灵活，又不失一般性。
《几何画板》在高中代数的其他方面也有很多用途。例如，借助于图形对不等式的一些性质、定理和解法进行直观分析──由“半径不小于半弦”证明不等式“a+b2ab(a、b∈R)”等；再比如，讲解数列的极限的概念时，作出数列an=10-n的图形（即作出一个由离散点组成的函数图象），观察曲线的变化趋势，并利用《几何画板》的制表功能以“项数、这一项的值、这一项与0的绝对值”列表，帮助学生直观地理解这一较难的概念。
二、《几何画板》在立体几何教学中的应用
立体几何是在学生已有的平面图形知识的基础上讨论空间图形的性质；它所用的研究方法是以公理为基础，直接依据图形的点、线、面的关系来研究图形的性质。从平面图形到空间图形，从平面观念过渡到立体观念，无疑是认识上的一次飞跃。初学立体几何时，大多数学生不具备丰富的空间想象的能力及较强的平面与空间图形的转化能力，主要原因在于人们是依靠对二维平面图形的直观来感知和想象三维空间图形的，而二维平面图形不可能成为三维空间图形的真实写照，平面上绘出的立体图形受其视角的影响，难于综观全局，其空间形式具有很大的抽象性。如两条互相垂直的直线不一定画成交角为直角的两条直线；正方体的各面不能都画成正方形等。这样一来，学生不得不根据歪曲真象的图形去想象真实情况，这便给学生认识立体几何图形增加了困难。而应用《几何画板》将图形动起来，就可以使图形中各元素之间的位置关系和度量关系惟妙惟肖，使学生从各个不同的角度去观察图形。这样，不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知识，还可以让学生的想象力和创造力得到充分发挥。
像在讲棱台的概念时，可以演示由棱锥分割成棱台的过程（如图2），更可以让棱锥和棱台都转动起来，使学生在直观掌握棱台的定义，并通过棱台与棱锥的关系由棱锥的性质得出棱台的性质的同时，让学生欣赏到数学的美，激发学生学习数学的兴趣；在讲锥体的体积时，可以演示将三棱柱分割成三个体积相等的三棱锥的过程，既避免了学生空洞的想象而难以理解，又锻炼了学生用分割几何体的方法解决问题的能力。
三、《几何画板》在平面解析几何教学中的应用
平面解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科，它研究的主要问题，即它的基本思想和基本方法是：根据已知条件，选择适当的坐标系，借助形和数的对应关系，求出表示平面曲线的方程，把形的问题转化为数来研究；再通过方程，研究平面曲线的性质，把数的研究转化为形来讨论。而曲线中各几何量受各种因素的影响而变化，导致点、线按不同的方式作运动，曲线和方程的对应关系比较抽象，学生不易理解，显而易见，展示几何图形变形与运动的整体过程在解析几何教学中是非常重要的。这样，《几何画板》又以其极强的运算功能和图形图象功能在解析几何的教与学中大显身手。如它能作出各种形式的方程（普通方程、参数方程、极坐标方程）的曲线；能对动态的对象进行“追踪”，并显示该对象的“轨迹”；能通过拖动某一对象（如点、线）观察整个图形的变化来研究两个或两个以上曲线的位置关系。
具体地说，比如在讲平行直线系y=x+b或中心直线系y=kx+2时，如图4所示，分别拖动图（1）中的点a和图（2）中的点B时，可以相应的看到一组斜率为1的平行直线和过定点（0，2）的一组直线（不包括y轴）。经过这个过程，学生不仅能很深刻地掌握直线系的概念，也锻炼了其思维的严密性。
综上所述，使用《几何画板》进行数学教学，通过具体的感性的信息呈现，能给学生留下更为深刻的印象，使学生不是把数学作为单纯的知识去理解它，而是能够更有实感的去把握它。这样，既能激发学生的情感、培养学生的兴趣，又能大大提高课堂效率。（新疆沙湾县教师进修学校；新疆；沙湾；832100）
参考文献：
［1］高燕《几何画板》在初中数学教学中的应用新华教育研究2009年第3期。
线上教学的几种方式篇8
