分类讨论的方法篇1
对于数学问题，一方面由于我们面对的问题涉及面广、综合性强，另一方面，由于解题中经常忽视分类讨论或讨论中发生逻辑错误，所以学习中有必要对分类讨论思想引起足够重视并加强训练。进行分类讨论的关键是明确讨论的动因，即认识为什么要分类讨论，只有明确了讨论的原因，才能准确、恰当地进行讨论。掌握好分类讨论这种思想方法，有利于培养我们思维的条理性和严密性。下面从几个方面论述分类讨论的动因和方法。
一、正确运用数学概念进行分类
有些数学概念本身就是以分类形式定义的，如实数的绝对值。因此，要去掉绝对值的符号就要分情况讨论，即|a|要按a>0时，|a|=a；a=0时，|a|=0；a
例1：解不等式3|x+2|＋3|x-1|≥28。
分析：绝对值概念的本身就是按分类来定义的，为去掉指数中的绝对值符号，须进行分类讨论。
解：①当x≤－2时，原不等式变为3－x－2＋31－x≥28，即■・3-x≥28，解得x≤－2；②当－2＜x＜1时，原不等式变为3x＋2＋31－x≥28，即9・32x-28・3x+3≥0，解得3x≤■或3x≥3；得x≤－2或x≥1，这与假设矛盾，此时不等式无解；③当x≥1时，原不等式变为3x＋2＋3x－1≥28，即■・3-x≥28，解得x≥1。综上所述原不等式的解集为｛xx≤－2或x≥1｝。
二、按某些运算的要求分类讨论
有些运算有一定的要求限制，如除法要求除式不为零；解不等式要看不等式两边是同乘以一个正数还是负数；在实数集内开偶次方时被开方时须非负；对数运算其真数应为正数等。这些都是进行计算时需进行讨论的动因。
例2：已知函数f(x)=x-■+1-alnx，a＞0。讨论f(x)的单调性。
分析：由求导可判断单调性，同时要注意对参数的讨论，既不能漏掉，也不能重复。
解：由于f′(x)=1+■-■，令t=■得y=2t2-at+1(t≠0)，
①当?驻=a2-8≤0，即0
②当?驻=a2-8>0，即a>2■时，由2t2-at+1>0得t■，
■
综上①当0
三、根据相关限制条件分类讨论
有些数学定理或公式，其结论本身就是按分类讨论来进行表述的，如解一元二次方程或一元二次不等式，就需按判别式的各种情况来讨论；等比数列前n项和公式就是按公比q是否等于1来讨论；无穷递缩等比数列的极限■qn，仅在|q|＜1时才成立。
例3：设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项和为Sn，又设tn=■，其中n＝1，2，…，求■tn。
解：当q=1时，Sn=n，Sn+1=n+1，
■tn=■■=1；
当q≠1时，Sn=■，Sn+1=■，tn=■；
当0
■tn=■■=1；
当q>1时，有0
■tn=■■=■。
综上所述，■tn=1，0＜q≤1，■，q＞1。
点评：对分类讨论的结果，若能用公式的形式予以概括表出，会给人一种清晰简明的感觉，自我检查时也会一目了然。
四、根据函数的某些性质分类讨论
有些数学问题涉及到函数的单调性、值域范围等，因此在解题时，常常要讨论参数的不同取值的情况。
例4：已知a>0，a≠1，解不等式loga(x2-2ax-2a2)>2。
解：当0
loga(x2-2ax-2a2)>2?圳x2-2ax-2a2>0x2-2ax-2a2
?圳x>(1+■)a或x
?圯-a
当a>1时，由y=logax为增函数，知
loga(x2-2ax-2a2)>2?圳x2-2ax-2a2>0x2-2ax-2a2>a2
?圳x>(1+■)a或x
?圯x3a。
综上所述，当01时，原不等式的解为x3a。
点评：解对数不等式必须考虑对数函数的增减性，因此必须对其含有参数的底数取值范围进行分类讨论，这种题型在各类考试中时有出现。
以上所述的几个方面既是引起分类讨论的原因，同时也是我们进行分类讨论的方法和策略。现就有关的几个问题概括和归纳如下：（1）分类讨论的一般步骤：①根据实际解题需要确定分类的对象和讨论的范围；②确定分类的标准，进行合理分类；③逐步讨论（必要时还要进行多级讨论）；④总结概括，得出结论。（2）分类常用的方法和策略：①概念和性质是分类的依据；②按区域进行分类是基本方法；③不定因素是分类的突破口；④二分法是讨论的利器。（3）合理分类的三条标准：①对所讨论的全域分类要“既不重复，又不遗漏”；②在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；③对多级讨论，应逐级进行，不能越级。
分类讨论的方法篇2
关键词：分类讨论思想；一次函数；应用
当前，数学思想和数学思想方法多种多样。一个好的数学思想能轻松的解决生活中的实际问题，一种好的数学思想方法能便捷的使我们学习理解一个数学思想。本篇论文主要论述分类讨论思想和一次函数及分类讨论思想在一次函数中的应用。目前国内外论述分类讨论思想在一次函数中的应用的论文不胜枚举，大多都是从函数的概念、性质、图像、实际应用和解题需求这五个方面分类。首先，分类讨论思想是基本数学思想方法之一。它是一种解决生活中的实际问题的逻辑方法。合理地使用分类讨论思想，我们可以使繁琐的问题简单化，使解决问题的思路更有条理。分类讨论思想在教学中的应用实际就是“化整为零，各个击破”的教学策略。这也是为什么教材每个章节需要分各个小节。同时，分类讨论思想应用到数学教学中，有助于提高学生的逻辑性、条理性、概括性，对于培养学生严谨的科学态度和逻辑的数学思维有重要意义。使学生掌握分类讨论的思想方法有助于提高学生解题能力和分析问题的效绩。其次，一次函数是重要的几类函数之一，合理的利用好一次函数可以便捷的解决生产和生活中的诸多问题。近年来的考纲都有应用书本知识解决实际问题的考点，诸如成本最小化、经济效益最大化、方案最优化等等。可见掌握函数思想的重要性，因此学生应该学好一次函数。最后，学习一次函数常用到分类讨论的思想方法。分类讨论思想应用到一次函数中使教学思路更有条理，教学方案更清晰明了。
一、浅谈分类讨论思想
（一）分类讨论思想的起源
大家都知道数学思想方法的两大源头分别是中国的《九章算术》和古希腊的《几何原本》。随着古今学者的研究发展，数学思想方法已经出现了很多种。分类讨论思想方法就是众多的基本数学思想方法之一。
分类现象自古就存在。远古时期，人们收集到的食物会分类保存。能长时间保存的和不能长时间保存的、可以播种的和不能播种的植物，能圈养和不能圈养的动物。一个狩猎团体根据体质差异也有分工，行动敏捷的成员负责吸引猎物的注意力，身体壮实的负责对猎物造成伤害，臂力大的负责投掷标枪等等。现在分类现象随处可见，各种各样的职业共同推动社会发展，大小不一的零件使机器正常运行。正是因为分类思想，人们有条理的生活着，避免了很多的差错与混乱现象。分类思想是古老文明的基本思想。
