线性规划篇1
一、一线牵引出线性目标函数的最值
1.静态可行域下形如z=ax+by+c截距型线性目标函数的最值
例1（2015年湖南卷）若变量x，y满足约束条件则z=3x-y的最小值为（）
解析：作出可行域（图略），作直线l：3x-y=0，平移直线l利用数形结合法求最值。答案：选a
命题点睛要求考生理解目标函数的意义：把z=3x-y看作一条“动直线”l，观察其位置，从而确定目标函数取得最值时所经过的点。动中有静，动直线l牵引出最优解（定点），从而得到z的最小值。
2.动态可行域下形如z=ax+by+c截距型线性目标函数最值的逆向问题
例2（2015年福建卷）变量x，y满足约束条件若z=2x-y的最大值为2，则实数m等于（）
a、-2B、-1
C、1D、2
图1
解析将目标函数看作动直线l：2x-z=0，当z取最大值时，动直线l纵截距最小。故当m≤0时，不满足题意;当m>0时，由可行域如图1所示，其中是最优解，代入目标函数得：，得m=1。故选C。
命题点睛以动制静，动直线l的位置与参数m的符号相互制约，由两条动直线l：y=2x-z与l1：y=mx牵引出定点B最优解。解含参数的线性规划问题，要善于从已知的可行域（动态区域）中找出不变的（静态）区域。困难在于对参数m的符号讨论，以确定可行域，往往还要将动直线l的斜率和可行域边界的斜率比较，否则找出最优解很容易出错。思维从静态到动态模式跳跃式开放性发展，更能考查学生的创新应用能力。
二、一线牵引出非线性目标函数的最值
1.斜率型
例3（2015年全国卷）若x，y满足约束条件则的最大值为。
解析作出可行域（图略），由斜率的意义知是可行域内的动点p（x，y）与原点连线的斜率。答案：3
命题点睛形如型的目标函数，其表示可行域内的动点p（x，y）与定点m（a，b）连线的斜率。将直线pm绕点m旋转，且确保动点p在可行域内，这样由动点与定点的连线牵引出斜率的取值范围。
2.距离型：点点距、点线距
例4（2016年山东卷）若变量x，y满足则x2+y2的最大值是（）
a、4B、9
C、10D、12
解析x2+y2表示可行域内的动点（x，y）到原点o（0，0）距离的平方，可得x2+y2的最大值为10。故选C。
命题点睛点点距离型实质就是动点与定点连线的长度。
变式探究1（点线距）：（2016年浙江卷文・4改编）
若平面区域
（1）的最大值是。
（2）的最大值是。
答案：（1）（2）
3.向量数量积型（夹角型、投影型）
例5（2016年浙江卷）在平面上，过点p作直线l的垂线所得的垂足称为点p在直线l上的投影。由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为aB，则|aB|（）。
a、B、4
C、D、6
答案：C
变式拓展2：（夹角型、投影型）已知点a（3，1），o为坐标原点，点p（x，y）满足则
（1）的最小值是。
（2）的最大值是。
（3）的取值范围是。
解析如图2所示，（1）
当且仅当与反向时，取等号;
（2）的最大值即在方向上的投影，为
（3）的最小值即在方向上的投影，为
其最大值即与共线时在方向上的投影，为，所以其取值范围是
命题点睛（1）中抓住定向量与动向量的夹角;（2）中抓住动线段op在一条定直线oa上的投影;（3）与（2）正好反之。
图2
4.直线与圆锥曲线相关位置型
图3
例6（2016年山东卷文・4改编）设x，y满足约束条件若Z=x2+4y2，则Z的取值范围是。
解析Z=x2+4y2表示中心在坐标
原点，焦点在x轴上的椭圆，当此椭圆与直线x+y=1相切时，Z=x2+4y2最小，
由得5y2-2y+1=0，由Δ=0
得为最小值;当此椭圆过点时，为最大值，故所求范围是
图4
命题点睛圆锥曲线（动曲线）与一条定直线（或定点）的位置关系牵引出z的取值范围，此题型新颖别致，赏心悦目，耐人寻味。
变式拓展3设变量x，y满足约束条件
其中k∈R，k>0.
