数学分析论文篇1
一、对中学数学思想的基本认识
“数学思想”作为数学课程论的一个重要概念，我们完全有必要对它的内涵与外延形成较为明确的认识。关于这个概念的内涵，我们认为：数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的理性认识。这种认识的主体是人类历史上过去、现在以及将来有名与无名的数学家；而认识的客体，则包括数学科学的对象及其特性，研究途径与方法的特点，研究成就的精神文化价值及对物质世界的实际作用，内部各种成果或结论之间的互相关联和相互支持的关系等。可见，这些思想是历代与当代数学家研究成果的结晶，它们蕴涵于数学材料之中，有着丰富的内容。
通常认为数学思想包括方程思想、函数思想、数形结合思想、转化思想、分类讨论思想和公理化思想等。这些都是对数学活动经验通过概括而获得的认识成果。既然是认识就会有不同的见解，不同的看法。实际上也确实如此，例如，有人认为中学数学教材可以用集合思想作主线来编写，有人认为以函数思想贯穿中学数学内容更有利于提高数学教学效果，还有人认为中学数学内容应运用数学结构思想来处理等等。尽管看法各异，但笔者认为，只要是在充分分析、归纳概括数学材料的基础上来论述数学思想，那么所得的结论总是可能做到并行不悖、互为补充的，总是能在中学数学教材中起到积极的促进作用的。
关于这个概念的外延，从量的方面讲有宏观、中观和微观之分。
属于宏观的，有数学观(数学的起源与发展、数学的本能和特征、数学与现实世界的关系)，数学在科学中的文化地位，数学方法的认识论、方法论价值等；属于中观的，有关于数学内部各个部门之间的分流的原因与结果，各个分支发展过程中积淀下来的内容上的对立与统一的相克相生的关系等；属于微观结构的，则包含着对各个分支及各种体系结构定内容和方法的认识，包括对所创立的新概念、新模型、新方法和新理论的认识。
从质的方面说，还可分成表层认识与深层认识、片面认识与完全认识、局部认识与全面认识、孤立认识与整体认识、静态认识与动态认识、唯心认识与唯物认识、谬误认识和正确认识等。
二、数学思想的特性和作用
数学思想是在数学的发展史上形成和发展的，它是人类对数学及其研究对象，对数学知识（主要指概念、定理、法则和范例)以及数学方法的本质性的认识。它表现在对数学对象的开拓之中，表现在对数学概念、命题和数学模型的分析与概括之中，还表现在新的数学方法的产生过程中。它具有如下的突出特性和作用。
(一)数学思想凝聚成数学概念和命题，原则和方法
我们知道，不同层次的思想，凝聚成不同层次的数学模型和数学结构，从而构成数学的知识系统与结构。在这个系统与结构中，数学思想起着统帅的作用。
(二)数学思想深刻而概括，富有哲理性
各种各样的具体的数学思想，是从众多的具体的个性中抽取出来且对个性具有普遍指导意义的共性。它比某个具体的数学问题(定理法则等)更具有一般性，其概括程度相对较高。现实生活中普遍存在的运动和变化、相辅相成、对立统一等“事实”，都可作为数学思想进行哲学概括的材料，这样的概括能促使人们形成科学的世界观和方法论。
(三)数学思想富有创造性
借助于分析与归纳、类比与联想、猜想与验证等手段，可以使本来较抽象的结构获得相对直观的形象的解释，能使一些看似无处着手的问题转化成极具规律的数学模型。从而将一种关系结构变成或映射成另一种关系结构，又可反演回来，于是复杂问题被简单化了，不能解的问题的解找到了。如将著名的哥尼斯堡七桥问题转化成一笔画问题，便是典型的一例。当时，数学家们在作这些探讨时是很难的，是零零碎碎的，有时为了一个模型的建立，一种思想的概括，要付出毕生精力才能得到，这使后人能从中得到真知灼见，体会到创造的艰辛，发展顽强奋战的个性，培养创造的精神。
三、数学思想的教学功能
我国《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用修订版)》明确指出：“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法”。根据这一要求，在中学数学教学中必须大力加强对数学思想和方法的教学与研究。
(一)数学思想是教材体系的灵魂
从教材的构成体系来看，整个初中数学教材所涉及的数学知识点汇成了数学结构系统的两条“河流”。一条是由具体的知识点构成的易于被发现的“明河流”，它是构成数学教材的“骨架”；另一条是由数学思想方法构成的具有潜在价值的“暗河流”，它是构成数学教材的“血脉”灵魂。有了这样的数学思想作灵魂，各种具体的数学知识点才不再成为孤立的、零散的东西。因为数学思想能将“游离”状态的知识点(块)凝结成优化的知识结构，有了它，数学概念和命题才能活起来，做到相互紧扣，相互支持，以组成一个有机的整体。可见，数学思想是数学的内在形式，是学生获得数学知识、发展思维能力的动力和工具。教师在教学中如能抓住数学思想这一主线，便能高屋建瓴，提挈教材进行再创造，才能使教学见效快，收益大。
(二)数学思想是我们进行教学设计的指导思想
笔者认为，数学课堂教学设计应分三个层次进行，这便是宏观设计、微观设计和情境设计。无论哪个层次上的设计，其目的都在于为了让学生“参与”到获得和发展真理性认识的数学活动过程中去。这种设计不能只是数学认识过程中的“还原”，一定要有数学思想的飞跃和创造。这就是说，一个好的教学设计，应当是历史上数学思想发生、发展过程的模拟和简缩。例如初中阶段的函数概念，便是概括了变量之间关系的简缩，也应当是渗透现代数学思想、使用现代手段实现的新的认识过程。又如高中阶段的函数概念，便渗透了集合关系的思想，还可以是在现实数学基础上的概括和延伸，这就需要搞清楚应概括怎样的共性，如何准确地提出新问题，需要怎样的新工具和新方法等等。对于这些问题，都需要进行预测和创造，而要顺利地完成这一任务，必须依靠数学思想作为指导。有了深刻的数学思想作指导，才能做出智慧熠烁的创新设计来，才能引发起学生的创造性的思维活动来。这样的教学设计，才能适应瞬息万变的技术革命的要求。靠一贯如此设计的课堂教学培养出来的人才，方能在21世纪的激烈竞争中立于不败之地。
中学数学教学过程，实质上是运用各种教学理论进行数学知识教学的过程。在这个过程中，必然要涉及数学思想的问
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(三)数学思想是课堂教学质量的重要保证
数学思想性高的教学设计，是高质量进行教学的基本保证。在数学课堂教学中，教师面对的是几十个学生，这几十个智慧的头脑会提出各种各样的问题。随着新技术手段的现代化，学生知识面的拓宽，他们提出的许多问题是教师难以解答的。面对这些活泼肯钻研的学生所提的问题，教师只有达到一定的思想深度，才能保证准确辨别各种各样问题的症结，给出中肯的分析；才能恰当适时地运用类比联想，给出生动的陈述，把抽象的问题形象化，复杂的问题简单化；才能敏锐地发现学生的思想火花，找到闪光点并及时加以提炼升华，鼓励学生大胆地进行创造，把众多学生牢牢地吸引住，并能积极主动地参与到教学活动中来，真正成为教学过程的主体；也才能使有一定思想的教学设计，真正变成高质量的数学教学活动过程。
有人把数学课堂教学质量理解为学生思维活动的质和量，就是学生知识结构，思维方法形成的清晰程度和他们参与思维活动的深度和广度。我们可以从“新、高、深”三个方面来衡量一堂数学课的教学效果。“新”指学生的思维活动要有新意，“高”指学生通过学习能形成一定高度的数学思想，“深”则指学生参与到教学活动的程度。
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美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理。”“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的。”数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分。下面从布鲁纳的基本结构学说中来看数学思想、方法教学所具有的重要意义。
第一，“懂得基本原理使得学科更容易理解”。心理学认为，“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习。”当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识。就属于下位学习了。下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义，”即使新知识能够较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去。学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容。