司马迁编撰的《史记》[1]卷六十五《孙子吴起列传第五》曾记载“田忌赛马”的故事，齐王与田忌赛马，双方按马的速度将马分为三等，齐王同等次的马的速度均高于田忌。田忌将马出场次序换位以下等马对齐王的上等马，以上等马对齐王的中等马，以中等马对齐王的下等马赢得比赛。田忌这种根据对方的马出场次序而相应的对自己的马出场次序作出调整的思想方法就是分类讨论思想。正是因为这一思想，田忌巧妙地赢得了比赛的胜利。为古代人的智慧史添上了绚丽的一笔。通过这个事例我们知道分类讨论思想的重要性，分类讨论思想其实与我们的生活息息相关。
现在已经有很多的学者专家都有总结分类思想的含义，在《数学思想方法教学研究导论》的第253页指出：“分类是基本的逻辑方法之一，数学中的分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法。分类以比较为基础，通过比较识别出数学对象之间的异同点，然后根据相同点将数学对象归并为较大的类，根据差异点将数学对象划分为较小的类，从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级系统。”
随着数学的发展，分类讨论思想方法逐渐演化成数学思想方法的主要思想方法之一。同时，也正使得数学这门学科使得分类思想方法更加地深化与细化。如今，分类讨论思想方法已经是中高考试中的常考点。
（二）分类讨论思想的概念界定
我们先了解分类讨论思想的汉语释义。“分类”一词在辞海中的释义为根据事物的特点分别归类。“讨论”一词在辞海中的释义为就某一问题进行商量或辩论。“思想”一词在辞海中指思维活动的结果，属于理性认识。从分类讨论思想的汉语释义可以知道分类讨论思想先分别归类再逐一商量讨论。
分类思想和分类讨论有什么区别与联系呢？按从属关系划分，分类讨论是一个种概念，分类思想是一个属概念。分类思想并不专属于数学领域，它是人们早期认识世界面貌、改善生活条件的一种思维形态，即把复杂的事物依据其种类、性质或品级进行划分或归类。分类讨论是分类思想实际应用的一种具体形式，它要求把事物进行划分归类，把分类的若干个种类进行逐一的研究讨论，最后把分类的若干讨论结果归纳总结。
在数学领域各学者对于分类讨论思想方法的概念界定几乎大同小异，对于分类讨论思想方法的概念几乎不存在争议。顾泠沅教授所著的《数学思想方法》有提到分类讨论这一思想方法。在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现化整为零、集零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，有关分类讨论思想的数学问题是比较繁琐复杂的，通常安排在解答题板块，所占分值比较高。所以在高考试题中占有重要的位置。
（三）分类讨论思想的分类原则与方法
分类讨论思想的分类原则：（1）所要分类的对象必须是确定的（2）分类出的各级内容必须是完整的，不能犯遗漏某一级这种错误（3）应该按同一标准分类（4）各个集域应当是互斥的，不出现重复的集域（5）分类必须逐级进行，不能越级分类。分类讨论思想的分类方法：明确分类讨论的对象，确定对象的所有内容，明_分类的标准，将对象正确进行分类；逐级进行讨论，获取阶段性结果，归纳小结，综合结论。
三、分类讨论思想在一次函数中的应用
分类讨论思想在一次函数中的应用主要体现在一次函数的概念、性质、图像与实际应用这几个方面。
（一）分类讨论思想在一次函数概念方面的应用
如何来辨别一个函数关系是不是一次函数？前面已经给出了一次函数的概念。一般地。形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数（linearfunction）.当y=kx+b中的k是变量或者x的指数是变量时，该变量取不同的值会有不同的结果，因此就需要是用分类讨论的思想方法逐一讨论。
那么我们来看这道例题：
例4已知函数y=（m-5）x2m-1+3x-1，当m为何值时，该函数是一次函数？
分析：根据函数概念，本题应该分为三种情况讨论：当m-5=0时，函数是一次函数；当2m-1=1时，函数是一次函数；当2m-1=0时，函数是一次函数。综上所述，m=5或1或。
（二）分类讨论思想在一次函数性质方面的应用
我们已经知道一次函数具有单调增减性，一次函数的增减性在生活中经常用到。一次函数要么递增要么递减，因此又是也需要用到分类讨论思想。
例5一次函数y=kx+b，当2≤x≤4时，10≤y≤14。求的值。
分析：此题中一次函数的单调性尚不明确，因此需要分为两种情况讨论：
当函数单调递增时，即当x=5时，y=10，当x=4时，y=14，因此k=2，b=6
故=3，当函数是单调递减时，即当x=2时，y=14，当x=4时，y=10，因此k=-2，b=18故=-9。
（三）分类讨论在一次函数图像位置方面的应用
如果一次函数y=kx+b中的k或b不明确那么一次函数图像在平面直角坐标系中的位置也将不明确，因此很多时候需要用到分类讨论思想来解决相关问题。
例6已知正比例函数y=x和一次函数y=kx+2的函数图像与x轴围成了一个面积为1的三角形，求一次函数的解析式。
分析：此题中一次函数的斜率并不明确，因此函数图像的位置需要分为两类。因为已经知道两个函数图像与x轴围成的三角形面积是1，且一次函数经过定点（0，2）根据斜率将一次函数分为递增和递减两类：当一次函数单调递增时，一次函数经过x轴上的点a（-1，0），一次函数解析式为y=2x+2；当一次函数单调递减时，一次函数经过x轴上的点e（2，0），一次函数的解析式为y=-x+2。所以总结两类讨论，一次函数的解析式为y=2x+2或y=1x+2。作图如图3.1和图3.2。
（四）分类讨论在一次函数实际问题方面的应用
一次函数应用到实际问题中已经是常考点，这使数学更贴近生活，培养学生灵活运用知识的能力。而在一些典型题型中常需要用到分类讨论思想。
例7小明准备换电话卡，现在他已经了解了两种电话卡的套餐。a卡套餐为每月通话不超过100分钟，则按每分钟0.2元收费，若每月通话大于100分钟则超出时长按每分钟0.16元收费；B卡套餐为每月通话不超过200分钟按每分钟0.2元收费，若每月通话超过200分钟超出时长则按每分钟0.12元收费。如果小明每月通话分钟，请问他该如何选择套餐最划算？
分析：此题尚不明确小明每月通话时长，因此需要分三种情况讨论：
当0≤x≤100时，显然两种卡消费一样。
当100≤x≤200时，a卡有优惠，B卡无优惠，因此选择a卡。
当x>200时，设a、B两卡消费分别为y1、y2。a卡消费为y1=0.16x+20，B卡消费为y2=0.12x+40，当y1=y2时，x=500因此又需要分三种情况讨论：当x=500时，a、B两卡消费一样，当200500时，y1>y2选B卡更划算。
分类讨论思想这是数学基本思想方法之一。学生熟练掌握了这一思想方法，将更有逻辑有条理的分析处理问题。一次函数是最基本的函数，它对于解决实际生活生产需要有重要意义。教师在教学一次函数时应当科学的选取适当的教w方法，务必是学生理解掌握一次函数，并将其迁移到实际问题中去。
参考文献：
[1]司马迁，史记，北京联合出版社，2016.