若的最大值为1，则实数k的取值范围是。
线性规划篇2
工商管理的产生是国家出于对市场经济秩序的构建与其健康发展的目的，主要是通过对市场经济经营行为的监督管理以及相关执法。通过将强制惩戒与行政教育相结合的方法，达到规范市场经济的目的，为市场经济的发展营造良好的环境。
二、工商管理的职能
（1）对市场经济的监管力度。工商管理部门是由政府依法组织，针对市场经济的自由性，对企业和盈利机构进行监督管理的工作执法部门。工商管理在政府工作中的首要职能就是市场监管，即对社会中的工商企业、外资企业等盈利性机构进行依法监督管理，维护市场的经营秩序，对于企业的违规违纪行为进行依法惩处，调节市场经济各部分的和谐共处。（2）对市场经济发展的服务。工商管理的对象是经济环境中的经济活动，服务于社会主义的市场经济建设，通过提高服务性维护和促进商品经济的良性发展。工商管理可以通过对市场经济的调节，维护市场经济的有序运行，服务广大消费者。
三、线性规划在工商管理中的应用
首先，线性规划可以用于生产计划确定后的优化，主要内容包括：（1）合理利用材料问题：在保证生产正常进行的条件下，以最少的材料达到最大的使用效果。（2）配料问题：在原料供应的数量限制下，如何搭配才能获得最大收益。（3）投资问题：从投资项目中选取最佳组合，使有限的投资得到最大的回报。（4）产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大。（5）劳动力安排：用最少的劳动力满足工作的需要。（6）运输问题：对产品的调运方案进行细致制定，减少运费。其次，线性规划支持企业未来的决策。管理者必须分析未来的经济发展趋势，分析未来的消费趋势，并预测同行的产销动向，根据分析结果，确定自身企业的产品价格和促销策略，然后将这些数据进行线性规划，得出企业发展的最佳路线。工商企业的生产计划管理问题分析完全符合线性规划建模的条件，因此可以运用线性规划来分析生产计划方案的优化问题。但是，应用线性规划的方法对企业的生产计划问题进行分析，首先必须满足几点要求：（1）明确目标函数。生产计划的经济分析是一种定量分析方法，以企业利润作为评价目标值，其最终目的是制定可以使企业利润最大化的生产计划决策，因此，企业利润最大化是生产决策分析的目标函数。（2）明确约束条件。企业的生产能力，原材料，设备使用，市场需求状况等诸多限制因素与生产计划分析是密切相关的，这些限制因素就被称为生产分析中目标函数的约束条件。约束条件对于企业生产计划分析的影响很大，不同约束条件下，决策分析的结论也会有很大区别。比如，就企业在市场活动中所处的状态可以分为三种：第一，能力不足状态，企业的生产能力无法满足市场需求；第二，能力过剩状态，即企业生产能力超过市场需求，产品出现剩余；第三，中间状态，即所谓的收支平衡。企业自身的状态是不确定的，在三种状态之间不断变换。（3）明确产品的单间利润。单间利润不仅要考虑到产品的单间收入，还要考虑生产所消耗的各项成本和费用。综上所述，生产计划决策分析的基本方法是以利润最大化为目标，明确未知变量，确定约束条件，然后建立线性规划模型，最终实现效益最大化的生产计划。
四、应注意的问题
线性规划篇3
一、平面区域的意义
能够根据x，y的约束条件准确画出平面区域是线性规划解题中的重要步骤，它直接关系到能否正确进行下一步，画图时要对一些重要数据进行标注，通过对有关封闭区域的面积计算和相关点的位置判断可进一步强化对平面区域意义的理解.
例1在平面直角坐标系中，不等式组y≥0，
x-2y≥0，
x+y-3≤0表示的区域为m，t≤x≤t+1表示的区域为n，若1
图1解：由于1
【评析】公共部分的面积随着t在所给范围内的变化而变化，可以估计到t的特殊位置，从而可列出关于t的函数关系，此处得到正确的相关区域的面积的表达式是解题的关键.
例2若方程|x-1|=k（x-2a）+a，对任意实数k都有解，求实数a的取值范围.
图2解：设y=|x-1|，如图2，阴影部分为不等式组y≥x-1，
y≥-x+1表示的区域，而y=k（x-2a）+a是恒过点（2a，a）的直线，若不论k为任何实数方程都有解，即直线与阴影部分恒有交点，则必有（2a，a）∈（x，y）|y≥x-1，
y≥-x+1，于是a≥2a-1，
a≥-2a+1.
解之，得113≤a≤1.
【评析】由二元一次不等式组，我们可以画出对应的平面区域，同时如果给出了平面区域，我们也必须能熟练地写出对应的不等式组，只有熟练地掌握了平面区域的意义才能为下一步解题打下坚实的基础.
二、简单的线性规划
给出线性约束条件，求线性目标函数的最值是最基本、最主要的题型，也是各类高考试卷中的主要题型.求解此类问题一般分两步：（1）根据条件画出可行域；（2）将目标函数转化成直线方程形式，利用平移法找到取最大值点和最小值点，然后把坐标代入目标函数求出最值即可.
例3抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）.若点p（x，y）是区域D内的任意一点，求z=x+2y的取值范围.图3
线性规划篇4
关键词：运筹学；线性目标规划；线性规划；人工智能-代数解法
针对运筹学中的线性规划，其求解所用的方式一直是单纯形法。之后，随着线性规划的发展，线性目标规划也得以应用，但它的求解应用的方法依然是修正后的单纯形法，且两种规划都是可以进行相互的转化的。虽然单纯形法的求解是有效的，但当变量非常多时，解算就变得繁琐，求解过程也是非常的费时。为此，探求最有效、最节省时间的方法，则成为运算求解的一大难题。但随着人工智能-代数方法的应用，对较多例题进行了验证，展现了其解法的有效性，与传统解法相比，人工智能-代数方法的求解结果也是一致的。即使这样，面对更多的例题，人工智能-代数方法所面临的应用问题是需要求解条件，即问题的实际背景的明确，这包括经济背景、工程背景、物理背景以及各行各业的实际背景。问题中哪些约束为等式，其可能性则是由这些背景提供的。也就是说，在这些实际背景的帮助下，研究者可以对偏差变量为0的目标规划、附加变量为0的线性规划进行分析。其中的意义就是减少变量的总数，其中包括附加变量、偏差变量、决策变量，之后以代数方法，利用约束方程、最优化条件进行问题的求解。此外，针对单纯形法而言，其在逐次进基和退基的过程中，会将非优、最优的决策变量进、出基底，也就是将为0的变量退出基底，依据约束方程求解，其中在基本解中，包含有最优解，通过反复迭代，一系列的基本解则会在多次的进基和退基中求得，从而求取最优解。当变量总数过多时，此方法就会变得非常的繁琐。
一、性目标规划和线性规划的人工智能-代数解法
线性规划模型：
(1)
(2)
其中，式中是的不同线性函数，。
对（2）中的约束进行分析，对能够促使最优目标的等式进行选取。假设约束有m′个取等式；依据线性规划，n-m′个变量在n个决策变量中为0，为此要对n-m′个为0的决策变量进行确定。n-m′，这就减少了变量数，剩下的m′≠0的决策变量由m′个等式约束方程式对其进行求解。
目标规划的解法与线性规划类似，对偏差变量为零的目标约束进行分析，设m′个约束，依据优化目标的最优条件，对n-m′个为0的决策变量进行确定，最后，通过m′个约束方程式，对m′个不为0的决策变量进行求解。
二、算例
需要a、B、C三种轴件，进行机床的制造，三种轴件的数量以及规格见表1。用长5.5米的圆钢型材料对各类轴件进行下料，如果要进行100台机床的制造，需要的圆钢数量则是多少？解决这一问题时，依据三种轴件的长度，先对长5.5米的圆钢能够节省材料的截料方法进行分析，见表2.