什么是“启、读、究、讲、练”呢？“启”就是启发思维，由教师根据学生的知识水平和教材的实际，创设和诱发问题的情境，启发学生追求新知识的强烈欲望，获取知识的思维方法；“读”，是学生阅读课本，边阅读、边思考问题；“究”就是抓住教材的重点和疑点开展议论和探究，让学生亲自参与探索，发现和证明新的知识和结论的话动；“讲”和“练”就是在“启”、“读”、“究”的基础上，教师进一步揭示教材的内在联系和本质特征，抓住中心问题，深刻分析，精讲质疑，突出关键，揭示规律，使学生对教材形成一个完整的逻辑系统。最后通过精心设计和组织练习，将知识应用于实践。启是引路，读是基础，究是关键，讲是提高，练是运用。它们之间是相辅相成、互相渗透、互相揉合在一起的，并贯穿于课堂教学的始末。“启、读、究、讲、练”的教学方法的根本目的在于充分调动教与学的积极性，促进学生的思维发展，使学生变被动学习为主动学习，成为学习的主人。
这种教学方法可以用之于一个小的内容，例如“三元线性方程组的求解公式”，也可以用之于一个较大范围的内容，不过，在后一种情况下，需要把这些内容按照这种教学方法的要求重新组成一个教学单元。下面，以“圆锥曲线的方程”为例作一具体说明，我将课本中椭圆、双曲线、抛物线三个内容合成一个单元来进行教学，并将教学过程大致归结为五个步骤。
第一步，启发引路。由教师介绍本单元的概貌、逻辑结构、知识的发展线素及分析处理方法，展示自学探究的路线图。我首先介绍了本单元的任务是研究圆锥曲线的标准方程和几何性质，接着指出研究问题的思想方法是：根据椭圆、双曲线和抛物线的几何条件，选择适当的坐标系建立标准方程，从而把“形”的问题转化为“数”的问题（曲线方程）来研究，再通过分析标准方程，把“数”的问题转化为“形”来讨论，进而研究这三种曲线的几何性质。这里运用了重要的分析工具——坐标法，接着指出这三种曲线的研究方法是类同的，重点应放在椭圆，这样，就能使学生站在高处，为下一步阅读探究创造条件。
第二步，阅读探究。按照教材的不同特点，可分两种形式进行。对于定义、概念的内容，应以阅读为主，对于性质、定理、公式的推证内容，可考虑用探究的方式。在“圆锥曲线的方程”这一单元中，我采取了先探究后阅读的方式。
首先由学生动手做实验（按要求事先准备好细绳、图钉、铅笔、三角板等），绘出椭圆、双曲线、抛物线的图形，引出它们的定义，并通过选取恰当的坐标系，建立最简形式的标准方程，然后引导学生分析标准方程，讨论它们的图象和几何性质。上面的工作完全是放手让学生探究发现的，接着便组织学生交流各自的研究成果。多数学生都能够独立推导出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，但是对几何性质的研究不够全面。这时，可指导学生阅读课文，一方面对照自己所研究的结论是否正确，另一方面切实弄清圆锥曲线各个几何量及其性质（如长轴、短轴，实轴、虚轴、焦点，焦距、离心率，准线、渐近线等）。为了使对问题的认识不断深化，提高到更高的层次，而取得规律性的认识，我还拟编下列提纲让学生边阅波、边思考：
①建立椭圆、双曲线、抛物线方程的思想方法是什么？它是怎样将曲线（形）的问题转化为方程（数）的问题来研究的？
②怎样从椭圆、双曲线和抛物线的标准方程的不同表达式中掌握它们的图形的特性和位置关系？
③确定椭圆、双曲线和抛物线方程需要多少个独立条件？椭圆、双曲线方程中参数a、b、c和e有什么关系？它们的几何意义是什么？抛物线方程中的参数p对曲线有何影响？
④试比较椭圆、双曲线和抛物线之间的异同？
在自学阅读的同时，要求学生完成课本的基础练习题。
第三步，精讲质疑。在学生阅读探究的基础上，教师作重点讲授，进行解惑和质疑的工作.我结合前面四个思考题，着重分析建立各个圆锥曲线方程的条件、方法、途径、曲线间的异同和联系等，使学生形成完整的知识系统。
第四步，“题组练习”。在精讲的基础上要达到精练，为此必须设计和组织好练习。练习要呈一定的梯度，要符合学生的认识规律，由浅入深，由易到难，循序渐进。通过“题组”的方式，可以根据教学目的，教学内容，将重点、难点或方法集中地表现出来.学生的练习就有明确的目的和针对性了。