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[6]姬梁飞，科教文汇，论分类讨论思想方法，2017.
分类讨论的方法篇3
【关键词】初中数学分类讨论探讨
【中图分类号】G632【文献标识码】a【文章编号】1674-4810（2014）01-0133-02
分类讨论是初中数学中常用的数学思想方法之一。在新课改的大环境下，要想在初中数学教学中，使学生真正地掌握分类讨论的方法，教师要对这种方法的意义和重要性等方面有详细的认识和了解，并对其应用的策略与方法熟练掌握、不断探索创新。
一初中数学教学中分类讨论的必要性
在新课改中，强调了对学生综合能力的培养，学生总体素质和能力的提高是教学的重点。对有关的数学问题进行分割，将其按种类进行划分，然后对其进行逐个的解答，这个过程称为分类讨论。做好分类讨论的教学工作，符合新课改的要求，有利于学生整体素质和能力的提高。在进行分类讨论时，最基本的要求就是做到尽量不要将知识点重复讲解，也不要遗漏重要的知识。在初中数学教学中运用分类讨论的办法，能够有效地提高学生的创新能力和探究能力，在这一点上与新课改的要求是一致的。分类讨论对于学生思维的培养有着积极的作用，能够提高学生思维逻辑的有序性和严谨性，使学生能够对遇到的问题进行全方位的仔细分析，对其进行更深一步的探究，同时还能使学生的思维更加连贯。虽然在初中数学中的分类讨论有很多的好处，但是其对于学生来说，具体学习和掌握起来有很大的难度。通过多年的教学工作和学生的学习效果来看，很多学生还是做不好分类讨论，表现为对分类讨论运用得不够，在进行分类讨论的过程中，对于问题的考虑不够全面，使得在考试中这方面问题的得分率不高。对导致这种现象的原因进行分析，主要是在实际的初中数学的教学中，教师对于分类讨论思想的强调和讲解不够，学生不能够熟练地运用分类讨论思想。
数学问题究其本质是一样的，只是在某些具体问题上存在着差异，在对这些数学问题进行分类时，导致需要进行分类讨论的原因主要有以下几种：
第一，数学中相关概念的不同，例如对于绝对值的定义，我们将其分为小于零、等于零和大于零这三个具体的情况；对于求含有字母的绝对值的问题时，也要进行分类讨论；此外还包括对实数进行分类等等。
第二，某些数学公式、定理以及性质等在进行变换时存在着特定的约束限制条件，这时候也需要进行分类讨论，如对一元二次方程根的解决。
第三，在几何知识中，在图形的位置之间的关系变化和图形大小的变化等问题上，需要进行分类讨论，例如圆和直线的关系的确定；圆和圆位置关系的确定；利用圆周角确定同弧的圆心角时，都要用到分类讨论。
第四，在式子中存在某个字母参数时，要对参数的取值范围和各种临界点进行分类讨论，例如一次函数中K值的不同引起函数图像的变化；不等式的性质等等。
二初中数学中运用分类讨论思想的重要意义
当我们在对于一些数学问题进行求解时，问题对象的不同可能会对研究结果造成很大的不同，使得最后的结果不能满足实际情况，所以，在求解的过程中，对于具体问题要进行分类的讨论；另外，随着问题的研究，出现了多种情况，也需要我们对其进行分类讨论和研究。
在解决数学问题的时候，运用好分类讨论，能够将原本复杂的问题简化，能够更清楚地了解问题的本质，在某种特定环境下对问题进行分析，使问题变得简单。“分类讨论”简单来讲就是对于数学问题先进行分类，然后逐个进行讨论。在对教材和教学大纲的阅读时可以发现，在初中数学的教材中对分类讨论是由易到难来进行安排的，将“分类讨论思想”划分为两个部分。首先是“分类思想”，它在初中数学教材的编排中较为重视，对此方面的教学安排较多，目的是为了使学生建立起分类的好习惯，正确运用分类方法。其次是“讨论思想”，对于讨论方法的学习要求教师在教学中向学生逐渐渗透。
三初中数学教学分类讨论思想的基本原则
在初中数学中的分类讨论要严格遵照一些基本原则去进行，本文将这些原则大体总结为以下几点：
1.标准一致性原则
在进行分类时要按照一致的标准进行，对于同一个问题在进行分类时按照不同的标准进行，这样会造成分类的混乱。例如，在实际的教学中，有的学生对三角形进行分类时，将其分为钝角三角形、锐角三角形、直角三角形、等腰三角形、不等边三角形。在分类时将按角分类和按边分类混用，造成了分类的混乱。锐角三角形中存在着等腰三角形，直角三角形同时也可能是等腰三角形；而等腰三角形中同时包含着锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。这种混乱的分法对于学生的学习和理解无形之中增加了困难。
2.无交集原则
在进行分类后，各个分类情况中包含的子项应该是彼此没有交集的，要做到互相排斥，不产生关联，要做到同一个子项只属于某一个大类。例如在运动会上，班级里有十个同学参加了田径和舞蹈两个比赛，其中七个人参加了舞蹈比赛，六个人参加了田径项目。假如将这十个人按照参加舞蹈和田径比赛来进行划分，这就违背了无交集原则，这是因为，在这十个人当中，一定有人参加舞蹈比赛又参加了田径比赛。
3.相称性原则
在进行分类时要做到相称，也就是说在分类之后，分成的各小项的总和在进行扩展和延伸时，要与未分类之前问题的拓展和延伸相对称，不能在分类之后，在进行问题延伸时与原问题出现差错。例如对于有理数的分类，有的学生将其分为负有理数和正有理数，这就违反相称性原则。分类后各项进行延伸后的和小于分类之前的，没有将零这种特殊的有理数考虑在内，因为零既不属于正数又不属于负数。
4.多层次性原则
对问题的分类包括一次分类和多次分类。“一次分类”指的是对于所讨论的问题或对象只进行一次分类；“多次分类”指的是在进行首次分类后，对于分类后的各个小项再次进行分类，一直到能够达到实际需要。在实际中，一些较为复杂的问题，常常会用到“二分法”，根据一些性质对其进行划分，将所讨论问题进行不断地延伸，直到在分类中出现矛盾。
四初中数学中进行分类讨论的一般步骤
在初中数学中进行分类讨论是要遵循一定的步骤，其大体步骤如下：（1）对讨论问题和对象的取值范围以及其本身进行确定；（2）对于分类标准要进行正确、合理地选择，做到分类的合理；（3）按照所分类型逐个进行分析讨论，解决问题；（4）对于讨论的结果进行总结。
五在初中数学的教学过程和解题中对分类讨论思想的具体应用