需要对圆钢进行多长的截料，配成轴件进行100台机床的制造，依据表2，所获得的线性优化模型为：
(1)
上列式子中，决策变量为xj，其表示依据第j种截法下料所需的圆钢根数。
分析（2）式应取等式，Z最小，其中决策变量为0的至少有2个。依据表2和（2）式，较省情况为x1=0，x2则为100。当x4为0时，材料的选用也是非常的节省，其x3为100。借助（2）式的第三式取等式，得x5为25。由此得出最优解X*=（0,100,100，0,25）t，最后算出需要225根圆钢。
依照（2）式中的等式约束，其本就是一个连续的线性规划，但由于其数据的特殊性，在一定意义上，也形成了一个特殊的连续解。若是一整数规划，（2）式中的右端项则分别为101、201、404，这样一来，（2）式也无法取等式，可在左端项加上剩余变量（-R1，-R2，-R3），R1，R2，R3为多出的3个变量，可由整数条件求出。依据（2）式中的第一式，取R1=0，x1=0，x2=101；依据第二式，取R2=1，x4=0，x3=101；最后则由第三式，取R3=3，x5=26。
X*=（0,101,101,0,26）t，Z*=228。
结束语
本文在进行分析时，最为关键的两个内容为：1.对表达式为等式的目标约束进行判断，等式约束数设为m′；2.对为0的n-m′个决策变量进行寻找，由m′个线性方程求出m′个决策变量，为0的n-m′的变量在求解之前及求解过程中都能被找出。针对此方法而言，其特点是建立问题的线性规划以及线性目标规划的数学模型之后，通过人工智能，做出关键内容中的2个判断，降低变量数，利用代数法进行求解，以此节省时间和劳力。但单纯形法先对变量进行增加，变量数在之后的多次进基和退基中会逐渐变少，最后利用m个约束方程，对非零变量进行求解，其中包括决策变量、附加变量、偏差变量。这就消耗了大量的时间和劳力，是不可取的。
参考文献：
线性规划篇5
[关键词]线性规划；运筹学；数学方法doi：10.3969/j.issn.1673-0194.2013.10.018
[中图分类号]F224[文献标识码]a[文章编号]1673-0194（2013）10-0034-02
1线性规划在企业中运用的必要性
随着经济全球化的不断发展，企业面临更加激烈的市场竞争。企业必须不断提高盈利水平，增强其获利能力，在生产、销售、新产品研发等一系列过程中只有自己的优势，提高企业效率，降低成本，形成企业的核心竞争力，才能在激烈的竞争中立于不败之地。过去很多企业在生产、运输、市场营销等方面没有利用线性规划进行合理的配置，从而增加了企业的生产成本，使企业的利润不能达到最大化。在竞争日益激烈的今天，如果还按照过去的方式，是难以生存的，所以就有必要利用线性规划的知识对战略计划、生产、销售各个环节进行优化从而降低生产成本，提高企业的效率。
在各类经济活动中，经常遇到这样的问题：在生产条件不变的情况下，如何通过统筹安排，改进生产组织或计划，合理安排人力、物力资源，组织生产过程，使总的经济效益最好。这样的问题常常可以化成或近似地化成所谓的“线性规划”（Linearprogramming，简记为Lp）问题。线性规划是应用分析、量化的方法，对经济管理系统中的人、财、物等有限资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现有效管理。利用线性规划我们可以解决很多问题。如：在不违反一定资源限制下，组织安排生产，获得最好的经济效益（产量最多、利润最大、效用最高）。也可以在满足一定需求条件下，进行合理配置，使成本最小。同时还可以在任务或目标确定后，统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成任务。下面我们用线性规划方法对企业在生产中的具体问题进行探讨。
2线性规划的模型
线性规划是运筹学的一个重要分支，自1947年丹捷格提出了一般线性规划问题求解的方法――单纯形法之后，线性规划在理论上趋向成熟，在实际中日益广泛与深入。特别是在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了。
线性规划问题的一般形式为：
max（min）z=c1x1+c2x2+…+cnxn
s.t.ai1x1+ai2x2+…+ainxn=b，i=1，…，p
ai1xi+ai2x2+…+ainxn≥b，i=p+1，…，m
xj≥0，j=1，…，q
xj（≥，≤）0，j=q+1，…，n
其中xj，j=1，…，n为待定的决策变量，已知的系数组成的矩阵称为约束矩阵。
a=a11a12…a1na21a22am1am2…amn
以前人们在用这个模型求解时计算非常麻烦，而近几十年来，由于电子计算机应用的飞速发展，应用计算机处理线性规划问题使人们求解变得越来越容易了。LinDo软件是解决线性规划问题的有力工具，它可用于解决50000个约束条件，20000个变量的线性规划问题，所以线性规划的具体运用也越来越受管理者的重视了。
3线性规划在企业中的应用
企业在进行制订生产计划、设备使用、材料的使用、配料分配、运输、广告促销几方面运用线性规划都可以使企业得到最优方案。下面从设备利用方面，举例说明如何运用线性规划，使企业得到最优方案。
例：某加工配送中心应客户要求，加工配送甲、乙两种产品，而这2种产品的加工可使用a、B、C三种加工设备。每种设备对2种产品的加工效率不同，怎样合理安排加工任务，使一个工作日内成套（甲乙各生产1件）产品最多。
解：设a加工甲、乙产品的数量为x11，x12；设备B加工甲、乙产品的数量为x21，x22；设备C加工甲、乙产品的数量为x31，x32。从而可得数学模型为：
maxz=x11+x12+x21+x22+x31+x32
■+■=3■+■=3■+■=1
x11+x21+x31-x12-x22-x32=0
x11，x12，x21，x22，x31，x32≥0
运用LinDo软件，求得x11=45，x12=0，x21=40，x22=30，x31=0，x32=55，z=170。
即用a加工甲件，用B加工甲件，加工乙件，用C加工乙件，使产品在一个工作日生产170件（85套）达到最大。
4把线性规划知识运用到企业中的作用和意义
把线性规划的知识运用到企业中去，可以使企业适应市场激烈的竞争，及时、准确、科学的制订生产计划、投资计划、对资源进行合理配置。过去企业在制订计划，调整分配方面很困难，既要考虑生产成本，又要考虑获利水平，人工测算需要很长时间，不易做到机动灵活，运用线性规划并配合计算机进行测算非常简便易行，几分钟就可以拿出最优方案，提高了企业决策的科学性和可靠性。其决策理论是建立在严格的理论基础之上，运用大量基础数据，经严格的数学运算得到的，从而使企业能够在生产的各个环节中优化配置，提高了企业的效率，对企业是大有益处的。
主要参考文献
[1]管梅谷，郑汉鼎.线性规划[m].济南：山东科学技术出版社，1983.