例如，在解决“按给定的条件，确定圆锥曲线的方程”这个问题时，拟定了如下“题组”：
①已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且比焦点与长轴上较近端点的距离是，求椭圆的方程。
②已知椭圆图2=1的两个顶点在双曲线的焦点上，而双曲线的两个顶点又在椭圆的焦点上，求这个双曲线的方程。
③抛物线图3有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边的方程是y=2x，斜边长是图4，求此抛物线的方程。
通过练习可知：确定椭圆和双曲线的方程，要由a，b，c和e之间的关系定出参数a，b（或a2，b2）确定抛物线方程要定出参数p。解题的关键是列出方程组，通过解方程组求出参数。
线上教学的几种方式篇9
几何内容是初中数学教科书的重要组成部分，是发挥数学学科实用性的重要载体，也是数学向其他学科扩展和应用延伸的基本核心工具，“符号语言明了，图形呈现直观，文字语言细腻”，这三种各自不同而又相互关联的几何内容呈现形式，充分体现了几何内容的抽象思维特征，而正是这种独特的内涵特征对学生逻辑思维及推理能力的培养与挖掘有着重要作用，可也正是这种既抽象又复杂的转换关系使得学生初步接触几何知识，感到可听可解却无法下手，究竟是教师教法不妥，还是学生学法不当？本文针对几何入门教学过程中的情感体验浅谈几点认识。
二、几何入门哪里难
（一）思维方式转换难
七年级是学生思维发展的质变期，数学学习思维的转变直接影响学生进入中学后的成绩。初入中学，学生的思维方式正经历着一种从“数”转入“形”的学习，从“代数运算”为主，转入“几何推理”为主的变化过程。七年级的学生学习初期，任何题都习惯于用代数思想，拿到几何题第一反应是能否用一个数学算式解决问题。学好七年级几何是初中几何的基础所在，可见，数学学习方式的转变需要给学生一段适应过程。因此，在这一敏感时期，如果老师不把握学生的学习特点，从思维上转化学生的学习方式，学生将始终处于被动的接受状态，将视几何为天敌。
（二）基础概念表现形式区分难
初学几何从点、线（线段、射线、直线）、角到基本几何图形的认识，从基本的表示方法到探究线与线、角与角的相互位置关系、数量关系，所有的概念不再是单一的文字叙述，而是转化为几何语言和用字母表示各种基本几何图形，学生初学如不能结合具体图形、教学用具吃透概念，掌握各种基本元素的表达方式，后期的几何学习和推理证明将更加难以推进。而出现这些问题很重要的原因有两个：一是老师备课环节过高地估计了学生的接受能力，学生小学接触到的几何知识仅是形的认识和基本特点的应用，而初中几何是由几何基本元素的构成成分、表示方法逐步过渡到逻辑推理和相关定理的证明，是一个循序渐进的过程，若筑基不够牢固，建筑怎能禁得起风雨说的就是这个道理。
（三）定义、定理、公理理解难
随着几何知识的深入，作为几何知识结构的基础，几何公式和定理是数学思想方法的重要载体，具有高度的抽象性和概括性，尤其是专业术语多，学生初次接触这些逻辑性很强的定理，不能很好地把握和正确理解逻辑符号和逻辑词，例如，“每两点”“任意取”“有且只有”“在同一平面内”等，学生都停留在死记硬背的层面上，导致后期需要作辅助线的时候，出现语言不准确、表达不清楚等一系列问题。
（四）文字语言、符号语言、图形间的相互转化难
几何语言的要求比其他任何学科都高，有时多一个字或少一个字都可能使表达的意思或意义发生转变。几何的基本语言形式有三：一是图形语言，二是文字语言，三是符号语言，这三种语言在几何中通常是并存的，有时又是相互渗透和转化的，因此，掌握好这三种语言是学好平面几何的基础，也是学生面临的一个难点。学生没有养成好的学习习惯，动笔不动图，读题不做标注，对于文字语言和符号语言的转换意识不强，使得几何证明就像写作文，重复累赘，文字冗杂，只知其意，表意不明。
（五）证明几何语言规范难