要想在初中数学的教学过程和解题中应用好分类讨论思想，首先要求教师在进行知识传授的同时，重视对分类讨论思想的渗透，从而帮助学生养成遇到问题分类讨论的好习惯。目前，初中生在数学的学习中对分类讨论运用的效果不好，其遇到问题进行分类讨论的意识还有待增强，不清楚该对哪些问题进行分类讨论，头脑较为混乱。另外，分类讨论思想不同于其他的数学知识，不是通过短时间的学习就能够学会的。这就对教师提出了更高的要求，教师要对教材进行更进一步的研究，在教学中结合有关知识渗透分类讨论思想，帮助学生建立分类讨论的习惯，对其本质进行更好地揭示，从而使学生能够更好地运用分类讨论思想解决有关问题。
下面根据本人在教学中分类讨论教学的实例，来讲解在初中数学的教学中如何具体地应用分类讨论方法。
例1，当m为何值时，函数y=（m+5）x2m-1+7x-3（x≠0）是一个一次函数。
解答：当（m+5）x2m-1为一次项时，要求2m-1=1；则m=1，函数为y=13x-3。当（m+5）x2m-1为常数项时，
2m-1=0；则m=，函数为y=7x+；当m+5=0时；
m=-5，函数为y=7x-3。
点评：对（m+5）x2m-1进行讨论，考虑其是常数项或者一次项的情况，对这两种情况分别进行解答，求出满足条件的m的所有值。
例2，若|n-m|=m-n，且|n|=4，|m|=3，则（m+n）2为多少？
解答：由于|m|=3，|n|=4，所以m为3或者-3，n为4或者-4；又由于|n-m|=m-n，因此，m-n的值大于等于零，且m大于等于n；当m=3时，n的可能取值是-4，结果是1；当m=-3时，n的可能取值是-4，这时的结果为49。所以（m+n）2的所有可能的值是49或1。
点评：与绝对值相关的问题，在解答时要特别注意对其进行分类讨论。对其各种情况进行合理的分类，才能得到正确的完整结果，若不能进行分类，会造成最终结果的不全面，导致错误。
例3，某运动旗舰店卖篮球袜和护腕，篮球袜的定价为200元一组，护腕的定价为40元一套。卖家在进行促销时有两种具体的优惠方案，第一种是买篮球袜送一套护腕；第二种方案时篮球袜和护腕均按原价卖，顾客在同时购买时，可享受九折优惠，并且只能选择一种优惠方案。某个运动队教练要到该旗舰店购买20套篮球袜和20套以上的护腕，请为这个教练选择一种最经济的购买方案。
问题分析：由于题干中没有具体说明要买的护腕的数量，所以这种购买方案具有不确定性，是由购买的篮球袜的数量而决定的。
解答：假设教练要购买篮球袜x套，则根据方案一，所付款数为200×20+（x-20）×40=40x+3200（元）；根据方案二，所付款数为：（200×20+40x）×90%=36x+3600（元）；设两者的差为y，则y=（40x+3200）-（36x+3600）=4x-400（元）。（1）当y
根据以上分析，当购买护腕数大于20套而不足100套时，选择方案一；当购买护腕数等于100套时，哪种购买方案都行；当购买护腕数大于100套时，选择方案二。
六总结
以上就是对初中数学分类讨论思想的论述，分析了在初中数学教学中分类讨论思想的意义和重要性，并简单介绍了其应用的基本原则和步骤，最后根据本人在教学中的实际，列举了分类讨论的具体应用。由于本人能力有限，对这方面的研究还不够充分，还需要在今后的教学中进一步探索，让学生在解决数学问题时真正掌握分类讨论的思想方法。
参考文献
[1]邓凤文.如何在初中数学教学中渗透分类讨论思想[J].中学教学参考，2013（26）：65～66
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[3]顾伟.浅议初中数学分类讨论思想的运用[J].中学数学，2012（14）：112～113
分类讨论的方法篇4
数学分类思想,就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点,将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想,又是一种重要的数学逻辑方法。
所谓数学分类讨论方法,就是将数学对象分成几类,分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性。
分类讨论思想,贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题,就其引起分类的原因,可归结为:①涉及的数学概念是分类定义的;②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的;③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能;④数学问题中含有参变量,这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论,往往能使复杂的问题简单化。分类的过程,可培养学生思考的周密性,条理性,而分类讨论,又促进学生研究问题,探索规律的能力。
分类思想不象一般数学知识那样,通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征,学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点,逐步渗透,螺旋上升,不断的丰富自身的内涵。
教学中可以从以下几个方面,让学生在数学学习过程中,通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括,形成。
一、渗透分类思想,养成分类的意识
每个学生在日常中都具有一定的分类知识,如人群的分类、文具的分类等,我们利用学生的这一认识基础,把生活中的分类迁移到数学中来,在教学中进行数学分类思想的渗透,挖掘教材提供的机会,把握渗透的契机。
如,两个有理数的比较大小,可分为:正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较,而负数和负数的大小比较是新的知识点,这就突出了学习的重点。
结合“有理数”这一章的教学,反复渗透,强化数学分类思想,使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则,如分类的对象是确定的,标准是统一的,如若不然,对象混杂,标准不一,就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为:正数、负数、整数,就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后,还要注意分清层次,不越级讨论。