[2]运筹学教材编写组.运筹学[m].北京：清华大学出版社，2005.
线性规划篇6
关键词数学建模非线性规划线性规划
中图分类号：o221.1文献标识码：a
0引言
在日常生活中常常会遇到在一部分在人力、物力以及财力资源等条件下，使得经济效益能够达到最大化的问题，这就是人们所说的最优化问题。非线性规划问题在运筹学中是一个重要分支，它广泛应用在军事、经济、工程等方面。非线性规划分为一个独立的学科门类是在上个世纪50年代开始形成的。大型电子计算机的产生和使用大大地促进了它的发展。
在国际数学研究上，有关非线性规划方面的专门性研究的机构、期刊和书籍就像雨后春笋般的涌现，相关国际学术会议的召开次数也大大地增加。在我国，伴随着计算机的广泛应用，非线性规划问题逐渐引起了许多部门的重视。有关非线性规划理论以及应用需要的学术类交流活动也越来越多，我国已经在这一领域取得了很多研究成果。非线性规划问题已经广泛运用于优化设计、管理科学以及系统控制等领域。
1非线性规划概述
非线性规划的一般形式：
minf（X）
s.t.gi（X）≥0，i=1，2，…，m（1）
hj（X）=0，j=1，2，…，
其中X=（x1，x2，…，xn）t∈Rn，f1，g1，h1是在Rn上的实值函数，简记为f：RnR1，gi：RnR1，hi：RnR1。符号s.t.表示“受约束于”。
可行解是指满足所有约束条件的X。对于一个问题的可行解x*，如果存在x*的一个邻域，使得目标函数x*在处的值f（x*）优于该邻域中的其他可行解处的函数值，则称x*是问题的局部最优解。非线性规划分为如下几种类型：
第一种类型：无约束极值问题minf（x1，x2，…，xn），其中f（x1，x2，…，xn）是Rn上的可微函数。求解极值点的方法是：先求出如下n元非线性方程组
的解，然后对解集进行判定，看看是否是极值点。
第二种类型：具有等式约束的极值问题。
minf（x1，x2，…，xn）
s.t.hj（x1，x2，…，xn）=0，j=1，2，…，（2）
通常使用Lagrange乘子法来进行求解，即把问题转化成为求Lagrange函数
L（x1，x2，…，xn；v1，v2，…，vt）=fj（x1，x2，…，xn）-vjhj（x1，x2，…，xn）的无约束极值问题。
第三种类型：既有等式约束又有不等式约束的一般非线性规划问题（1）的形式。
显然，上述极值问题的求解都能够归结为非线性方程组求解，只有在特殊的情况才能手算出来。计算机的快速发展，使求解大规模最优化问题更加方便，最优化理论和方法基于计算机的进步也得以迅速发展。
2非线性规划模型的创建
数学建模课程是在上个世纪80年代进入我们国大学的，开设数学建模课程，是大学教育特别是大学教育改革的一个重要组成部分。每年举办的全国大学生数学建模竞赛更是吸引了众多的大学生参加，数学建模活动已在各大高校开展起来，不同层次和不同类型的大学生对数学建模的学习都有着极大的热情。数学建模是解决非线性规划问题的重要手段，接下来介绍如何通过建模解决非线性规划问题。
最优化问题所对应的模型具有如下结构：
第一是决策变量，根据考虑的问题选择合适的参数变量x1，x2，…，xn，让他们都选取实数值，一组值就能够构成一个方案。
第二是约束条件，根据变量的限制条件，用不等式或者等式可以表达成
gi（x1，x2，…，xn）≥0，i=1，2，…，m；hi（x1，x2，…，xn）=0，j=1，2，…，.