学生在初步接触几何时，基本不理解几何的学习特点，不明确学习目的，表现出学习上的不适应；到了论证阶段，更是大部分学生不习惯于推理论证，不会利用尺规工具作图，证明的必要性把握不充分，更有学生把要证明的结论拿来当条件用，不能将题目条件和图形有效结合，不能从结论入手寻找有利的证明思路，使得逻辑思维混乱，语言叙述跳跃性大，导致解题过程书写无序，表达不规范。
三、教学应对策略
（一）开门见山难入行，巧用生活激兴趣
如何培养学生学习几何的兴趣，如何使学生理解抽象的几何概念，掌握更加严谨的数学语言，使他们不再感到“几何、几何、无可奈何”这一困惑，引领他们顺利地通过几何入门阶段的学习，是摆在老师面前的一个重要课题。
教师在备课环节如不注重几何入门的兴趣启发，就不能激发学生的学习动机，改变学生的畏惧心理，让学生想学、爱学，那么学习几何的道路将是被动艰难的。在教学中，教师开门见山，“今天我们将走进几何，一起探索几何……”随之而来的就是一系列几何基本元素、几何概念，学生完全在老师的带动下强制接受理论，这样的方式学生很难接受。反之，让学生明白我们的生活与几何息息相关，借助教材引言向学生介绍几何的起源，以及我们祖先对几何学发展所作的贡献，并列举几何知识在生产建设与日常生活中的广泛应用，激发学生对学习几何的兴趣；在接触几何图形之后，广泛指导学生动手操作，通过折纸、作图、模具演示强化学生的直观感受，进而理解性质和定理。
（二）平铺直叙难掌握，学具作图助教学
初中几何教学作为一门抽象性学科，如果教师在教学过程中过多地注重讲解，对教材上的概念只作字面解释就要求学生背诵概念，不注意结合学生的感性认识，将会使教学效果不尽如人意。教师必须以学生丰富的感性知识为基础，借助于教具、模型、实物和图形，结合几何画板工具直观演示，使学生经历从直观感知到抽象思维，从而理解概念，学生才能真正吸收。
例如，直线的表示形式可以由两个大写字母或一个小写字母表示，直线aB和直线a可以表示同一直线，但在实际解题中，学生习惯用一个大写字母表示一条直线。出现这些问题的主要原因是老师在讲授这个知识点时直接将直线的表示方法呈现给学生，学生记忆力好就不会出问题，可如果不记忆或者记忆混淆在做题中就会屡次出问题。若老师能借助图形，明确直线的两种表示方法出发点是不一样的，直线是由无数个点构成，而两个大写字母是任取的直线上的两个点，点是由大写字母来表示，由“两点确定一条直线”的道理让学生理解表示方法的缘由，学生就不会出现类似问题。
（三）灌输强记难理解，分析联想抓证明
在数学学习过程中，常常有老师感叹，课上定理都逐条讲解了，学生也都背了，提问学生也能复述了，为什么一到做题的时候都是问题？要么把判定和性质用混了，要么不知道对应题型用什么定理，更不用说遇到稍有变化的新题型了。当老师有这种疑问的时候就要反思自己的教学过程了：是否是照本宣科灌输教学呢？是否结合图形演示推断了呢？是否举一反三辩证定理了呢？学生还只是停留在上课听懂的初级层面上，抑或是似懂非懂，而能达到举一反三应用知识解决问题才是对学生数学知识在头脑中加工重组建构的更高层次的要求，也是必须要达到的要求。针对这种情况，教学应作出调整：
定理就是概念之间某种关系的反映，要使学生掌握某个定理的内容，并学会证明，必须先明确有关的概念。因此，充分利用“数形结合”的思想掌握定理，采用“发现法”的教学方法，使学生经历观察、猜想、验证、结论的过程，从分析条件到自己总结正确的结论，再结合几何图形，用几何语言给出定理的证明过程。这个完整的过程既培养了学生的思维能力，又强化了学生对定理的理解，并训练了学生解题的规范意识。
（四）口述直译难动笔，示范练习含思想
数学教学最大的忌讳就是老师只讲不动，为什么在解题过程中会发现很多学生难以动笔，读得懂题意，也能得出结果或结论，可落到卷面上就有一种惨不忍睹的感觉？老师在总结的时候总会说学生平时不注意总结，没有多练，其实根本问题是老师的示范作用没有充分发挥。