二、学习分类方法,增强思维的缜密性
在教学中渗透分类思想时,应让学生了解,所谓分类就是选取适当的标准,根据对象的属性,不重复、不遗漏地划分为若干类,而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法,就成为解决问题的关键所在。
分类的方法常有以下几种:
1、根据数学的概念进行分类。有些数学概念是分类给出的,解答此类题,一般按概念的分类形式进行分类。
2、根据图形的特征或相互间的关系进行分类。如三角形按角分类,有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形,直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为:直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。
三、引导分类讨论,提高合理解题的能力
初中课本中有不少定理、法则、公式、习题,都需要分类讨论,在教授这些内容时,应不断强化学生分类讨论的意识,让学生认识到这些问题,只有通过分类讨论后,得到的结论才是完整的、正确的,如不分类讨论,就很容易出现错误。在解题教学中,通过分类讨论还有利于帮助学生概括,总结出规律性的东西,从而加强学生思维的条理性,缜密性。
一般来讲,利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类:;其一是涉及代数式或函数或方程中,根据字母不同的取值情况,分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况,逐一讨论解决问题
分类讨论的方法篇5
一、创设情景，高屋建瓴
1.案例：两直线平行的判定（2）
学生已经学习了判断两直线平行的第一种方法，即“同位角相等，两直线平行”，这节课是两直线平行的判定的第二课时.
2.教学流程
（1）复习
①让学生指出图1中的同位角、内错角、同旁内角.
②教师问：当∠1=∠4时，直线l1与l2是什么关系？
（2）新课
①教师让学生拿出一本书，让学生想想：怎样才能知道你拿出来的这本书左右两边的边线是否平行呢？（教师提示学生可以使用直尺、三角板、量角器等工具）
②学生经过小组探究后，派代表报告探究过程及得到的结论.
③教师和学生一起归纳总结，板书：“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”.
④师生共同证明刚刚得到的两个命题.
⑤讲解例2.
（3）课堂练习（略）.
（4）反馈、订正（略）.
（5）总结归纳（略）.
（6）作业布置.
3.评析
课后，大家觉得这节公开课上得还不错，学生掌握了知识，逻辑推理能力得到了增强，学生合作探究发现知识，通过讨论增长见识.教师主导，学生主体地位明显，学生学习主动有效.但我们也觉得如果能在分类讨论的数学思想方法渗透方面做些工作，这节课会更好.
课本在介绍平行线的概念时，让学生做实验，转动图2中的直线a，让学生看到两条直线a，b的位置关系有两种情形，相交（如图4）和平行（如图3），在学生获得平行线的概念后介绍了平行公理.接着让学生用直尺和一个三角板画两条平行直线，引导学生得到“同位角相等，两直线平行”.
本节课是第二次探讨平行直线的判断办法，不能简单地重复上次课的办法，我们可以通过创设情景的方法，渗透分类讨论的思想方法，让学生受到数学思想方法的熏陶.我们可以在几何画板上作出图5，转动直线a让∠2=∠7，这时教师让学生观察图5，猜想：直线a，b的位置关系怎样？转动直线a让∠2≠∠7（如图6），让学生观察图6，猜想：直线a，b的位置关系怎样？学生经过讨论和交流，会得到“内错角相等两直线平行”、“内错角不相等两直线相交”的结论，进一步归纳出判断两直线平行的第二种方法.这个过程实际上是把内错角分为相等和不相等两种情况进行讨论，是分类讨论的思想.这样设计教学，能从思想方法的高度来审视教材，组织教学，学生认识更全面深刻，知道研究两直线位置关系可转化为研究内错角.同样办法可得到第三种判断两直线平行的判定方法，“同旁内角互补，两直线平行”.
二、组织讨论，提高分类讨论的思想意识
在听课的过程中，我们看到有的课纯粹是为了讨论而讨论，只是简单地让学生发表看法而已，老师只是非常简单的评价，“很棒”、“大家鼓掌”……能不能把学生的各种想法分出类型进行再次探讨，从而得出结论，提升学生的知识水平和分类讨论的意识？
1.在概念教学的过程中，要让学生了解、掌握、运用概念，除了让学生掌握概念的内涵，还得让学生了解概念的外延，而了解概念的外延的一个非常重要的方法就是把概念包含的对象分类.有时我们甚至就用揭示概念的外延的方法来定义概念.比如，有理数的概念是这样定义的：整数和分数统称为有理数.这样一分，学生对有理数的理解就很清晰了.在教学中，我们应当引导学生表达各种不同的看法，并学习分类讨论，这样便于学生了解概念的发生、发展的过程，看到不同的概念之间的联系和区别，从而提高学生分类讨论的数学思想意识，提升学生思维的严密性和深刻性.在组织学生讨论时，我们应注意：（1）让学生了解这个概念的属概念；（2）让学生了解这个概念的种概念.
在相似三角形的概念的教学中，借助多媒体平台，分别出示图7、图8、图9、图10，让学生猜：b三角形与a三角形有什么关系？并让学生在电脑上操作验证.通过讨论和验证，学生知道图7中的b平移后与a重合；图8中的b平移且旋转后与a重合；图9中的b平移、旋转、缩放后与a重合；图10中的b平移、旋转、缩放后仍不能与a重合.然后让学生分别就7，8，9这三个图中的两个三角形的边长和角的特征进行探讨，最后得出相似三角形的概念.
这样教学，学生知道了三角形可以分为相似三角形和不相似三角形两类，相似三角形的属概念是两个三角形的关系，全等是相似三角形的种概念，对相似三角形的认识和理解也就更深刻了，还学习了利用平移、旋转、缩放的办法来研究两个图形的关系.课堂不再是为讨论而讨论了，学生参与了一次分类讨论的过程，得到了分类讨论的思想的熏陶.