第三是目标函数，为了能够使得利润最大成本最低，一般引入极大化或者是极小化实值函数f（x1，x2，…，xn）。
因此，最优化问题可解释成决策变量在符合约束条件下进行求解目标函数的最优解。
注意到极大化目标函数f（x1，x2，…，xn）相当于极小化-f（x1，x2，…，xn）。采用向量记法，令x=（x1，x2，…，xn）t，并将约束条件写成集约数形式，即令
S={x|gi（x）≥0，i=1，2，…，m；hj（x）=0，j=1，2，…，}
则最优化问题一般地可表述为如下形式：
minf（x）（下转第75页）（上接第66页）
s.t.x∈S（3）
其中称x=（x1，x2，…，xn）t∈Rn是决策变量，f（x）是目标函数，SRn为约束集或可行域，它是所有可行解即满足约束条件的点的集合。
3非线性规划问题的matLaB程序实现
非线性规划的求解是比较困难的，下面介绍如何通过matLaB来解决非线性规划问题。
matLaB是mathworks公司开发的一款数学软件，是对科学与工程计算类的一种高级语言，它本身具有强大的编程效率。
matLaB现有30多个工具箱，其中的优化工具箱是影响最大，使用广泛的一个，它的主要功能有：求解线性规划和二次规划，非线性函数的最小二乘，求解非线性方程等。
例如：应用matLaB解非线性规划
minf（x）=ex1（4x12+2x22+4x1x2+2x2+1）
s.t.x1+x2=0
1.5+x1x2x1x2≤0
-x1x210≤0
解：先建立m文件fun.m，定义目标函数：
functionf=fun4（x）；
f=exp（x（1））*（4*x（1）^2+2*x（2）^2+4*x（1）*x（2）+2*x（2）+1）；
再建立m文件mycon.m定义非线性约束：
function[g，ceq]=mycon（x）
g=[x（1）+x（2）；1.5+x（1）*x（2）-x（1）-x（2）；-x（1）*x（2）-10]；
主程序youh.m为：
x0=[-1；1]；a=[]；b=[]；aeq=[11]；beq=[0]；vlb=[]；vub=[]；
[x，fval]=fmincon（'fun'，x0，a，b，aeq，beq，vlb，vub，'mycon'）
运算主程序得到最优解为（-1.2250，1.2250），最优目标函数值为1.8951。
4小结
非线性规划在军事、金融、生态工程等方面都有不可取代的作用。关于非线性规划的研究还在进一步发展中。本文主要介绍了非线性规划建模的步骤以及如何借助matLaB进行计算，许多实际问题可以通过matLaB优化工具箱求得最优解。
参考文献
[1]徐翠薇.计算方法引论[m].北京：高等教育出版社，1999.
[2]姜启源，邢文训.大学数学实验[m].北京：清华大学出版社，2005.
线性规划篇7
【关键词】高中数学；线性规划；现状；对策
线性规划是人教版高中数学教科书中的必修内容，也是高考考查的高频知识点.随着策划、管理等最优化问题的高度关注，线性规划对于在特定条件下研究实际生活中的极值问题具有重要的意义.然而，在自己多年的教学实践，学生对于线性规划知识的掌握并不理想，大部分学生对于该部分内容的学习存在着一定障碍.
一、高中数学“线性规划”学习障碍原因分析
线性规划是高中学生初次接触的知识，难免会出现信心缺乏、作图困难等问题.根据前文中线性规划学习障碍归类表，下面进行深入分析.
（一）从心理方面分析
部分学生在初中阶段就已对数学产生畏惧感，一旦遇到步骤烦琐或文字叙述长的题目，就被动地应付，坐等教师讲解多，积极思考主动探索寻求解决的少，久而久之养成缺乏主动解决问题的意识.特别是对于那些抽象难以理解与接受的线性规划问题，学生在平时学习过程中稍微思路缺乏就立即放弃，加之学习动力的匮乏，畏惧和厌烦感在高中线性规划的学习过程中不断加深形成恶性循环.
同时，正确阅读理解题意是依据线性约束条件画出相应可行区域的基础，而在学习线性规划知识时，部分学生很难理解数学命题和概念，不能完全从冗长的文字表述中理解题目所要表达的意义，致使对目标函数的加工和分析只能是纸上谈兵.
例如，x，y满足以下约束条件x+y≥5，x-y+5≤0x≤3，，使得z=x+ay（a>0）取得最小值的最优解有无数个，则a的值是.对于这一线性数学问题，大多数学生根据约束条件画出可行区域后就无从下手，很难理解题目所要表达意义，即只有在斜率一定的情况下，才能使目标函数z=x+ay（a>0）取得最小值，进而考虑在什么情况下目标函数取得最小值的最优解有无数个.
此外，线性规划题型解题是按“画”“作”“求”“答”四个步骤进行的，即根据线性约束条件画出可行域，然后分析目标函数所要表达的意义，最后进行求解做答.由于这种解题思路较为固定，死记硬背题型成了学生惯用的一种学习方法，一味死记硬背就容易在学生思维中形成思维定式，使得学生在面对综合性较强或者含参数等题目时不知所措，难以在线性规划和距离公式之间建立联系，形成知识之间的正向迁移.
值得说明的是，相比其他知识，线性规划与其他章节知识的学习联系不够紧密，学习完线性规划知识后，其他知识的学习又不能起到巩固的作用，这是教学本身的缺陷，这种缺陷的存在也无疑会影响学生学习的积极性和主动性.
（二）从操作障碍成因分析
部分学生在数形结合方面存在着障碍，对于线性约束条件的判断常常出现失误.在坐标轴中表示直线ax+by+c=0时，受思维定式的影响，只有将直线的一般式转化为斜截式才能够准确地表示，无法灵活运用代入法迅速画出直线，而且对于画出的直线方程没有习惯地将其写在直线旁边，一旦遇到多个约束条件时顾此失彼，无法准确及时地分辨出直线所代表的方程.同时，在判断不等式所表示的平面区域到底在直线的哪一侧时常常出现错误，如果判断错误，则之后的任何计算则毫无意义.
同时，在数学建模方面也存在着障碍，不能将题目中的自然语言转化为数学“符号语言”，对于涉及的专业术语缺乏思路，不能正确地抓住题干信息.特别是对于非线性函数，不能理解其目标函数所代表的意义，诸如等函数，无法理解其所代表的几何意义.