作图是几何教学的一个难点，我们在进行几何教学时一定要从基本作图抓起，讲清作图的要领、方法和步骤，让学生在教师的指导下先读懂“几何语言”，然后边讲解边示范，要求学生跟老师一步一步地作图，及时纠正学生在作图中出现的错误。另外，教学所举例题是范例同样也是思维训练的手段，从分析题意、数形结合、语言转化到形成过程，每一个步骤都必不可少，需要规范答题，也要带领学生领悟解题思路和技巧，以及蕴含的思想方法。示范过后再让学生动手重温分析方法、解题过程，突破容易出错的地方，总结方法和技巧以达到思维提升的目的。
（五）重复练习难消化，精讲精练勤总结
在教学中，老师发现学生解题总有思维混乱、毫无逻辑、语言表达不规范等问题，再三强调无果的情况下往往会加大题量，在作业本上反复练习，课堂作业再练习，效果达不到预期再进行补充练习，“题海战术”再次回到新课改教育的现实中，学生苦不堪言，老师身心疲惫。
练习是巩固和检测所学知识掌握情况的手段，而不是通过练习使学生达到掌握知识的目的。教学过程是主，练习是辅，课上练习要精心设计，当堂检测，分级检测，遇到问题做到堂堂清，在练习中强化学生对知识的理解应用；课后练习更要精选精练，题型、知识点、解题方法、数学思想覆盖面要广，再对练习题进行精讲，分析知识要点，强化答题规范，落实查缺补漏，多反思多总结。
初中几何入门教学的成功与否，直接关系到学生数学能力的培养和数学学习兴趣的激发。其中，数学教师发挥着至关重要的作用，必须加强教学研究，以学生为本，发挥学生的主体性，为学情需要的推动创设高效的教学设计和课件。从基础抓好，扎实抓好每一个环节，调动学生的想象能力和动手能力，如何消除学生的几何畏难情绪、提高几何的有效教学、实现数学的教学目标是每一个数学教师面临的重要课题。
参考文献：
线上教学的几种方式篇10
【关键词】立体几何;复习策略;空间感知;空间想象能力;向量;传统法
立体几何是高中数学的重要知识板块，其在建立学生空间感知、图形结构、空间想象能力方面有着重要的作用。陕西师大罗增儒教授对课程标准关于立体几何的建议如此解读：要努力培养学生的空间想象能力，使学生掌握空间点、线、面之间的关系，逐步建立起空间感知，既要注重传统立体几何公理化体系对学生空间知识的螺旋式搭建，也要让学生了解空间向量对解决立体几何问题的作用。
从标准的这一段解读中，笔者认为空间几何教学需要教授的是立体几何的关键与核心，从两个分支来说，即需要掌握公理化体系与向量解决方案的共同实施;从知识点来说，空间几何的核心考查围绕于空间感知、平行与垂直、角和距离等以及其他各种相关小题;从能力诉求来说，考查空间问题平面化的能力以及运用代数方式解决立体几何的向量运算能力。鉴于上述分析，笔者认为空间几何教学的复习策略要注重下列方面：
1.关注空间感知
立体几何在空间感知方面需要长时间的培养和巩固训练，这主要从公理化体系中的命题判断、对一些问题的直观感知等方面进行培养。空间感知对于学生而言，是立体几何教学最感性的培养，空间感知培养是否优秀对于学生解决立体几何的概念性问题有着极为重要的指导，因此立体几何教学复习的首要是给予学生扎实的双基培养。
案例1：l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题错误的是。
（1）l1l2，l2l3？圯l1∥l3;（2）l1l2，l2∥l3？圯l1l3。
（3）l1∥l2∥l3？圯l1，l2，l3共面;（4）l1，l2，l3共点？圯l1，l2，l3共面。
易错分析：由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断。
解析：当l1l2，l2l3时，l1与l3也可能相交或异面，故（1）不正确;当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故（3）不正确;l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故（4）不正确。因此（1）（3）（4）为错误命题。