2.在定理、性质、公式、方法的教学中，我们一定要让学生知道这个定理、性质、公式、方法是做什么用的，需要什么条件，特别是条件不确定时，我们应该怎么办，这个时候就需要教师抓住问题的关键，组织学生进行讨论.组织学生讨论时我们要注意：（1）让学生了解为什么要讨论；（2）让学生了解分类讨论的标准.
分类讨论的方法篇6
所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。
分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力。
分类思想不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。
教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用。
一、渗透分类思想，养成分类的意识
每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。
教授完负数、有理数的概念后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到对不同的标准，有理数有不同的分类方法，为下一步分类讨论奠定基础。
认识数a可表示任意数后，让学生对数a进行分类，得出正数、零、负数三类。
讲解绝对值的意义时，引导学生通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。
又如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。
结合“有理数”这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不越级讨论。
二、学习分类方法，增强思维的缜密性
在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。
分类的方法常有以下几种：
1、根据数学的概念进行分类。
有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。比较与易得的错误，导致错误在于没有注意到数可表示不同类的数。而对数进行分类讨论，既可得到正确的解答。
2、根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类。
学习一元二次方程，根的判别式时，对于变形后的方程用两边开平方求解，需要分类研究大于0，等于0，小于0这三种情况对应方程解的情况。而此题的符号决定能否开平方，是分类的依据。从而得到一元二次方程的根的三种情况。
3、根据图形的特征或相互间的关系进行分类。
如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。
例如等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，底边长为a，则其腰上的高是。
分析：本题根据图形的特征，把等腰三角形分为锐角三角形和钝角三角形两类作高CD，如图，可得腰上的高是或从几何图形的点和线出现不同的位置进行分类
在证明圆周角定理时，由于圆心的位置有在角的边上、角的内部，角的外部三种不同的情况，因此分三种不同情况分别讨论证明。先证明圆心在圆周角的一条边上，这种最容易解决的情况，然后通过作过圆周角顶点的直径，利用先证明（圆心在圆周角的一条边上）的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。教材中在证明弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。也是如此分圆心在弦切角的一条边上，弦切角的内部、弦切角的外部三种不同情况解决的。
三、引导分类讨论，提高合理解题的能力
初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。
一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：；其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题。
分类讨论的方法篇7
关键词：小学数学解题分类讨论思想概念作用分析
随着教育的不断发展与改革，教育部逐渐重视小学各个科目的考查，尤其是数学，数学教学可以培养学生的逻辑能力和思维能力，因此，注重数学的解题思路和解题思想在教学中显得非常重要，良好的解题方法可以提高学生的数学水平，如分类讨论思想，其可以有效帮助学生解答数学问题。
一、分类讨论思想在小学数学中的概念
分类讨论思想是指学生根据教师提出的问题进行分类讨论，即通过逻计划分的方式，对数学问题各个击破，以达到解决问题的目的。分类讨论思想在数学教学中具有重要作用，是一种有效的解题方法，其也被称为逻辑方法。分类讨论思想在教学中具有很强的逻辑性和综合性，并且数学教学注重强调的是学生的逻辑性，因此，分类讨论思想符合数学教学范畴，其不仅可以激发学生的学习兴趣，也能培养学生的思维能力和逻辑能力。
二、分类讨论思想在数学教学中的基本原则
分类讨论的基本原则是正确应用分类讨论的方法，注重分类的科学性、统一性、互斥性、相称性和层次性，从而解决数学问题。
（一）分类讨论的统一性原则。针对小学5、6年级的数学课程，采用分类统一的原则，保证数学的知识体系有机的结合在一起，使学生更容易掌握知识要点。例如，六年级小数的分类，小数分为有限小数、无限小数、无限不循环小数和循环小数，23.3、25.4、0.21等都是有限小数，2.22.....、3.144555....等叫做无限小数，若数中有一个数不断重复出现，则称为循环小数，如2.4444.....、0.01111......、43.78777.....等，而n被称为无限不循环小数，但是，这些数字统称为小数。
（二）分类讨论的互斥性原则。对数学问题进行分类后，应确保分类子项的互斥性，即一个事物的子项不能影响另一事物的子项，例如某小学五年级有100人，男生人数是女生人数的1.5倍，学校将分2组队伍进行马拉松活动，问怎样分配男女生的比例才能合理？
（三）分类讨论的相称性原则。坚持分类讨论的相称原则，即分类子项和总项的相称，例如数学中的有理数可以分为正有理数和负有理数，由于0被称为有理数，但是不在正有理数和负有理数的范围之内，因此，这样的划分不符合数学的相称性。
（四）分类讨论的层次性原则。分类讨论可以把数学知识更深一步的分层，直到找出问题的答案为止，例如，计算某梯形的面积，首先，需要讨论正方形、长方形的周长，在讨论梯形的周长；其次，讨论正方形、长方形的面积算法；最后，计算梯形的面积，其梯形的面积公式为：S梯形=（上底+下底）×高÷2，当然，学生也可以更进一步求三角形的面积。
三、分类讨论思想在小学数学教学中的应用
在小学数学教学中，特别是在小学的5、6年级，这个阶段会涉及到几何的教学，如圆、正方形、长方形、圆柱体、圆锥体、正方体等几何图形，通过学习几何的基本知识，可能会更深入的进行几何图形的研究，如直线与圆的相交，因此，本文提出一个关于几何的数学问题对其进行研究，例如图1所示，数一数图中有多少个三角形？然后数一数有多少个菱形？
图1
首先，学生需要对图形进行分类讨论，即讨论三角形和菱形，根据小学数学知识，可知，由不在同一直线上的三条线首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，而菱形是指在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形为菱形。从图中可以看出，有51个三角形和22个菱形。
另外，分类讨论思想在实际问题中的应用，可以有效解决实际生活中的应用问题，例如，某书店有一套英语书原价50元，现按7折出售，买一套英语书可以便宜多少元？如果买5套，250元够吗？通过练习生活实际，从而对生活中的各种情形进行讨论。从这个买书问题，可以得出买一套英语书可以便宜15元，若买5套英语书，则花费175元，250元足够买5套英语书。
四、分类讨论思想在小学数学教学中的作用
分类讨论思想可以有效解决数学中难以解答的问题，通过分类子项，并且对各个子项进行分析讨论，从而寻找数学的正确答案，使数学问题简单化，但是，在分类讨论过程中，应注重分类讨论思想的正确应用，应遵循数学教学的统一性、互斥性、相称性、层次性等原则，使数学解答过程中更简单化。一般情况下，分类讨论思想在数学问题解答过程中，其步骤如下：首先，确定数学问题类型，同时确定问题讨论的范围；其次，结合数学理论知识，科学化的对讨论的问题进行标准分类；再者，对分类的各个子项逐步的进行讨论；最后；对各个子项讨论出来的结果进行归纳总结，从而得出整个问题的答案。
结束语
数学教学在教育中发挥着重要作用，不仅可以激发学生的学习兴趣，也能培养学生的逻辑能力和思维能力，因此，采用分类讨论思想，并正确对其进行应用，使分类讨论思想在小学数学教学中发挥重要的作用。
参考文献：
[1]罗树全.对数学新课程中分类讨论思想的再认识[J].教育实践与研究（B），2012，04：55-57.