第二，有利于记忆。布鲁纳认为，“除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，否则很快就会忘记。”“学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来。高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具。”由此可见，数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的。无怪乎有人认为，对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生。”
第三，学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”。布鲁纳认为，“这种类型的迁移应该是教育过程的核心——用基本的和一般的观念来不断扩大和加深知识。”曹才翰教授也认为，“如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念，对于新学习是有利的，”“只有概括的、巩固的和清晰的知识才能实现迁移。”美国心理学家贾德通过实验证明，“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需先掌握原理，形成类比。才能迁移到具体的类似学习中。”学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力。
第四，强调结构和原理的学习，“能够缩挟‘高级’知识和‘初级’知识之间的间隙。”一般地讲，初等数学与高等数学的界限还是比较清楚的，特别是中学数学的许多具体内容在高等数学中不再出现了，有些术语如方程、函数等在高等数学中要赋予它们以新的涵义。而在高等数学中几乎全部保留下来的只有中学数学思想和方法以及与其关系密切的内容，如集合、对应等。因此，数学思想、方法是联结中学数学与高等数学的一条红线。
二、中学数学中的主要数学思想和方法
数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识。由于中学生认知能力和中学数学教学内容的限制，只能将部分重要的数学思想落实到数学教学过程中，而对有些数学思想不宜要求过高。我们认为，在中学数学中应予以重视的数学思想主要有三个：集合思想、化归思想和对应思想。其理由是：(1)这三个思想几乎包摄了全部中学数学内容；(2)符合中学生的思维能力及他们的实际生活经验，易于被他们理解和掌握；(3)在中学数学教学中，运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多：(4)掌握这些思想可以为进一步学习高等数学打下较好的基础。
此外，符号化思想、公理化思想以及极限思想等在中学数学中也不同程度地有所体现。应依据具体情况在教学中予以渗透。
数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略，这些策略与人们的数学知识，经验以及数学思想掌握情况密切相关。从有利于中学数学教学出发，本着数量不宜过多原则。我们认为目前应予以重视的数学方法有：数学模型法、数形结合法、变换法、函数法和类分法等。一般讲，中学数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想指导下，运用数学方法，通过一系列数学技能操作来完成的。
三、数学思想方法的教学模式
数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系。这就决定了他们在教学中的辩证统一性。基于上述认识，我们给出数学思想方法教学的一个教学模式：操作——掌握——领悟。
对此模式作如下说明：(1)数学思想、方法教学要求教师较好地掌握有关的深层知识，以保证在教学过程中有明确的教学目的；(2)“操作”是指表层知识教学，即基本知识与技能的教学。“操作”是数学思想、方法教学的基础；(3)“掌握”是指在表层知识教学过程中，学生对表层知识的掌握。学生掌握了一定量的数学表层知识，是学生能够接受相关深层知识的前提；(4)“领悟”是指在教师引导下，学生对掌握的有关表层知识的认识深化，即对蕴于其中的数学思想、方法有所悟，有所体会；(5)数学思想、方法教学是循环往复、螺旋上升的过程，往往是几种数学思想、方法交织在一起，在教学过程中依据具体情况在一段时间内突出渗透与明确一种数学思想或方法，效果可能更好些。
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“教学的艺术不仅在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。课堂上如果通过我们的表情、语言能让学生更主动地、充满信心地学习，而不是令学生有一种“负罪感”、“自卑感”而失去学习的信心那样该有多美妙啊。我认为可以从以下几方面做起：
1.用语言评价学生回答问题和练习情况要注重学生自身的纵向比较，淡化横向比较。一方面要看到学生的进步，对有创见性的解题方法应加以肯定，使学生在比较中不断进步；另一方面对于困难学生哪怕是微不足道的进步都要加以表扬，让他们体验成功的快乐，增强学习的自信心，激励他们主动学习，切忌损害他们的自尊心。
2.布置有针对性、适量的作业，让学生有反复巩固和练习的机会，使学生牢固地掌握基础知识和基本技能；另外由于学生层次不一，教师要针对个别学生进行面评和学法指导，这样才可以促进学生共同全面进步。让学生轻松了，让他们会微笑的上数学课了，这不好吗？
二、在作业中，给学生留下些许评语
在我们的教育教学中，判作业对学生的作业打“√”“×”号是我们一项非常重要的工作，采用百分制量分，也是我们评价学生学习的常用方法。但随着学生反应的麻木，我开始尝试将富有感情的文字评语引入数学作业的批改中，指出其不足，肯定其成绩，既便于学生更清楚地了解自己作业中的优缺点，又加强师生间的交流，长此以往，师生之间必然会自然而默契。学生会愿意做作业，期盼着早点看到老师用智慧和感情批改的作业。例如：当学生的作业出现观察、分析、计算或判断等方面的错误时，教师要借助评语，针对不同学生的不同错误给予点拨、引导与评价。“一步错导致步步错，多可惜啊！”“仔细想一想，这个列式还有哪点没考虑到，只差一点点？”等等，这种评语不仅可以帮助学生在老师的提示下很快找出错误原因，更能使学生感受到“提示”之后，教师的那份深情和厚望。对于学生的习惯，教师可试着使用“引导”法，“都会，写得更漂亮点那多好啊。”“不会的题能主动问老师，它就变成你的智慧之果了。”“你的作业真工整，要是能提高正确率，那肯定是最棒的！”这样坚持下去，必然会引起学生自觉学习的兴趣，激起学生主动学习的愿望，使学生逐渐改掉缺点，养成了好的学习习惯。对于在某一道题上有自己独特的见解，思路清晰的学生，我会写上一句“与众不同的见解，会用头脑思考问题，你真棒！”“你的头脑真灵活，这种方法真好。”等等。
这些评语中有提醒有批评，更多的是表扬和激励。这样一方面培养学生严谨治学的态度，更重要的是传递教师的激励与赏识，使得每个学生享受到教师的关爱与肯定。每天在学生的作业本上留下点滴评价，留给学生的是不断的关怀，是无限的欣赏、信任与快乐。
三、在学生的检查中，多点说理
检查是我们让学生反省自己错误的一种方式，通常都是学生交了我们看了就结束了，但我试着添了一环节：写上自己的意见与他交流——评语。一次数学课，有几人因懒散迟到了，他们到时，大家都笑了，显然是有意的。我又不忍耽误大家课程，就简单的令他们写份检查教上。他们原本并不以为然，但当他们看到批有鲜红评语的检查被发下来时，有些不好意思了，他们看到：“你说的很好，只要用心改，用心调整，老师在心里并没责怪你，但是耽误的是你的同学，你们自己的时间，很可惜啊。”“你是个懂事的学生，老师不想责怪你，用心做好吧，提高你的成绩是我这么做的主要原因。”等等。自这次带评语的检查发回去后，再也没人喊：“报告”了。他们明白老师的用意了。
如果数学教师能做到每一节课，每一次接触，每一日作业都能用我们的表情，我们的语言，我们的文字，为学生打开一扇窗，从这扇窗中，让学生看到老师心灵深处的叮咛，看到老师真情的鼓励，看到老师深层的关怀与信任，那数学就不再只是数字、公式和逻辑，它的人文色彩将会通过数学老师传递给学生，从而给更多的人自信学好数学。
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数学新课程的教学方式是广大教师关心的问题，新课程强调了探究式教学，那是否就意味着数学教学要以探究式为主呢?笔者对此持怀疑态度，数学新课程之所以强调探究式教学。那是因为过去我们太注重知识的传授而忽视了探究.但这绝不意味着要以探究式教学为主。一般来说，高中学生要探究出某个数学问题或者定理，需要花费大量时间，而这绝不是能在短短的几十分钟内就得到解决，高中学生的主要任务还是学习前人的知识与方法，任何脱离知识基础的探究都是盲目的。应该承认，讲授式教学不利于培养学生的创新能力，但是，它不能和“填鸭式”教学简单地划上等号。讲授式教学也有其优越性，当代教育心理学家奥苏贝尔关于讲授教学法的研究很好地说明这一点。新课程倡导积极主动、勇于探索的学习方式，其关键在于要培养学生的探究意识。因此，教师首先要有强烈的探究意识。有些教学内容或问题适宜学生探究的，教师应该组织学生去探究；开展一些课外的探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，体会到发现的乐趣与学习的魅力，发展他们的创新意识；有些时候，教师适时地对某个数学问题或知识点作拓展。甚至是一句话，也能激发学生探究的欲望。