二、克服高中生“线性规划”学习障碍的教学策略
（一）增强解题信心
首先，克服心理障碍，教师应淡化线性规划题是难题的意识和观念，从心理上树立高中阶段的线性规划问题点并不难解，只要在学习中认真学习，就一定能够轻松解决，让学生在良好的氛围中学习.其次，增强学生对于线性规划问题的兴趣，在具体教学中，教师从现实生活中的具体实际问题出发，结合教材中的探究、思考等“旁白内容”，设置一些符合学生认知结构的探究性、思考性问题情境，引入数学史的相关内容，最大限度地调动学生对线性规划知识发自内心的学习动机，激发学生学习线性规划问题的兴趣.最后，按照先易后难、由显到隐、难度逐渐加强的原则进行教学，这种教学方式一方面有效克服学生心理上的自卑感，在具体解决过程中增强信心，提高心理上的成就感；另一方面也能防止题目过于简单而使部分学生丧失好奇心，降低学生眼高手低的习惯，培养学生审题的深刻性，确保在学习过程中能学习到新的知识.
（二）提高语言转译能力
阅读题目的过程也是数学信息输入的过程，是对题目进行分析、推理、加工和抽象的认知过程.教师在掌握学生实际的情况下，通过通俗易懂的语言分析线性规划问题的数学特征，让学生明白题目中的要求、信息是什么，全方位审题，特别是对于一些关键性的词语和重要的术语圈出来，确保准确、敏锐的把握问题本质和题目中的所有隐含条件，然后应用数学语言进行表达.
例如，投资生产a产品时，每生产100吨产品需要场地200平方米，需要资金200万元，预计获得利润300万元；投资生产B产品时，每生产100吨产品需要场地100平方米，需要资金300万元，预计获得利润200万元.对于像这样文字描述较长的题目，应及时帮助学生理顺数据关系，通过图表的形式展现这些数量关系，如下表所示.
（三）注重思想方法的传授
授之以鱼不如授之以渔，虽然经过机械化的训练和题海战术，学生解答线性规划题目的能力有所提高，但是学生并没有深刻领会解题过程中所包含的数学思想和数学方法.一旦遇到线性规划综合性较强或者含参数等题目时，不能达到触类旁通、融会贯通的效果.因此，教师应改变线性规划教学过程中轻思想方法重计算结果的教学方法，在讲解基础知识的过程中，注重数学建模、数形结合、转化以及运动、化归等思想方法的传授，达到以不变应万变的线性规划教学效果.
（四）努力克服思维定式
教师过分注重某种题型的解题过程，或者是一味地强调某个知识点的重要性势必会增强学生的思维定式，教师应注重知识问题间的差异教学，在课堂上帮助学生回忆有关直线方程，不等式等的知识，引导学生将这些知识迁移到线性规划的学习中，引导学生关注线性规划的本质.例如，可以转化为直线的斜率进行正向迁移，z=ax+by可以转化为直线的截距进行正向迁移等.
（五）培养严谨的求学态度
以游戏的教学方式无疑会增强学生学习的兴趣，但也面临着“大意失荆州”的尴尬，在线性规划具体过程中，读懂题目要求并清楚解题方法但仍然出现答案错误，公式化简、直线方程转化、不等式求值、目标函数求值常常出现会而不对的现象，学生总是以小测验为由解释会而不对的现象.因此，教师在教学时应该首当其要的端正学生的心态，加强规范化解题的训练和监测，做到认真对待每个解题步骤.同时，在培养学生数学运算能力的基础上重视书写能力的培养，防止因为潦草的书写而误读了解题过程中的数据.
总之，线性规划知识在高中数学教学中至关重要.只要教师在学生学习信心、语言转译能力、求学态度等方面加大研究力度，就一定能够在发展学生数学应用意识的基础上，取得学习线性规划的优异成绩.
【参考文献】
线性规划篇8
滨水景观带、城市轴线景观三方面进行探讨分析，旨在提高我国城市线性景观规划水平。
关键词：城市规划；线性景观规划；绿色通道网络；滨水景观带；城市轴线景观
城市线性景观作为景观廊道的表现形式，具有生态、游憩、文化、教育、经济等功能。其线性特征作为一种“格式塔”给人以连续完整的审美感受，对构筑城市轴线景观具有重要意义；同时，其线性特征将城市中的自然山脉、湖泊、河流及公园绿地串接起来，成为城市与自然的纽带，既可满足动植物迁徙和传播以及生物多样性保护的功能，创造自然、丰富的景观结构，又是城市居民体验自然、游憩观光的好去处。
1、建设绿色通道网络
绿色通道是一种线性的开放空间，包含沿自然廊道（如水岸、河谷、山脊线）而建立，或是由铁轨、道路转化为游憩使用的通道；为行人、自行车通行设立的景观道路或其他路径等。在规划之前，必须制定整体性的规划策略：
1）绿色通道的规划要维持其整体连续性。在城市整体景观结构中，应该将绿色通道作为城市的景观框架，将城市建成区、郊区和农村有机联系在一起，使城乡自然景观融为一体；可依托现有的河流、景观道路以及废弃河道、铁轨的修复连成绿色通道体系。
2）绿色通道的规划要重视多功能的综合，将生态保护、城市防灾、休闲游憩、美学价值等功能综合起来，提供多样性的使用空间。
3）绿色通道的规划要增加其可达性。绿色通道作为重要的休闲空间，应该使其易于到达，考虑外部交通到绿色通道的连通性，使绿色通道交通与周边的交通网相联系，同时将周边的重要开放空间如公园、广场、重要景观节点等都整合进来，形成一个可达性强的整体网络。
4）绿色通道的规划要有一定的规模。绿色通道是一种线性结构，为充分发挥其生态功能，廊道规模在满足最小宽度的基础上越宽越好。据研究，一般来说，河流植被的宽度在30m以上时，就能有效地起到降低温度、提高生境多样性、增加河流中生物食物的供应、控制水土流失与河床沉积，以及有效地过滤污染物的作用；当道路廊道为600m宽时，可满足动、植物迁移和传播以及生物多样性保护的功能；当绿带廊道宽度在600~1200m时，能创造自然化的物种丰富的景观结构。
2、构筑滨水景观带
滨水地带处于水、陆的边缘，其景观信息十分丰富，是显示城市景观特色最重要的地段，直接影响到城市的整体景观。
2.1滨水景观带的规划要注重整体性