[2]陈罗九.深挖教材提炼方法培养思维——浅谈初中数学中的分类讨论思想[J].中国数学教育，2011，23：13-15.
分类讨论的方法篇8
数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。
所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。
分类思想不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。
教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析。综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用。
一、渗透分类思想，养成分类的意识
每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。比如：教授完负数、有理数的概念后，及时引导学生对实数进行分类，让学生了解到对不同的标准，实数有不同的分类方法，可以把实数分为有理数和无理数。
二、学习分类方法，增强思维的严谨性
在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。
有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。
数，就能很好的体现出来分类思想。比如在证明圆周角定理时，由于圆心的位置有在角的边上、角的内部，角的外部三种不同的情况，因此分三种不同情况分别讨论证明。先证明圆心在圆周角的一条边上，这种最容易解决的情况，然后通过作过圆周角顶点的直径，利用先证明（圆心在圆周角的一条边上）的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。教材中在证明弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。也是如此分圆心在弦切角的一条边上，弦切角的内部、弦切角的外部三种不同情况解决的。
三、引导学生积极进行分类讨论，提高合理解题的能力
初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。
一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题[wtBX]
例1已知函救y＝（m-1）x2＋（m-2）x－1（m是实数）。如果函数的图象和x轴只有一个交点，求m的值。
分析：这里从函数分类的角度讨论，分m－1=0和m－1≠0两种情况来研究解决问题。
解：当m＝1时函数就是一个一次函数y＝－x－1，它与x轴只有一个交点（-1，0）。
当m≠1时，函数就是一个二次函数y＝（m－1）x2＋（m－2）x－1。
当Δ＝（m－2）2+4（m－1）=0，得m=0。
例2已知aBC是边长为2的等边三角形，aCD是含30°角的直角三角形。aBC和aCD拼成一个凸四边形aBCD。求四边形aBCD的面积。
解析含30°角的直角三角形aCD中我们可以把aC作为斜边、aC作为直角边二类情况来研究。（1）以aC为斜边和等边三角形aBC拼成的四边形aBCD（∠DaC=30°和∠DaC=60°这两种图形算出的四边形aBCD面积相同的，故归纳为同一类）。此时S四边形aBCD=3+12×1×3=332。（2）aC为直角边又可分为二种不同情况:①若∠aCD=30°，此时S四边形aBCD=3+12×2×233=533;②∠aDC=30°,此时S四边形aBCD=3+12×2×23=33。
分类讨论的方法篇9
一、不能正确使用分类讨论的数学思想
分类讨论的思想方法是人们认识客观世界过程中长期积累形成的一种策略思想.在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况进行讨论.这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略.
在运用分类讨论思想时，学生经常出现的问题有：（1）对于某些应该讨论的问题，因思维不严谨，发现不了可能出现的不同情况，想不到需要讨论；（2）发现需要讨论的问题时，划分情况又难以做到不重不漏；（3）不善安排讨论时机.
在解答这道题时，她没有认真思考，只注意到点m在线段BC上，而忽视了题设条件中提到的点m是直线BC上的点，所以点m还可以在线段CB的延长线上.在老师的提示下，她意识到应该进行分类讨论.她将该题分成“点m在线段BC上与点m在BC的延长线上”这两种情况进行了讨论，从而得到了当点m在线段BC上且Bm=或点m在CB的延长线且Bm=14cm时，点m为满足条件的点这一正确结论.
学生有了分类的意识，并不意味着他就一定会进行分类讨论.学生头脑中分类讨论概念的形成不是一蹴而就的，因此在教学中，教师应当逐步给学生渗透分类讨论的意识.在渗透分类讨论思想的过程中，首要的是分类.教师要培养学生分类的意识，然后才能引导学生在分类的基础上进行讨论.在讨论中要坚持互斥、不漏、最简的原则，具体就是：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行.
二、不能有效地借助类比思维方法
类比思维是根据两个对象在一系列属性上相同或相似，由其中一个对象具有某种属性推测出另一个对象也具有这种属性的思维方法.在数学上，它是一种非常重要的思想方法.很多探索题的解答如果能借助类比思维方法，就能起到触类旁通的作用.由于类比思维对学生的要求比较高，不少学生面对这种习题会选择放弃.
（2）若aB=aC，将aDe绕a点顺时针方向旋转到如图4的位置，判断aFG的形状，并证明.
（3）若aB≠aC，将aDe绕a点顺时针方向旋转到如图5的位置，aFG与aBC有什么关系？说明理由.
有个学生在顺利解答出前两问之后，在解答（3）时卡壳了，他也试图类比（2）的解法来解决（3），但在（2）中，由于aB=aC，aD=ae可以证明aBD≌aCe，从而得到aF=aG.而（3）显然要复杂得多，由于aB≠aC，因此aD≠ae，因而不可能得到aBD与aCe全等.他只想到用类比的方法证明全等，却没有想到相似三角形判定定理其实是类比全等三角形的判定定理得到的，此题也可以类比（2）中全等的证明，得到（3）中aBD与aCe相似，证明方法也同样可以类比.（2）是用SaS证明aBD≌aCe，（3）可用“两边对应成比例夹角相等”类比证明aBD∽aCe.
类比思维的教学应从简单的类比入手，如：首先从结论与证明过程可以完全类比得出的习题着手，然后逐步过渡到结论可以完全类比得出，但证明过程有所差异，最后过渡到结论与证明过程可以部分类比得出，但差异逐步加大.只有在完成了一定量的类比思维练习以后，学生才会逐渐掌握这种类比思维的方法，摸到其中的脉络，提高解题能力，使自己的思维能力更上一个台阶.