二、新课程标准下高中数学教学方法
2.1创设情境，激发兴趣
新课程中的数学强调数学化、数学情境，作为教师要有一堆数学情境，有引导学生经历数学化过程的经验。数学教育提倡在情境中解决问题，教师要学会创设情境，把教科书的知识转化为问题，引导学生探究，帮助学生自己建构知识。一堂生动活泼的具有教学艺术魅力的好课犹如一支婉转悠扬的乐曲，“起调”扣人心弦，“主旋律”引人入胜，“终曲”余音绕梁.其中“起调”起着关键性的作用，这就要求教师善于在课始阶段设计一个好的教学情境，引领学生进入数学的殿堂，展开思维的翅膀，开启智慧的大门。
2.2准确定位新增加内容
高中数学课程增加了一些新的内容，对于这些新增内容，不少教师普遍感到难教。一方面，这些新增内容不像老教材内容那样轻车熟道，另一方面，对新增内容的标准把握不透。新增内容是课程改革的亮点，它具有时代感，贴近社会生活，所以我们教师要认真钻研教材和课程标准，把握标准进行教学。例如，对导数内容，不应只是要求学生掌握几个求导公式，进行简单求导训练，而应首先通过实际背景和具体应用的实例了例如，通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度、电流强度、切线的斜率等反映导数应用的实例少引入导数的概念，引导学生经历从平均变化率到瞬时变化率的过程，知道瞬时变化率就是导数。通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数思想及其内涵，帮助学生直观理解导数的背景和思想，使学生认识到，任何事物的变化率都可以用导数来描述，要避免过量的形式化的过程练习.又如，欧拉公式内容，应引导学生探索发现欧拉公式的过程以及对欧拉公式证明的理解，帮助学生体会数学家的创造性工作，关注学生对拓扑变换的形象和直
观的理解.例如，把拓扑变换理解为橡皮变换，不要引导学生追求拓扑变换形式化的定义应注重对拓扑思想方法的介绍。
2.3培养学生良好的思维习惯
数学与实际生活密切相关，数学来源于实践而又应用丁实际生活。新课程中突出体现了数学知识的“生活化”，使数学的学习更加贴近实际、贴近现实，让学生深刻体会到数学就在我们身边，数学“源于现实，寓于现实”。同时，新课程中更强调将数学语言、数学知识、数学思想广泛地渗透到生活的方方面面，让学生真正进入到“处处留意数学，时时用数学”的意境。
在数学课堂教学中，我们应注重发展学生的应用意识。通过丰富的实例引入数学知识，引导学生应用数学知识解决实际问题，体会数学的应用价值.努力帮助学生认识到数学与我有关，与实际生活有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学。
如讲到人教版高中数学第一册（上）“反函数”这一节内容时，学生思维往往容易出现“混乱”，搞不清为什么有的函数有反函数，有的函数没有反函数。这时需要教师积极引导学生的思维，让他们知道映射是函数，反函数作为一种函数，也必须符合函数的定义，从而推导出在定义域和值域间只有一一映射的函数才有反函数。于是在习题2.4中求y=（x≤0）反函数时能否把条件x≤0去掉，结论当然是不能，如果去掉，则给一个y值时，就不是一个x值与其对应，不是一一映射，就没有反函数。上课提问时，应要求学生对问题的回答有条理性和完整性。我们要指出学生回答中的漏洞所在，不严密的回答可能会造成哪些不同结果。如有的学生在回答“三垂线定理”时说：“一条直线如果和平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直”就存在问题。因为他没有说这条直线是否在射影所在的那个平面α内，若不在同一个平面上，这个结论就是错误的（见图1）。正确的应是“平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直”［见人教版高中数学第二册下］。
通过以上这些训练，不但可以提高学生的口头表达能力，而且还会使学生慢慢地达到理解深刻和思维缜密。对于学生上黑板做的练习题，要及时地评讲，指出其基本知识以及思想方法上的欠缺，这不但对做题者，而且对全班同学都是一次提高。
2.4发展学生的创新意识
《标准》在课程基本理念中倡导积极主动、勇于探索的学习方式.井指出“学生的数学学习活动不应该只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学还应当倡导主动探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式”。这此学习方式有助于发择学生学习的主动性，使学生的学习过程成为教师引导下的“再创造”过程。现行的新教材很好地执行了这一理念。因为每册书都设立了研究性学习材料，为学生形成积极主动、多样的学习方式创造了有利的条件，因此我们应重视对研究性学习的教学。我觉得只利用好这儿个研究性学习材料是远远不够的，应该把研究性学习渗透到平时的教学中。应从教材的例习题和平时的练习题中，合理选材、组材，编制研究性学习素材来激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的习惯，能综合应用数学知识发现、探索、提炼、研究和解决问题的品质。
例：设a1、a2是一个圆的一条直径的两个端点，p1p2是与ala2垂直的弦，求直线a1p1与a2p2的交点的轨迹方程。这个习题是以a1a2为x轴，线段a1a2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设出圆的方程，建系设点后，分别求出a1p1、a2p2直线的方程，然后解方程组得二直线交点的坐标、再消去x1、y1，得轨迹方程。
从这个习题的特征出发，对其作适当引申、推广、探索、创新，寻求一般规律。对这个习题作如下的变换、创新：
究,让学生在复习圆锥曲线时找到求交轨一类问题的一般模型,以及求解中的方法、规律。通过上述研究题目训练,激发学生的创新思维.只有培养这种创新数学思维,才能保证学生具有分析问题、顺利解决问题的能力。而这种能力将提高学生的素质。作为数学教师,我们必须转变教育思想、理念,与时俱进,把培养创新人才作为我们的教育目标,将创新教育落实到课堂中去,让我们的学生不仅会继承,更能发展、创新。
总之，新课程标准下高中数学教学方法是一个长期艰难的探索过程，需要我们广大教师积极地参与，更需要我们不盲目迷信任何一种固定教学模式，希望我们的教学方式能日新月异，能带给学生最好的教学效果，能带给我们自己无愧的“辛勤的园丁“称号。
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归纳和演绎是一切科学研究常用的两种思维方式，小学数学中是不自觉地运用过这两种思维方法。例如，从一些特例归纳出运算律，然后用运算律指导运算，我们教师应努力挖掘这些因素，在能力上对学生进行有意的培养，而不停留在知识的传授上，例如：“商不变的性质”“数的整除的特征”“三角形三内角和等于180度”等一些基本概念、公式、方法中，都有一个不完全归纳的过程。如果简单地把结论端出，就失去了培养思维能力的机会，如果引导学生自己去发现这些规律得出结论，那就会得到归纳能力的训练。从特殊到一般的认识过程中有观察、分析、概括、检验和表达等复杂心理活动。观察有个由表及里的过程，分析有个剔除个性、显出共性的问题，概括有个抽象出事物本质属性的能力问题，检验有个完善自己认识的习惯问题，最后归纳成某种结论，还有个语言表达的能力问题。因此，要引导学生真正从特例归纳出一个定理、法则是要一些时间和心思，与其花很多时间讲题目，倒不如花点时间让学生对知识发生过程作些必要的探索，因为这样可培养学生的思维能力。
演绎在小学的应用主要形成是说理，例如：“三角形的面积公式，圆锥体的体积公式”是推理办法解决的，虽然我们在讲这些法则时还要借助实例给以印证，但至少应渗透“从已有的正确判断推出新的判断”这种思想，又如：梯形的面积公式推导，都要贯彻说理精神，长此下去，才能培养出演绎推理的习惯。同时，在演绎推理训练中又要穿插归纳法。
总之，要交叉地训练这两种能力，这恐怕是引导学生进入逻辑思维之门的台阶。
2逻辑思维与直觉思维的能力
直觉思维是指没有经过深思，迅速地对问题作出答案，作出合理的猜测或判断的思维。或者说是在百思不得其解时突然领悟到的思维。直觉思维与逻辑思维不同，逻辑思维是经过一步一步分折，作出科学的结论；直觉思维是很快领悟到的一些猜想。小学生学数学，主要是使用直觉思维，例如：计算9+9+9+7+7学生会得出①(9+7)×3；②8×6这两个乘法式，这不是简单的模仿，而是直觉思维的成果。