不能仅仅把滨水地段作为单一元素孤立地对待，而应该将滨水两侧的土地利用方式、建筑物、街道等各种要素组合起来，共同作为景观整体一起规划。从生态角度出发，将水体、堤岸、滩地、湿地、植被、生物等作为一个整体的生态系统，统一规划和设计。根据景观生态学的原理，从滨水景观固有的属性出发，把滨水两岸作为景观廊道对待，把景观的整体性和连续性放在重要地位；建立完整的滨水绿色廊道，即沿河流两岸控制足够宽度的绿带，在此控制带内严禁修建任何永久性的大体量建筑，并与郊野基质连通，从而保证河流作为生物过程的廊道功能。同时，滨水廊道绿地还应向城市内部渗透，与其它城市绿地构成完整的绿地网络。
2.2滨水景观带的规划要注重视觉美学功能
除了考虑滨水景观各元素间的尺度、比例、线形、形态等最基本的美学标准外，还应该利用滨水地带本身的地形条件（如丘陵）设置景观节点，从高处提供多角度的观景视野；或于平坦地形设置标志性建筑，构筑人工视线焦点。大型建筑应退出公共开放区，保留一定的开敞空间；小型临水建筑可安排在滨水开放区内，但应考虑采用不阻挡视觉的通透材料。滨水地带的建筑应严格控制其高度，保证景观视线的通达；建筑高度从临水向后应具有梯度感，保证后排建筑仍然拥有水面的景观。
2.3滨水景观带的规划要注重生态性
除了视觉美学功能外，还要考虑其自身在生态系统中的功能特点，如防洪排涝、水质净化等问题。规划设计中应最大限度地体现水体的自然属性。自然的河道和滨水带为各种生物创造了适宜的生境，是生物多样性的景观基础，丰富多样的河岸和水际边缘效应是任何其他生境所无法替代的。同时，连续的自然水际景观是各种生物的迁徙廊道。而目前，出于排洪及管理简单化的需要，我国城市滨水景观带的规划设计大都设置防汛墙，将驳岸处理成笔直的线形，造成景观立面的呆板，几乎完全阻隔了城市空间与水的联系。因此，对滨水界面的处理，应恢复河道及滨水地带的自然形态。如国际Swa景观事务所在圣安东尼奥河改造项目中，领导了一支由工程师、水文工作者、生态学者、河流地貌学家、建筑师以及经济学家组成的小组，为这段13.5英里长的城市河道拟订了一个概念性规划和设计导则，这个河道改造计划将于2012年完成，届时它将成为鱼类和野生动植物的栖息地，不但可以提供休闲娱乐的场所，还增强了对洪涝的控制能力。
3、组织城市轴线景观
城市轴线通常是一种在城市中起空间结构驾驭作用的线性空间要素。
3.1道路轴线景观
城市主要道路强调人与车辆的视觉感受，重视街道界面的连续性和开放性，鼓励在建筑本身和其他建筑之间提供更多的公共开放空间，注重空间和建筑形态的控制、展示城市丰富有序的街道景观特色。同时，区分交通性和生活性主、次、支道路，形成满足慢速交通和快速交通不同的视觉感受的需求，强化多角度、多视点、不同视距建筑的街廊景观。在城市主要道路通过山体、建筑、纪念物等形成对景和视觉通廊，可以提高城市认知感，加强其识别性，形成良好的线性空间景观。
3.2传统风貌轴线景观
城市传统风貌轴线景观的形成和发展是一个长期的动态过程，是城市传统文化复兴理念在城市空间及其结构上的体现，与之相关的重要公共建筑则集中反映了城市文明的发展和建筑艺术的成就。因而，建筑风格的定位、建筑形体与城市的关系，都必须和城市轴线的时空维度和整体形态相适应。同时，在规划布局中的轴线，不是被用于突出某一幢建筑物或某一空间，而是通过轴线来连接所有的建筑项目和规划要素并使其形成了完整、统一的城市空间群体。
参考文献:
线性规划篇9
一、求可行域的面积
这一类问题通常是先画出不等式组所表示的平面区域，根据区域的形状来求可行域的面积.若可行域是三角形，可用三角形面积公式求解，若可行域是四边形或更复杂的图形，可用分割法求面积.
二、求目标函数的最值或值域
已知线性约束条件，求目标函数的最值或值域问题，在高考中是最基本的考查题型，一般分为四类：第一类是求线性目标函数的最值或值域；第二类是可转化为求可行域内一点到一定点的距离或距离的平方；第三类是可转化为求可行域内一点与一定点连线的斜率；第四类是可转化为求可行域内一点到一条定直线的距离.
四、与线性规划有关的综合问题
将线性规划问题与其他数学知识进行交汇命题，在近几年的高考试题中，也成为一种时尚，线性规划问题可以与函数和导数、数列、不等式、向量、解析几何等数学知识综合，重点考查函数思想、数形结合思想、转化与化归思想，考查分析问题、解决问题和综合运用数学知识的能力.
五、线性规划应用问题
生产实际中有许多问题可归结为线性规划问题，在近几年的高考试题中，线性规划应用题的考查有选择题和填空题，也有解答题，重点考查目标函数在约束条件下的最优解问题，考查解决实际问题的能力和考查数学建模能力.
例11（2010年广东）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
线性规划篇10
关键词：LinGo软件；集合；非线性规划；最优解
中图分类号：o144文献标识码：a文章编号：1009-3044(2012)10-2419-04
modelingofnonlinearprogrammingandLinGo’sprogrammingandapplication
SanGYang-yang,ZHUwan-hong,DanBing-bing
(engineeringinstituteofengineerCorps.pLaUniv.ofSci.&tech.,nanjing210007,China)
abstract:it’sverydifficultforthefastmodelingandsolutionofthenonlinearprogramming.LinGomodelinglanguagegreatlysimplifiestheprocess.introducetheprogrammingskillsofLinGoandtheSetindetailcombinedwithanonlinearprogrammingproblem.thecalculationresultsshowthattheprogramminglanguageissimple,flexibleandapplicabilitywhenusingLinGotosolvethenonlinearprogrammingproblemscontainedalotofvariablesandconstraints.