温馨提醒：（1）平面几何中的一些定理和结论在空间中不一定成立，如“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”在空间中不成立，所以在用一些平面几何中的定理和结论时，必须说明涉及的元素都在某个平面内;（2）解决点、线、面位置关系问题的基本思路：一是逐个判断，利用空间线面关系证明正确的结论，寻找反例否定错误的结论;二是结合长方体模型或实际空间位置（如课桌、教室）作出判断，但要注意定理应用要准确、考虑问题要全面细致。
案例2：在正方体aBCD―a1B1C1D1中，e，F分别为棱aa1，CC1的中点，则在空间中与三条直线a1D1，eF，CD都相交的直线有________条。
审题视角：找三条异面直线都相交的直线，可以转化成在一个平面内，作与三条直线都相交的直线。因而可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面。进而研究公共交线问题。
解析：方法一，在eF上任意取一点m，直线a1D1与m确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点n，当m取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点n，而直线mn与这3条异面直线都有交点。如右图所示。方法二，在a1D1上任取一点p，过点p与直线eF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接pQ，则pQ与eF必然相交，即pQ为所求直线。由点p的任意性，知有无数条直线与三条直线a1D1，eF，CD都相交。
温馨提醒：本题难度较大，问题比较灵活。对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查，要注意的是本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多。这说明学生还是缺少空间想象能力，缺少对空间直线位置关系的理解。
2.传统与向量并举
传统公理化体系的解决方案愈来愈在教学中不受教学重视，这里既有教师教学的原因也有学生对方法选择使用的原因。从近年来高考问题坚持两种解决方案并举的今天，笔者认为立体几何依旧要坚持传统公理化体系的建立，在这基础之上辅以空间向量的解决方案，使学生学会两种不同的方式掌握立体几何问题的解决。
例2（2013年镇江模拟）如图1，在四棱锥p-aBCD中，底面aBCD是矩形，pa平面aBCD，pa=aD=2，aB=1，BmpD于点m。（1）求证：ampD;（2）求直线CD与平面aCm所成的角的余弦值。
分析：（1）略;（2）线面角的解决是空间几何中最常考查的一种角的问题，对于本题所涉及的线面角，笔者以为平时教学中宜用两种不同的方法进行教学，孰优孰劣应该由学生自己选取，学生对立体几何不同的掌握决定其自身对向量法的使用更为合适还是传统法的解决更为轻快，教师的主要职能是引导学生两条腿走立体几何的路。
说明：（1）求线面夹角时重点是找到斜线在平面内的射影，因此重点是找到直线上一点向平面作垂线。（2）求线线角和线面角时，有时可通过平移改换要求的角，有时不易直接找到角可以利用等体积法求距离，使问题得以巧妙解决。（3）第一问往往是为第二问设置台阶，要注意这一规律。
总之，新课程下的立体几何教学相比传统，有了显著的变化，我们教学既要关注立体几何本质的传递，也要掌握和熟练运用空间向量法解决立体几何中角和距离的常规问题。限于篇幅，本文未对常规的角和距离问题进行展开求解说明，更多关注的是培养学生空间感觉、立足向量基础和紧抓几何本质的视角，阐述了新课程立体几何教学的复习策略。上述两方面是立体几何复习教学的重要方面，关注空间感知和两条路的并举是解决空间几何问题的关键，限于篇幅笔者用三个案例阐述了复习教学需要掌控的方向，不足之处请读者批评指正和补充。
【参考文献】
[1]俞求是.高中数学新课程立体几何教学问题研究[J].数学教学.2010.2
[2]岳儒芳.由2009年高考立体几何题阅卷引发的思考[J].数学通讯.2009.8