我们在教学中，在注重培养学生逻辑思维的同时，要适当运用直觉思维思维方法进行教学，这对培养思维的敏捷性、灵活性和创造性有着重要的意义。这两者的关系是：分析思维为主，渗透直觉思维，鼓励思维简缩，分析验证跟上。
如教学“较简单的求平均数应用题”，在学生认识了求平均数应用题的特征，理解了“移多补少”的实质，掌握了“总数÷总份数＝平均数”关系后，解答“在一个鱼塘里，选择五个不同的地方，测得水深分别是200厘米，150厘米、220厘米、250厘米、180厘米，求这个鱼塘的平均水深”。让学生列式后说出怎样想的。他们说：“要求平均水深，就要知道测了几次及测得水深的总和。”这反映了学生思维能力。教师再启发学生运用“移多补少”的道理，观察五个数的特点，直接地“看”出答案来，这就在逻辑思维的基础上渗透了直觉思维的训练。
教师又出示：“某校三年级有三个班，甲班40人，乙班比甲班多5人，丙班比甲班多7人，平均每班多少人？”让学生想一想，能用几种方法解答，哪一种最快。一个学生很快算出平均每班有44人，他们想法是：每班至少有40人，三个班还多出(5+7)人。12÷3=4（人）所以平均每班44人。通过讨论比较，大家一致肯定这种解法比较简捷合理，这说明经过培养，思维简缩性有了提高。
教师再出示两道选择题：
(1)一辆汽车第一天运货15吨，第二天运17吨，第三天上午9吨，下午7吨，平均每天运货多少吨？
a：16吨B：12吨
(2)小金期末考试成绩语文90分，数学89分，思品比语文少3分，自然比数学多5分，求四科的平均成绩。
a：小于90分B：大于90分C：等于90分
要求学生有根据、有条理地说出选择答案的理由，这样，又运用逻辑思维对直觉的结论进行了论证。
3集中思维和扩散思维的能力
目前，许多心理学家认为，创造性思维有赖于扩散思维与集中思维的协调结合。集中思维是从一个背景出发，遵循一种常用的既定的思维渠道达到思维目标，它们几何形态可描绘为从一点出发的一条射线。所谓扩散思维，即从同一背景出发，遵循尽可能多的新的不同的渠道达到思维目标，它的几何形态可描绘为从一点出发的空间一束射线，前者表现为模仿、继承，后者表现于外部行为，就表现为一个人的创造能力，它通常具有变通性、流畅性，创造性的特点，是创造性思维的基础。例如：当问"1=？"时，一些学生回答：1+0=1、100-99=1、1×1=l、2÷2=1、5-4=1、5+3-7=1……等等。有的学生干脆说：“写不完”，“写不完”就是流畅性的表现，能从各个方面用各种方式运算，是变通性的表现；对"1=？"的回答，各个学生各有其特点，是其独创性的表现。
当然，强调发散思维的重要性，并不意味着可以将创造性思维与扩散思维简单等同，也不能因此可以忽视集中思维。扩散思维是多向思考，提供多种可能性方案，但没提供最佳方案，它还需要经过集中思维的分析筛选，寻找一种最佳方案。创造性地解决问题总是发散后集中，所以，我们要把发散思维训练作为一项重要任务，自觉地纳入日常的教学活动中。要根据班级实际引导思维发散、反对形式上的“活跃”而不扎实的发散，也要防止忽视集中思维。
一题多解、一题多变、一题多问等练习可培养学生发散思维的能力。但这类练习要收到好的效果。必须做到适时扩散的能力。但这类练习要收到收的效果，必须做到适时扩散、适时收敛、适时引导、适时评价。
4正向思维与逆向思维的能力
世界上许多事物的运动形态都是双向的，数学中的双向思维比比皆是，运算与逆运算，分析与综合等等。当人们习惯于正向思维时，某种逆向思维就会产生新的境界，许多发明创造就是这样萌发的。如火箭冲天对气球腾空来论，其原理是逆向的。在数学教学中也是这样，当学生经过努力从正向理解了某个规定、公式、法则后，若适当引导学生逆向思考下，往往会跨进新的知识领域。例如学了加法后再学减法，学了乘法再学除法。我们教师在教学中通过已知条件和问题的可逆性变换来打开学生的思路，培养学生的逆向思维能力。
在教学中要重视运用变式的方法精心设计练习，防止思维刻板僵化。既应用正向思维的题目，也应有逆向思维的题目，把正逆思维交融在一起。如：
()÷7=6……5
57÷()=8……1
数学分析论文篇6
引言
新课程标准的进一步实施，对小学数学教学也有着新的要求，通过对小学二年级数学教学采用新的教学模式，就能有助于实际教学水平质量的提高。也能有效的提升学生的学习效率，在当前的教学发展下，加强小学二年级的数学教学有效性理论研究，对小学数学教学的整体发展就有着实质性意义。
1.小学二年级数学教学有效性教学特征和现状分析
1.1小学二年级数学教学有效性教学特征分析
从小学二年级数学教学的有效性教学特征来看，主要体现在对学生的进步发展比较重视。对学生的进步发展的关注主要是对学生的全面发展的重视，在实际教学中，老师通过最优化的教学方式，来促进学生的全面学习素质的发展。有效教学的实施对师生间的关系融洽比较重视，对学生的身心健康发函比较有利[1]。
再者，小学二年级数学教学中的有效教学实施，对实际教学的时间以及教学的效益比较关注。在实际的教学过程中，就比较重视教学的效益提升，而不是为了追求速度。另外，小学二年级的数学教学中的有效教学实施对教师的反思以及教学的创新比较重视。通过有效教学的实施，注重教师自身的教学反思，从而能够及时的将教学方案进行调整，达到高效的教学课堂。
1.2小学二年级数学教学有效性教学现状分析
从当前小学二年级的数学教学有效策略实施的现状来看，还有一些方面存在着问题有待解决，这些问题主要体现在实际教学的目标没有得到有效明确，教学的随意性比较大。还有是在教学的主体也没有明确性，一些老师在传统教学思想观念的影响下，将自己作为是教学的主体，对学生的主体性地位没有得到重视，从而就使得学生的学习积极性不高，整体的教学效率比较低下等[2]。
另外，对小学二年级的数学教学过程中，采用的教学方法相对比较简单化，没有通过多样化的教学方式对学生的学习兴趣进行激发。小学教学受到长期的应试教育模式的影响，使得在实际教学过程中，就不能有效将教学的方法多样化呈现，还是采用传统的教学方式。在教学的内容上也没有和实际生活得到紧密的联系等，这就对学生的创造性思维的发展有着诸多不利。
除此之外，在实际教学中的评价教学过程中，没有对学生进行全面及时的评价。这一问题的存在就对学生的学习积极性发挥有着影响，教学评价中一些老师的评价比较模糊化。也没有对学生进行全面性的评价，这些问题的存在对学生的学习效率以及数学课堂教学效率都有着很大的负面影响。
2.小学二年级数学教学有效性问题原因以及优化策略
2.1小学二年级数学教学有效性问题原因分析
从小学二年级的数学教学有效性的问题成因来看，主要是受到多方面因素影响造成的。其中在外部的环境因素方面，小学的数学整体发展水平对有效教学策略的应用效果就会产生一定的影响。社会期待对教学有效策略的实施也会形成动力，还有是通过全面的课程改革，对数学有效策略的实施也会产生一定的影响，在这些方面的外部环境得到了优化，就能有助于有效教学策略的应用作用得到有效发挥[3]。
另外，对小学数学有效教学策略实施产生影响的因素，还体现在学生的学习心理。学生自身的学习兴趣以及认知水平等，也是学习的动力因素，如果在这一方面没有得到激发，就会对有效策略的应用效果产生相应的影响。还有实际情感态度以及价值观等，以及自我效能感以及教师方面的因素影响。这些方面都会对数学教学有效策略应用产生影响。
2.2小学二年级数学教学有效性策略实施
对小学二年级数学教学有效性策略的实施，要能充分遵循相应的原则，这样才能将教学有效性的目标达成。主要就是要将以学生为本的原则充分重视，在这一原则下，教学要能围绕着学生加以实施，要突出学生的学习主体性地位，让学生的学习积极主动性得以体现。要能将这一教学理念，在实际教学中充分重视，这样才能促进学生的全面发展，达到有效教学的目的[4]。还有是将预设和生成的辩证统一原则加以遵循，以及将教学的生态和谐发展的原则得以遵循，这些原则的遵循就能有助于学生的学习效率提升。
小学二年级是学生学习的初始阶段，对这一阶段的学生教学中，采用有效教学的策略应用，就要能够充分重视对教材内容的详细分析。在对教材分析之后，结合学生的学习情况进行精心设计，并要能够在设计中对教学的重点以及难点能得到充分重视。还要注重将问题设计和实际生活取得联系，让学生能够对数学问题产生共鸣。数学教材作为是学生学习和老师教学有效性的纽带，要能在教材基础上实施有效策略。
有效策略的实施中，可以通过情境设置以及多媒体技术的应用，来进行创设动态化丰富化的教学课堂，从而将课堂教学的有效性得到有效实现。在情境设置中，将现代化技术在这一教学中加以应用，就能有效的感染学生，通过生活化的教学场景激发学生的数学知识学习兴趣，让学生体验不一样的数学教学课堂[5]。
例如：对小学二年级数学教学中角的认识这一课程教学中，就可通过情景设置的方式，在多媒体技术的呈现下，可学生能够对生活中的有关角的内容加以呈现。让学生直观的理解角的概念，这就比较有利于学生在实际学习的效率上得到提升，学习的兴趣也能有效激发。通过多媒体技术的应用，让学生主动的进入到情境中来，将生活中的内容动态化的呈现给学生。还可通过实物展示的方式来加深学生的学习印象。