分类讨论的方法篇10
[关键词]分类讨论思想；高考；例题；数学；教学
所谓分类讨论就是分别归类再进行讨论的意思，数学中的分类过程就是对事物共性的抽象过程，解题时要使学生体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程如何认识事物的属性，如何区分不同事物的不同属性，通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想，它体现了化整为零，化零为整与归类整理的思想，它揭示着数学事物之间的内在规律。学会分类，有助于学生总结归纳所学的知识，使所学的知识条理化，提高思维的概括性，从而提高分析问题和解决问题的能力。在高考复习中，我做了这样一些尝试。
一、正确认识分类讨论思想在高考复习中基本思想
1、分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点分类讨论的思想具有明显的逻辑特点；分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察；解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧；分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关。
2、明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：
⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等等；
⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘以实数对不等号方向的影响等等；
⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；
⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；
⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；
⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等。
3、运用分类讨论的思想解题的基本步骤：
⑴确定讨论对象和确定研究的区域；
⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；
⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；⑷归纳总结，整合得出结论。
二、典例剖析
在考高复习中，我利用以下几个例题来阐述如何利用分类讨论思想的。
【例1】将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）
a.159b.1512c.1515d.1518
解析：连续掷三次骰子出现点数的方法总数为63种，其中公差为0的等差数列有6个，公差为1或-1的等差数列有2×4=8个，公差为2或-2的等差数列有2×2=4个，所以满足条件中的概率为6+8+4563=1512。
答案：b
点评：本题主要考查概率基础知识，排列组合知识和等差数列的性质，由于取出的三个数成等差数列，则三个数由于顺序且公差不确定，所以需要分类进行计数.
【例2】设函数f（x）=ln（x+a）+x2.
（1）若当x=-1时，f（x）取得极值，求a的值，并讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ine52.分析：函数的极值、单调性是函数的重要性质.极值问题的解决，需要利用导数知识判断在该点两侧函数的单调性；而函数单调性的讨论则需要考察相应导数的符号问题.解：（1）f′（x）=15x+a+2x，依题意有f′（-1）=0，故a=352。
从而f′（x）=2x2+3x+15x+352=（2x+1）（x+1）5x+352。
f（x）的定义域为（-352，+∞）。
当-352
当-1
当x>-152时，f′（x>0）。
从而，f（x）分别在区间（-352，-1），（-152，+∞）单调递增，在区间（-1，-152）单调递减。
（2）f（x）的定义域为（-a，+∞），f′（x）=2x2+2ax+15x+a。
方程2x2+2ax+1=0的判别式=4a2-8。
（i）若<0，即-20，故f（x）无极值。
（ⅱ）若=0，则a=2或a=-2。
若a=2，x∈（-2，+∞）
f′（x）=（2x+1）25x+2x。
当x=-252时，f′（x）=0，
当x∈（-2，-252）u（-252，+∞）时，f′（x）>0，所以f（x）无极值。
若a=-2，x∈（2，+∞），f′（x）=（2x-1）25x-2>0，
f（x）也无极值。
（ⅲ）若>2，即a>2或a<-2，则2x2+2ax+1=0有两个不同的实根x1=-a-a2-252，x2=-a+a2-252。
当a<-2时，x1<-a，x2<-a，从而f′（x）在f（x）的定义域内没有零点，故f（x）无极值。
当a>2时，x1>-a，x2>-a，f′（x）在f（x）的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知f（x）在x=x1，x=x2取得极值。
综上，f（x）存在极值时，a的取值范围为（2，+∞）。f（x）的极值之和为：f（x1）+f（x2）=in（x1+a）+x12+in（x2+a）+x22=in152+a2-1>1-in2=ine52。 点评：本题主要考查函数的导数、极值、单调区间的求法，考查利用导数和函数知识解综合问题的能力.求函数的单调区间，因函数的单调性可能是单调递增也可能是单调递减所以要讨论，其实质就是讨论导数的符号.一般地可导函数的极值存在要求有两个条件：一是方程f′（x）=0在f（x）的定义域内有解；二是在方程f′（x）=0的根的两边导数f′（x）的符号要相反.因此在利用导数求可导函数的极值时就要分两层讨论。
【例3】设函数y=f（x）的图象是曲线c1，曲线c2与c1关于直线y=x对称。将曲线c2向右平移1个单位得到曲线c3，已知曲线c3是函数y=log2x的图象。
（1）求函数f（x）的解析式；（2）设an=nf（x）（n∈n）求数列{an}的前n项和sn，并求最小的正实数t，使sn
解：（1）由题意知，曲线c3向左平移1个单位得到曲线c2，曲线c2是函数y=log2（x+1）的图象。
曲线c2与曲线c1关于直线对称，曲线c2是函数y=log2（x+1）的反函数的图象。
y=log2（x+1）的反函数为y=2x-1.f（x）=2x-1。
（2）由题设：an=n×2x-n，n∈n
sn=（1×21-1）+（2×22-2）+（3×22-3）+……+（n×2n-n）
=（1×21+2×22+3×22+……+n×2n）-（1+2+3+……+n）
=（1×21+2×22+3×22+……+n×2n）-n（n+1）52①
sn=（1×21+2×22+3×23+……+n×2n）-n（n+1）52②
2sn=（1×22+2×23+3×24+……+n×2n+1）-〗n（n+1）
由②—①得，sn=-（21+22+23+……+2n）+n×2n+1-152n（n+1）
=-2-2n+151-2+n×2n+1-n（n+1）52=（n-1）×2n+1-n2+n-452.
当t=2，sn-2an=[（n-1）2n+1-n2+n-452]-2（n×2n-n）
=-[2n+1+（n+1）（n-4）52]
s1-2a1=-1<0，s2-2a2=-5<0，s3-2a3=-14<0。
当n≥4时sn-2an=-[2n+1+（n+1）（n-4）52]<0.
当t=2时，对一切n∈n，sn<2an恒成立.当0
=[（2-t）n-2]×2n-n2+n52+tn+2>[（2-t）n-2]×2n-n2+n52
记m=352-t，则当n大于比m大的正整数时，
sn-tan>2n-n（n+1）52=[1+n+n（n-1）52+…]-n2+n52>0.
也就证明当t∈（0，2）时，存在正整数n，使得sn>ta。
也就是说当t∈（0，2）时，sn≤tan不可能对一切n∈n都成立。
t的最小值为2。