数学分析论文篇7
[关键词]中学生数学题心理障碍
在平时的数学教学中，学生们会告诉我许多他们的苦恼。我个人认为这类苦恼，既有生理的因素，显示了中学生青春期来临的某些特征；又有心理因素，他们是陷入了一种综合的心理疲劳状态。
“其实数学学习的直接反映形式是正确、迅速、简捷地解题。良好的解题心理能保证解题的正确率，提高数学学习的质量”。因此，教师应研究学生解题过程中的错误是哪些心理因素造成的，从而有效地把握学生的心理特征，扫除心理障碍，优化心理素质，提高学生的解题质量。本文就中学生在解数学题中出现的心理障碍做一些肤浅的探讨。
一、定势心理
“定势是由心理操作形成的模式所引起的心理活动的准备状态使当前的心理活动表现出一定的倾向性，也称心向”。学生由于受先前数学经验的影响，在数学解题过程中总想遵循已掌握的规则系统。思维定势有时会引起负迁移，产生消极影响，表现为思维的呆板性、狭隘性，在定势的妨碍下，学生学习表现为程式化、模式化，缺少应变能力。
例如，有这样一道题：礼堂第一排有a个座位，后面每排都比前一排多1个座位，第2排有几个座位？第3排呢？设m为第n排的座位数，那么m是多少？求a=20，n=19时，m的值。学生在解题时，受小学数学中结果常是一个确定数的干扰，形成一种定势心理，把用n表示m与求m的值混为一谈。
又如，在学有理数的减法时，教师反复强调减去一个数等于加上它的相反数，因而3-7中7前面的符号“-”是减号，给学生留下深刻的印象。紧接着学习代数和，又要强调把3-7看成正3与负7的和，“-”又成了负号。学生由于心理上的定势，往往不能理解后者真正的意义，因而运算中常常发生了错误。
针对这种障碍，教师在授课时应注意到定势的消极影响，讲清新学知识的意义，特别是跟前面知识有密切联系，但又有质的区别时，可通过列表法、换元法、数形结合法、分类讨论等方法进行对比，尽量避免使学生产生定势心理。不同问题重在比同，相似问题重在比异，这样就促进知识经验的正迁移，有效地防止了思维的负迁移。另外还应因材施教，因人而异，把握学生的实际，控制分散思维的难度，加强能产生正迁移的定势思维的训练，使学生熟能生巧，由量变到质变，达到思维的更高层次，达到大面积提高数学教学质量的目的。
二、陶醉心理
现今的中学生由于社会物质文明的高速发展，他们视野开阔，知识面广，但缺乏挫折教育，形成一种自赏、高傲的情绪，学习中也就常常产生自我陶醉心理。
例如，已知等腰三角形两边长分别为4、9，求周长。学生立即作答：（1）4+4+9=17。（2）9+9+4=22。根本未考虑4+4<9，此三角形不存在。
类似的错误屡屡出现，始终不能引起重视。其根源在于学生学习过程中听得多，练得少，看得多，想得少。一有小成，高兴半载。病根找到了，针对陶醉心理，在教学过程中要重视基本概念的巩固落实，肯定学生接受能力的同时，找出基础薄弱环节，有针对性的进行挫折辩伪教学。我们要引导学生树立自己心中的榜样，在教学中适当地介绍国内外著名的教育家，引导学生向他们学习，也可引导学生向班级中刻苦学习的同学学习，充分发挥榜样的“近体作用”。另外可以开展各种竞赛活动，建立竞争机制，引导学生抵制和排除不健康的心理因素，比、学、赶、超争先进。
三、惰性心理
不少中学生对题目中的关键信息感知性较差、智能结构松散、思维的指向性弱，观察只是停滞在被动的感知表象中，即使无意识地撞上了关键信息，也不能在加工过程中形成有价值的反馈信息，致使思维受阻，每每这时他们懒于动脑，生怕再受阻挫，只想去请教老师，在他们心目中，老师最有办法，因为在课堂上见到的数学老师大都是胸有成竹，添线手到擒来，演算巧妙绝伦。
例如，设x、y都是正实数，求函数z=(x-y)2+12-x-1y的最小值。
这是一道求两个独变元x、y所确定的函数z的最值问题，纵然展开，按降幂排列，也不得章法，思维受阻。
分别将含有变元x、y的项集中处理，仍然无头绪，几经涂抹，不少学生便心烦意乱，不愿再开动脑筋想办法。
“脆弱的神经系统导致了学生思维品质的消极、惰性，他们只能享受成功的喜悦，经不住失误的挫折，性格懦弱，不能理智地调控思维情境”。
其实只要静下心来，细细回想，几次思维障碍的原因在于没能将双变元问题转化为单变元问题，因而无法破题，如果此时再从符号文字、语言文字、结构形式等信息，以及相关的知识点，数学方法等贮存信息中，进行筛选，能否找到关键信息？蓦地，不同寻常的结构特征：“平方和”引起了注意，聚焦：，
即
当y是正实数时，y+1y≥2的信息即时探索出来，因而当y=1，前项有最小值94，此时后项便由双变元转化为单变元x，显然，当x=14时，后项有最小值0，
所以Z最小值=1294+0=98
所以我们教师应启迪学生克服惰性，增强信心，敢于向困难挑战，即使再次受阻，也要重新振作，把握思维，寻求通途。
四、自卑心理
某些学生开始踌躇满志，自我陶醉，自我宽容，但多次受挫后，遇到熟悉的问题还勉强一试，遇到相似或陌生的，内心便产生烦躁，恐惧，对自己的信心、能力产生怀疑，以致失望，其学习兴趣低下，数学学习效率甚微，最后厌弃数学，放弃学习。
例如，已知a2-3a+1=0，求a2+1a2+5的值。
不少同学在初看这题时，发现a2-3a+1=0是一个一元二次方程，首先想到解这一元二次方程，得到a1=3+52、a2=3-52。然后将a1、a2分别代入a2+1a2+5中去，再求出最后的结果，可是学生在用这种方法求解时，明显太繁琐，学生自己也感到方法不妥，但由于对自己缺乏必要的信心，在自卑心理的作用下，总认为自己不会做，于是不再往下深入地研究。
恩格斯告诫我们：“没有分析就没有综合。”分析是综合的基础，首先分析，再后综合，在综合中仍需分析，只有不断分析综合，加工改造，才能创造出符合要求的结论。
violate)法律而构成“犯罪”(commitacrime)，沦为“犯人”(criminal，offender)。受到“”(bringalawsuit,prosecute,sue)后，他们要在法庭“court”里接受“法官”(judge)的“审判”(trial)。审判期间，“被告”(defendant,theaccused)和“原告”(prosecutor—刑事案，plaintiff—民事案)均可聘请“律师”(lawyer,solicitor—英国英语，attorney—美国英语)为自己辩护。最后，法官根据“陪审团”(jury)的意见“判”(judge)“有罪”(guilty)或“无罪”(innocent)，并“量以刑罚”(sentence)。由此可以联想到“犯人”(criminal)的世界“监狱”(jail,prison)。我们还可以从另一个角度展开联想，即法的“制定”(draft,drawup,laydown,formulate,make)、“批准”(ratify)、“通过”(pass)、“颁布”(issue,promulgate)。对于不合理的、过时的法律要予以“取缔”(cancel)、“废除”(abolish,annul,repeal)，等等。除联想手段外，还可以采用其他几种行之有效的单词记忆技巧，如音标拼读规则法、词根词缀构词法、归类法、辨析法、位置法、首字母缩略词法、谐音法、关键词法、全身心反应法等。
六、要求学生及时复习，与遗忘作斗争
有记忆就有遗忘。记住材料，就是暂时神经联系的形成并留下痕迹。暂时神经联系形成之后，由于内抑制发展的结果，它便会逐渐地被抑制起来或消失掉，这就是遗忘。但我们学习知识不能只保持几秒钟，也不仅仅是几分钟，更不是遗忘它，而是要长时间地记住它，以便随时运用。要与遗忘作斗争，就要了解遗忘的规律，并科学地分配复习时间，这对于牢固地记忆知识是十分必要的。遗忘的规律是：在记忆某些材料之后，很快地便开始遗忘，但是遗忘的速度是不均衡的，开始时忘得多而快，以后便逐渐忘得少而慢。现代科学实验证明，遗忘最快的时候是在记住该材料的头一、两天之内。根据遗忘的这一规律，笔者要求学生记忆某些英语单词或上完英语课之后，就及时地复习，即在头一两天之内复习一次，然后隔一段时间复习一次，间隔时间先密后疏，随着记忆得到巩固，间隔时间逐步延长，复习次数也逐渐减少。这样，学过的知识就不易遗忘了。有时，我们记忆的材料容易遗忘，不是因为大脑里留下的痕迹已经消失，而是由于前摄抑制或后摄抑制的干扰所致，使我们回忆不起来有关材料。因此，在复习过程中，要想方设法避免或减少这种前后抑制的干扰，提高复习效果。根据这一原理，笔者要求学生在复习时注意做到：（1）尽可能不要把内容繁难或相近的科目安排在相邻的时间内进行记忆或复习；（2）在复习各种材料之间，需要有一个短暂的休息时间。这样，一方面，可以避免前后复习的材料之间相互干扰，另一方面，可以消除大脑的疲劳；（3）每天睡觉前，回忆一遍当天复习过的材料，这样可以避免干扰，对加强记忆的巩固性是非常有益的。总之，在英语教学中，教师要注意运用记忆理论，指导学生学习，能起到事半功倍的效果。
参考文献：
[1]伍谦光.语义学导论[m].长沙：湖南教育出版社,1997.
数学分析论文篇8
一、几个有代表性的矛盾结论
如何评价中国古代数学，如何评价在中国古代文明中数学的作用以及它取得的成就是每个数学史学者关心的问题。但是目前的一些研究却有着一些矛盾的结论，这些矛盾的结论往往是围绕着认识、理解、评价中国古代数学的关键性理论问题展开的。
1.关于古代数学运用的思维方式问题
中国古代数学是否象古希腊那样明确地运用逻辑思维问题，目前已成为评价中国古代数学的一个重要因素，因为在人们的认识和理解中，数学如果没有严格的逻辑思维形式，那就很难成为真正的数学理论，袁晓明先生的研究结论与人们的良好愿望相反，他认为中国古代数学不存在象古希腊数学那样以逻辑为基础的思维方式，“与古希腊数学严格地采用逻辑演绎的逻辑思维方式不同，中国数学则是以非逻辑思维为主，即主要通过直觉、想象、类比、灵感等思维形式来形成概念、发现方法、实现推理的。”[1]
郭书春先生通过对《九章算术》的研究，得出相反的结论，他认为《九章算术》的注释中已经具有并形成了演绎的逻辑方法及演绎的逻辑体系，“刘徽注中主要使用了演绎推理，他的论证主要是演绎论证即真正的数学证明，从而把《九章算术》上百个一般公式、解法变成了建立在必然性基础之上的真正的数学科学。”[2]
巫寿康先生与郭书春先生的观点相同，他认为：“刘徽《九章算术注》中的每一个题，都可以分解成一些首尾相接的判断，如果仔细分析这些判断之间的联系，就会发现这些判断组成若干个推理，然后由这些推理再组成一个证明，因此可以说，《九章算术注》中的论证已经具备了证明的结构，就大多数注文来说，这其中的推理都是演绎推理，大多数证明也都是演绎证明。”[3]
中国古代数学到底“是以非逻辑思维为主”，还是“主要是演绎证明”，这是中国古代数学研究中一个矛盾的结论，还没有得到统一认识的问题。
2.关于中国古代数学理论构造的问题
按照西方数学的模式，一种数学著作若是按应用问题的类别编排，并且每一个题之后给出解法和答案，那么这个数学著作就是一个习题集的模式，也许正是由于这种客观原因，许多国外的学者都认为中国古代数学不存在什么理论构造，李约瑟先生就认为“从实践到纯知识领域的飞跃中，中国数学是未曾参与过的。”[4]著名的数学家陈省身先生也有相同的看法，他认为“在中国几何中，我无法找到类似三角形内角和等于180°的推论，这是中国数学中没有的结果。因此，得于国外数学的经验和有机会看中国数学的书，我觉得中国数学都偏应用，讲得过分一点，甚至可以说中国数学没有纯粹数学，都是应用数学。”[5]
中国的一些数学史学者对此持完全相反的观点，坚持强调中国古代数学理论构造的存在性。李继闵先生认为“中国传统数学具有自己独特的理论体系，它以理论的高度概括、精炼为特征，中算家善于从错综复杂的数学现象中抽象出深刻的数学概念，提炼出一般的数学原理，而从非常简单的基本原理出发解决重大的理论关键问题……中国传统数学理论，乃是为建立那些在实际中有直接应用的数学方法而构造的最为简单、精巧的理论建筑物。”[6]
中国古代数学是否有一个理论意义上的构造体系，这大概是目前中外数学史专家们对中国古代数学研究中的一个最大的分歧点。如何正确地评价中国古代数学的体系构造已成为中国数学史研究中应当回答的理论问题之一。
3.关于珠算在中国数学史中的地位问题。
在中国数学史的研究中，人们一直认为宋元数学是中国古代数学的高峰。宋元之后的明代珠算无法与宋元数学的成就相比，明代珠算一般被认为是“民用”或“商用”数学。言外之意，珠算是不能登中国古代数学理论构造的大雅之堂。许多学者认为宋元数学的衰退、被人遗忘是很值得研究的理论问题，而明代珠算却没有什么值得在理论层面给予研究的意义。
笔者的观点与当前评价宋元数学和明代珠算的观点都相悖。笔者认为珠算是中国古代数学在宋元之后取得的又一里程碑式的成就，它是中国筹算在运演工具上的重大创新，是筹算运演发展的重大突破，是中国古代数学技艺型发展的必然结果。[7]
如何评价珠算在中国数学史中的地位，实际也带来了如何评价宋元数学的一系列问题，在这个问题上笔者也提出了与目前传统观点相悖的论点，即宋元数学的成就，是中国筹算在特定的社会动荡、传统儒家观念发生紊乱、仕大夫仕途无望的文化氛围中奇异性发展的结果，当社会是进入稳定发展、仕大夫按照儒家传统观念走向仕途时，宋元数学就必然会被整个民族文化所淡忘。[8]
对珠算与宋元数学的评价，实际上涉及了如何看待中国古代筹算体系的发展及其内在规律的问题，这一问题也是正确认识中国古代数学的一个理论性的问题。
二、数学史研究的方法论问题及评判的理论依据
从方法论的意义上来考察中国古代的数学史研究，可以发现实际上存在两个不同层次的研究状况，第一层次的研究是指对史料的收集、整理、考证。应当说这个层次的主要工作是在中国古代数学的范畴内对数学史实的发展及其流变进行分析认证。这一层次的分析考证应当确认史料的年代及其真伪，以及史实在中国数学发展中所处的地位。第二层次的研究，是对已确认的史料与世界数学史的比较评价。应当说这个层次的比较研究是在世界数学史的范畴内（实际上主要是中西数学发展的范畴内）进行比较研究，这一层次的主要工作是要确认中国古代数学已达到的理论层次。这一过程显然是把中国古代数学纳入到已有的理论框架中进行比较，进而要求表述中国古代数学在现有古代数学史理论框架内所处的地位、理论层次、构造性状况以及它对现有数学史理论的贡献。
在方法论意义上，这两个不同层次的工作不能混同，因为这两个层次的工作存在着研究的范畴差异、时间差异和评判依据准则的差异。[9]
所谓范畴差异，是指第一层次的研究是在中国文化的范畴内进行分析考证，而第二层次的研究主要是在中西文化的范畴内进行比较评断。第一层次研究此时要解决的是史料真伪状况及在中国文化中的发展状况，而第二层次的研究要回答的是，已经证实的中国史实材料与西方数学相比，与现代的数学理论相比，其结果如何。
所谓时间差异是指第一层次的研究是要把史料放在原有的历史时间内考证史料是什么，它的语言、背景、含意等等，第一层次运用的是历史时间序列。第二层次的比较研究是要把史料放在现代数学史的理论框架内来比较评判中国古代数学的史料达到的理论状态、在人类数学史中的地位等等。因此说，第二层次研究运用的是现代的时间序列。
所谓评判差异，是指第一层次的分析考证运用的是在历史演化发展时数学自身变化发展的评判尺度，即以中国古代数学的自身成就来评判某一特定历史阶段数学史实的意义。此时运用的是中国古代数学史的评判准则。例如，判定某个历史时期筹算的成就，运用的是筹算自身发展的规律来判定那个时期筹算达到的运演和理论的实际状况。当然，第二层次上的比较评判，运用的却是现代数学史研究的理论框架并以此分析评判中国古代数学某个史实所达到的标准。
值得指出的是，我们目前的一些比较评价，实际上都是在第二层次上进行的，但是作为第二层次研究所特有的方法论意义上的要求，却常常不被严格遵守，尤其是第二层次的比较评判中应当特别强调的理论评价准则在先的原则，往往不被重视。也就是说，如果我们要把某一个中国古代数学的史实与世界数学的理论形式相比较，就必须明确地认识到或论证出现有的数学成果构成的理论标准，并以此标准来判断中国古代数学的史料是否达到了这个理论标准。
中国一些数学史学者在进行中国古代数学的比较评判时，往往把第一层次的工作与第二层次的工作混同起来，尤其是在没有指出应有的评价准则时就把自己的感悟、个人的理解换成一种客观的标准，进而就得出一种评判的结果。这样的结论不仅会带来研究结果的矛盾，更为重要的是会使我们的研究成果具有很大的主观性、随意性特征。例如，台湾的学者李国伟先生就曾对国内学者认为刘徽“求微数法”就是无理数的研究成果提出疑义，并且从五个层次论述了刘徽的结果与无理数理论的差异。[10]显然，对于无理数问题的评判，国内一些学者缺乏理论标准在先的意识。
在自然科学史研究中，人们就是在正确地使用方法论的同时，也还有一个对史实论证过程中的潜在的理论模式影响的问题。这个问题实际已经超越了方法论意义的讨论，它实质上涉及了用什么样的古代数学理论模式来评判筹算所具有的理论价值。例如，对于中国筹算发展为珠算的评判以及对宋元数学和明代珠算的评价，虽然在数学史的研究中属于第一个层次的问题，但是它实际上已经涉及了用一种什么样的古代数学的模式来评判筹算取得的一些成果。
现在可以看出，中国古代数学史研究中出现的某些相互矛盾的结论，不仅仅是一个方法论方面的问题，它实际上涉及到用什么样的理论标准来评价筹算的发展、演变以及不同时期取得的成就。更进一步的问题可以成为，中国古代筹算是应当按照西方古代数学的模式来评价，还是放弃西方古代数学的模式重新建立一个中国文化中数学发展的模式，可以说这后一个问题是中国数学史面临的一个很值得讨论研究的理论问题。
三、筹算的特征及分析
从目前数学史研究中可以发现，人们对筹算构成的一些理论性问题很感兴趣，评价颇高，而对实际应用的发展评价颇低，似乎不被看作是中国古代数学的什么重大成果。同样的，人们对《九章算术》中表现的逻辑形式十分看重，而对它表现的筹算操作运演本身评价一般（如对代表正、负意义算筹形式及其排摆方法）。其实中西古代数学明显地存在巨大差异，这些差异正是我们客观认识中国古代数学发展模式和理论框架的必要基础。
吴文俊先生认为，中国古代数学是紧紧依靠算器而形成的一种数学模式。“我国的传统数学有它自己的体系与形式，有着它自身发展途径和独到的思想体系，不能以西方数学的模式生搬硬套……从问题而不是从公理出发，以解决问题而不是以推理论证为主旨，这与西方以欧几里得几何为代表的所谓演释体系旨趣迥异，途径亦殊……在数学发展的历史长河中，数学机械化算法体系与数学公理化演绎体系曾多次反复互为消长，交替成为数学发展中的主流。”[11]中国筹算的依靠算具、形数结合、重在操作运演本身，以解决具体问题为构造模式的这些特征应当看作是一种中国古代数学的理论发展模式。
从中西古代数学的比较可以得到如下四个方面差异。
1.筹算的运演和结果表现在一种竹棍摆排上，而古希腊数学运演和结果则表现在文字符号书写上。
2.筹算在运演是一种竹棍的排摆，是一种规则指导下的手工操作，而古希腊数学的运演是书写在文字符号的运演过程中，是一种规则指导下的文字运演过程。
3.筹算是以具体问题的分类构成体系，而古希腊数学是以文字符号运演的逻辑形式进行分类（按数学的内部规律进行分类）并构成体系。
4.筹算是以实际致用为发展方向，而古希腊数学则是以理性精神的表述为自己的发展方向（西方著名科学哲学家波普尔，直到今天仍认为欧几里得的《几何原本》并不是数学的教材而是柏拉图构造世界的一种图示，因为它以五种正多面体结束最终的构造[12]）。
对照上面筹算与古希腊数学的差异，我们可以看出中国古代数学理论建构的某些特征。
第一，运用形数结合的竹棍来表现数学，竹棍的运演本身及竹棍自身的变化就毫无疑问应当是中国古代数学发展的一个重要内容。
第二，运用竹棍的手工操作规则是一种算法而且不留有过程，竹棍操作运演是一种程序。筹算的程序应当是中国古代数学的一个重要内容。这与古希腊文字运演重视逻辑思维方式、逻辑运演的规则是完全相异的。
第三，筹算是以实际问题的类型分类建构，这与古希腊数学以公理、公式为类型的建构模式完全相异。
第四，筹算的致用发展是一种民族文化赋予它的价值取向，它不会也不可能从理性的意义去构造自身、发展自身。因为在中国文化中，起文化中理性指导作用是《周易》的六十四卦模式。[13]
运用上面四个特征的分析，我们可以获得如下的一些结论。
结论1筹算运演程序的成就及筹算运演工具自身的改进和创造（筹算到珠算）都应看作是中国古代数学的重大进展，亦应看作是对人类古代数学的贡献。
结论2中国古代数学的逻辑思维方式与古希腊数学的逻辑思维方式的对比是不对称的比较，中国古代数学的算法程序（包括摆排的技巧及指导思想）才是与古希腊逻辑思维方式相对称的比较。在人类思维的意义上，筹算算法程序的建立和发展与古希腊数学形式逻辑思维的创立和发展是人类古代数学思想的两大方向。
结论3数学的理性构造不应当依西方古代数学的模式为唯一的人类古代数学的模式，数学理性构造的方向是一种文化特征。应当在明确两种文化的数学理性层次（处于形而上层次还是处于形而下层次）差异的基础上，进行数学自身意义的比较，而不能把一种民族文化特征（如西方数学在理性意义上的构造及在理性意义对其它学科的影响）看作人类古代数学的唯一的特征或必要的特征。
应当说，讨论方法论的层次、讨论中西古代数学的模式差异，已经上升为对古代数学的一种哲学意义的思考。目前，中国古代数学史的研究还缺乏对筹算的一些哲学层次的理性思考，我们的一些中西古代数学比较研究往往会不自觉地把西方数学的模式套到筹算上来。
数学分析论文篇9
关键词：数学思维、数学思维障碍
思维是人脑对客观现实的概括和间接的反映，反映的是事物的本质及内部的规律性。所谓高中学生数学思维，是指学生在对高中数学感性认识的基础上，运用比较、分析、综合、归纳、演绎等思维的基本方法，理解并掌握高中数学内容而且能对具体的数学问题进行推论与判断，从而获得对高中数学知识本质和规律的认识能力。高中数学的数学思维虽然并非总等于解题，但我们可以这样讲，高中学生的数学思维的形成是建立在对高中数学基本概念、定理、公式理解的基础上的；发展高中学生数学思维最有效的方法是通过解决问题来实现的。然而，在学习高中数学过程中，我们经常听到学生反映上课听老师讲课，听得很“明白”，但到自己解题时，总感到困难重重，无从入手；有时，在课堂上待我们把某一问题分析完时，常常看到学生拍脑袋：“唉，我怎么会想不到这样做呢？”事实上，有不少问题的解答，同学发生困难，并不是因为这些问题的解答太难以致学生无法解决，而是其思维形式或结果与具体问题的解决存在着差异，也就是说，这时候，学生的数学思维存在着障碍。这种思维障碍，有的是来自于我们教学中的疏漏，而更多的则来自于学生自身，来自于学生中存在的非科学的知识结构和思维模式。因此，研究高中学生的数学思维障碍对于增强高中学生数学教学的针对性和实效性有十分重要的意义。
一、高中学生数学思维障碍的形成原因
根据布鲁纳的认识发展理论，学习本身是一种认识过程，在这个课程中，个体的学是要通过已知的内部认知结构，对“从外到内”的输入信息进行整理加工，以一种易于掌握的形式加以储存，也就是说学生能从原有的知识结构中提取最有效的旧知识来吸纳新知识，即找到新旧知识的“媒介点”，这样，新旧知识在学生的头脑中发生积极的相互作用和联系，导致原有知识结构的不断分化和重新组合，使学生获得新知识。但是这个过程并非总是一次性成功的。一方面，如果在教学过程中，教师不顾学生的实际情况（即基础）或不能觉察到学生的思维困难之处，而是任由教师按自己的思路或知识逻辑进行灌输式教学，则到学生自己去解决问题时往往会感到无所适从；另一方面，当新的知识与学生原有的知识结构不相符时或者新旧知识中间缺乏必要的“媒介点”时，这些新知识就会被排斥或经“校正”后吸收。因此，如果教师的教学脱离学生的实际；如果学生在学习高中数学过程中，其新旧数学知识不能顺利“交接”，那么这时就势必会造成学生对所学知识认知上的不足、理解上的偏颇，从而在解决具体问题时就会产生思维障碍，影响学生解题能力的提高。
二、高中数学思维障碍的具体表现
由于高中数学思维障碍产生的原因不尽相同，作为主体的学生的思维习惯、方法也都有所区别，所以，高中数学思维障碍的表现各异，具体的可以概括为：
1.数学思维的肤浅性：由于学生在学习数学的过程中，对一些数学概念或数学原理的发生、发展过程没有深刻的去理解，一般的学生仅仅停留在表象的概括水平上，不能脱离具体表象而形成抽象的概念，自然也无法摆脱局部事实的片面性而把握事物的本质。由此而产生的后果：1〉学生在分析和解决数学问题时，往往只顺着事物的发展过程去思考问题，注重由因到果的思维习惯，不注重变换思维的方式，缺乏沿着多方面去探索解决问题的途径和方法。例如在课堂上我曾要求学生证明：如|a|≤1，|b|≤1，则。让学生思考片刻后提问，有相当一部分的同学是通过三角代换来证明的（设a=cosα，b=sinα），理由是|a|≤1，
|b|≤1（事后统计这样的同学占到近20%）。这恰好反映了学生在思维上的肤浅，把两个毫不相干的量（a,b）建立了具体的联系。2〉缺乏足够的抽象思维能力，学生往往善于处理一些直观的或熟悉的数学问题，而对那些不具体的、抽象的数学问题常常不能抓住其本质，转化为已知的数学模型或过程去分析解决。
例：已知实数x、y满足，则点p(x,y)所对应的轨迹为（）（a）圆(B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线。在复习圆锥曲线时，我拿出这个问题后，学生一着手就简化方程，化简了半天还看不出结果就再找自己运算中的错误（怀疑自己算错），而不去仔细研究此式的结构进而可以看出点p到点（1，3）及直线x＋y＋1=0的距离相等，从而其轨迹为抛物线。
2.数学思维的差异性：由于每个学生的数学基础不尽相同，其思维方式也各有特点，因此不同的学生对于同一数学问题的认识、感受也不会完全相同，从而导致学生对数学知识理解的偏颇。这样，学生在解决数学问题时，一方面不大注意挖掘所研究问题中的隐含条件，抓不住问题中的确定条件，影响问题的解决。如非负实数x，y满足x＋2y=1，求x2＋y2的最大、最小值。在解决这个问题时，如对x、y的范围没有足够的认识（0≤x≤1，0≤y≤1／2），那么就容易产生错误。另一方面学生不知道用所学的数学概念、方法为依据进行分析推理，对一些问题中的结论缺乏多角度的分析和判断，缺乏对自我思维进程的调控，从而造成障碍。如函数y=f(x)满足f(2＋x)=f(2－x)对任意实数x都成立，证明函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称.对于这个问题，一些基础好的同学都不大会做(主要反映写不清楚)，我就动员学生看书，在函数这一章节中找相关的内容看，待看完奇、偶函数、反函数与原函数的图象对称性之后，学生也就能较顺利的解决这一问题了。
3.数学思维定势的消极性：由于高中学生已经有相当丰富的解题经验，因此，有些学生往往对自己的某些想法深信不疑，很难使其放弃一些陈旧的解题经验，思维陷入僵化状态，不能根据新的问题的特点作出灵活的反应，常常阻抑更合理有效的思维甚至造成歪曲的认识。如：z∈c，则复数方程所表示的轨迹是什么？可能会有不少学生不假思索的回答是椭圆，理由是根据椭圆的定义。又如刚学立体几何时，一提到两直线垂直，学生马上意识到这两直线必相交，从而造成错误的认识。
由此可见，学生数学思维障碍的形成，不仅不利于学生数学思维的进一步发展，而且也不利于学生解决数学问题能力的提高。所以，在平时的数学教学中注重突破学生的数学思维障碍就显得尤为重要。
三、高中学生数学思维障碍的突破
1.在高中数学起始教学中，教师必须着重了解和掌握学生的基础知识状况，尤其在讲解新知识时，要严格遵循学生认知发展的阶段性特点，照顾到学生认知水平的个性差异，强调学生的主体意识，发展学生的主动精神，培养学生良好的意志品质；同时要培养学生学习数学的兴趣。兴趣是最好的老师，学生对数学学习有了兴趣，才能产生数学思维的兴奋灶，也就是更大程度地预防学生思维障碍的产生。教师可以帮助学生进一步明确学习的目的性，针对不同学生的实际情况，因材施教，分别给他们提出新的更高的奋斗目标，使学生有一种“跳一跳，就能摸到桃”的感觉，提高学生学好高中数学的信心。
例：高一年级学生刚进校时，一般我们都要复习一下二次函数的内容，而二次函数中最大、最小值尤其是含参数的二次函数的最大、小值的求法学生普遍感到比较困难，为此我作了如下题型设计，对突破学生的这个难点问题有很大的帮助，而且在整个操作过程中，学生普遍（包括基础差的学生）情绪亢奋，思维始终保持活跃。设计如下：
1〉求出下列函数在x∈[0，3]时的最大、最小值：(1)y=（x－1）2＋1，(2)y=（x＋1）2＋1，(3)y=（x－4）2＋1
2〉求函数y=x2－2ax＋a2＋2，x∈[0，3]时的最小值。
3〉求函数y=x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]的最小值。
上述设计层层递进，每做完一题，适时指出解决这类问题的要点，大大地调动了学生学习的积极性，提高了课堂效率。
2.重视数学思想方法的教学，指导学生提高数学意识。数学意识是学生在解决数学问题时对自身行为的选择，它既不是对基础知识的具体应用，也不是对应用能力的评价，数学意识是指学生在面对数学问题时该做什么及怎么做，至于做得好坏，当属技能问题，有时一些技能问题不是学生不懂，而是不知怎么做才合理，有的学生面对数学问题，首先想到的是套那个公式，模仿那道做过的题目求解，对没见过或背景稍微陌生一点的题型便无从下手，无法解决，这是数学意识落后的表现。数学教学中，在强调基础知识的准确性、规范性、熟练程度的同时，我们应该加强数学意识教学，指导学生以意识带动双基，将数学意识渗透到具体问题之中。如：设x2＋y2＝25，求u=的取值范围。若采用常规的解题思路，μ的取值范围不大容易求，但适当对u进行变形：转而构造几何图形容易求得u∈[6，6]，这里对u的适当变形实际上是数学的转换意识在起作用。因此，在数学教学中只有加强数学意识的教学，如“因果转化意识”“类比转化意识”等的教学，才能使学生面对数学问题得心应手、从容作答。所以，提高学生的数学意识是突破学生数学思维障碍的一个重要环节。
3.诱导学生暴露其原有的思维框架，消除思维定势的消极作用。在高中数学教学中，我们不仅仅是传授数学知识，培养学生的思维能力也应是我们的教学活动中相当重要的一部分。而诱导学生暴露其原有的思维框架，包括结论、例证、推论等对于突破学生的数学思维障碍会起到极其重要的作用。
例如：在学习了“函数的奇偶性”后，学生在判断函数的奇偶性时常忽视定义域问题，为此我们可设计如下问题：判断函数在区间[2―6，2a]上的奇偶性。不少学生由f（―x）=―f（x）立即得到f（x）为奇函数。教师设问：①区间[2―6，2a]有什么意义？②y=x2一定是偶函数吗？通过对这两个问题的思考学生意识到函数只有在a=2或a=1即定义域关于原点对称时才是奇函数。
使学生暴露观点的方法很多。例如，教师可以与学生谈心的方法，可以用精心设计的诊断性题目，事先了解学生可能产生的错误想法，要运用延迟评价的原则，即待所有学生的观点充分暴露后，再提出矛盾，以免暴露不完全，解决不彻底。有时也可以设置疑难，展开讨论，疑难问题引人深思，选择学生不易理解的概念，不能正确运用的知识或容易混淆的问题让学生讨论，从错误中引出正确的结论，这样学生的印象特别深刻。而且通过暴露学生的思维过程，能消除消极的思维定势在解题中的影响。当然，为了消除学生在思维活动中只会“按部就班”的倾向，在教学中还应鼓励学生进行求异思维活动，培养学生善于思考、独立思考的方法，不满足于用常规方法取得正确答案，而是多尝试、探索最简单、最好的方法解决问题的习惯，发展思维的创造性也是突破学生思维障碍的一条有效途径。
当前，素质教育已经向我们传统的高中数学教学提出了更高的要求。但只要我们坚持以学生为主体，以培养学生的思维发展为己任，则势必会提高高中学生数学教学质量，摆脱题海战术，真正减轻学生学习数学的负担，从而为提高高中学生的整体素质作出我们数学教师应有的贡献。
参考文献：
1、任樟辉《数学思维论》（90年9月版）
数学分析论文篇10
“圆”是一个古老的课题，人类的生活与生产活动和它密切相关。有关圆的知识在战国时期的《墨经》、《考工记》等书中都有记载，授课中将有关史料穿去，作为课本知识的补充和延伸。例如讲解圆的定义与性质时，我向学生介绍，约在公元前二千五百年左右，我国已有了圆的概念，考古说明我国夏代奴隶社会以前的原始部落时期就有圆形的建筑。至于圆的定义和性质在《墨经》中已有记载，其中，“圆，一中同长也”，即圆周上各点到中心的长度均相等；此外，还进一步说明“圆，规写交也”，即圆是用圆规画出来的终点与始点相交的线。这与欧几里得的定义相似，而《墨经》成书于公元前4～3世纪，是在欧几里德诞生时间问世的。再比如圆心角、弓形、圆环形、圆内接正六边形、直角三角形的内切圆、圆锥等一系列概念与性质，在《墨经》、《考工记》、《九章算术》等书中都有记载，在讲到这些内容时，我便用几句话向同学们作简要介绍。这样，随着这一章教材的不断展开，同学们对我国古代在相关领域的发展概貌有个初步的了解，明白我国古代就对这些内容有了比较全面、系统的认识。特别是早在战国时期就有了论证几何学的萌芽，几乎与古希腊的几何学同时产生。
二、根据教材特点，适当选择科学史资料，有针对性地进行教学。
圆周率π是数学中的一个重要常数，是圆的周长与其直径之比。为了回答这个比值等于多少，一代代中外数学家锲而不舍，不断探索，付出了艰辛的劳动，其中我国的数学家作出过卓越贡献。该章的“读一读：关于圆周率π”对此作了简单的介绍，并提到祖冲之取得了“当时世界上最先进的成就”。为了让同学们了解这一成就的意义，从中得到启迪，我选配了有关的史料，作了一次读后小结。先简单介绍发展过程：最初一些文明古国均取π＝3，如我国《周髀算经》就说“径一周三”，后人称之为“古率”。人们通过实践逐步认识到用古率计算圆周长和圆面积时，所得到的值均小于实际值，于是不断利用经验数据修正π值，例如古埃及人和巴比伦人分别得到π＝31605和π＝3125。后来古希腊数学家阿基米德（公元前287～212年）利用圆内接和外切正多边形来求圆周率的近似值，得到当时关于π的最好估值约为：31409〈π〈31429；此后古希腊的托勒玫约在公元150年左右又进一步求出π＝3141666。我国魏晋时代数学家刘微（约公元3～4世纪）用圆的内接正多边形的“弧矢割圆术”计算π值。当边数为192时，得到3141024〈π〈3142704。后来把边数增加到3072边时，进一步得到π＝314159，这比托勒玫的结果又有了进步。待到南北朝时，祖冲之（公元429～500年）更上一层楼，计算出π的值在31415926与31415927之间。求出了准确到七位小数的π值。我国以这一精度，在长达一千年的时间中，一直处于世界领先地位，这一记录直到公元1429年左右才被中亚细亚的数学家阿尔·卡西打破，他准确地计算到小数点后第十六位。这样可使同学们明白，人类对圆周率认识的逐步深入，是中外一代代数学家不断努力的结果。我国不仅以古代的四大发明———火药、指南针、造纸、印刷术对世界文明的进步起了巨大的作用，而且在数学方面也曾在一些领域内取得过遥遥领先的地位，创造过多项“世界记录”，祖冲之计算出的圆周率就是其中一项。接着我再说明，我国的科学技术只是近几百年来，由于封建社会的日趋没落，才逐渐落伍。如今在向四个现代化进军的新长征中，赶超世界先进水平的历史重任就责无旁贷地落在同学们的肩上。我们要下定决心，努力学习，奋发图强。
为了使同学们认识科学的艰辛以及人类锲而不舍的探索精神，我还进一步介绍：同学们都知道π是无理数，可是在18世纪以前，“π是有理数还是无理数？”一直是许多数学家研究的课题之一。直到1767年兰伯脱才证明了π是无理数，圆满地回答了这个问题。然而人类对于π值的进一步计算并没有终止，例如1610年德国人路多夫根据古典方法，用262边形，计算π到小数点后第35位。他把自己一生的大部分时间花在这项工作上。后人为了纪念他，就把这个数刻在他的墓碑上，至今圆周率被德国人称为“路多夫数”。1873年英国的向克斯计算π到707位小数。1944年英国曼彻斯特大学的弗格森分析了向克斯计算的结果后，产生了怀疑并决定重算一次。他从1944年5月到1945年5月用了一整年的时间来做此项工作，结果发现向克斯的707位小数只有前面527位是正确的。后来有了电子计算机，有人已经算到第十亿位。同学们要问计算如此高精度的π值究竟有什么意义？专家们认为，至少可以由此来研究π的小数出现的规律。更重要的是，对π认识的新突破进一步说明了人类对自然的认识是无穷无尽的。几千年来，没有哪一个数比圆周率π更吸引人了。根据这一段教材的特点，适当选配数学史料，采用读后小结的方式，不仅可以使学生加深对课文的理解，而且人类对圆周率认识不断深入的过程也使学生受到感染，兴趣盎然，这对培养学生献身科学的探索精神有着积极的意义。