Keywords:LinGo;Set;nonlinearprogramming;optimalsolution
对于大型复杂的优化模型，包含变量和约束条件较多，通过手工计算求解这类问题是非常困难的。使用matLaB或C语言等编程计算虽然可行，但一般情况下程序编写繁琐，不仅容易出错，还可能耗费大量的时间和精力。LinGo软件是美国LinDo系统公司（LindoSysteminc.）开发的求解最优化问题的软件包，在求解大型线性、非线性和整数规划问题方面具有编程简单，计算稳定可靠和求解迅速的优势。其内置的建模语言提供了几十个内部函数，能以较少的语句，较直观的方式描述较大规模的优化模型。
1非线性规划类问题及其实例建模
1.1非线性规划类问题求解的一般特点
线性规划问题的目标函数和约束条件是自变量的一次函数，如果在目标函数或约束条件中包含有非线性的函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。由于非线性函数的复杂性，解非线性规划问题要比解线性规划问题困难得多。而且，也不像线性规划有单纯形法等通用方法，且可用于求解的各个方法都有自己特定的适用范围，掌握起来较为困难。
非线性规划问题的一般模型为：minf(x)
s.t.gi(x)≥0，i=1,…,m
hj(x)=0，j=1,…,p
其中，x=（x1,…,xn）属于定义域D,符号min表示求“最小值”，符号s.t.表示“受约束于”。定义域D中满足约束条件的点称为问题的可行解。对于一个可行解x*,如果存在x*的一个邻域，使目标函数在x*处的值f（x*）优于该邻域中如何其他可行解处的函数值，则称x*为问题的局部最优解。如果f（x*）优于一切可行解处的目标函数值。则称x*为问题的整体最优解。实际应用中的非线性规划问题一般要求得到整体最优解。
1.2实例分析与建模
首先对一个求解电厂监控系统的最优化改造方案的问题进行非线性规划的实例分析与数学建模。
指标一系统稳压设施各等级安全概率及其费用
上面各表中数据反映的是某电厂改造其内部的监控系统（主要包括一个主设备间和多条监控管线），在模拟出现爆炸，火灾等恶劣和极端工作条件下，各类安全防护指标所选取的方案、相应的费用和破坏概率。整个系统的改造费用为400万元，求出该系统各种防护指标方案的最优搭配，使系统的总体安全概率最高。
按照上述的思路，共设4种安全防护指标，即n=4。目标函数为：
其中F总=400万元，pij为第i项指标下第j个方案的破坏概率，x为引入的0-1变量，xij=1代表第i项指标下第j个方案为使用，为0则为不使用。C为建设费用。p总为系统整体安全概率。
为便于后面的编程计算，我们首先把第一项指标中的安全防护效能转化为破坏概率。其次，在三，四项指标中各添加一个方案五（重复一遍任意方案即可，这里直接复制四方案）。
指标一系统稳压设施各等级安全概率及其费用
2运用LinGo程序求解非线性规划问题
2.1LinGo程序段的一般组成
LinGo的主要功能是求解大型线性、非线性和整数规划问题，对于这类问题中大量的变量和约束条件，采用“集”（集合）的形式进行管理和参与运算，极大地方便了对复杂规划类问题的建模与求解。理解LinGo建模语言最重要的是理解集“Set”及其属性的概念。
常见的LinGo程序段包含下面三个部分：
1）“集”定义部分:定义“集”及其属性（从“SetS:”到“enDSetS”）。
2）数据输入部分:已知属性赋以初始值（从“Data:”到“enDData”）。
3）目标函数和约束条件：定义了目标函数，约束条件等反映LinGo对数学模型的编译内容。
2.2LinGo程序的编程
2.2.1LinGo程序“集”的定义
“集”是一组相关对象构成的组合，代表模型中的实际事物，是实际问题到数学的抽象。例子中的4项防护指标可以看成一个集合，每项指标都有5项方案，这5项方案又可以看成一个集合。每个“集”在使用之前需要预先给出定义，定义集时要明确三方面的内容，集的名称，集内的成员（也称元素），集的属性（可以看成是与该集合有关的变量和常量，相当于数组）。本例集合定义如下：
scheme/s1..s5/;
measure/m1..m4/;
为了表示数学模型中指标与连队的各项关系，又定义了一个新的集：
links(measure,scheme):c,p,x;
该集以初始集measure和scheme为基础，称为衍生集合（或称派生集合）。c、p和x是该衍生集合的三个属性，分别表示每项指标下的每项方案的建设费用、破坏概率还有决定采用还是不采用的0-1型决策变量，实际运算中，引入（i，j）依次标示这两个纬度里的各项成员。
2.2.2数据的输入
以上集合中属性X是决策变量，是待求未知数，属性c和p都是已知数，LinGo建模语言通过数据初始化部分来实现对已知属性赋以初始值，格式为：
Data:
p=0.066,0.18,0.238,0.385,0.4770.084,0.228,0.376,0.580,0.8310.017,0.076,0.154,0.810,0.8100.000,0.015,0.552,0.826,0.826;c=100,60,40,20,0250,180,120,90,050,42,30,0,050,40,30,0,0;enDData
2.2.3目标函数和约束条件
目标函数表达式：，表达式中p和x即links的两个属性。
如果表达式中参与运算的属性属于同一个集合，则@prod语句中索引（i，j）（或下标）可以省略，假如表达式中参与运算的属性属于不同的集合，则不能省略属性的索引，故前一LinGo语句可写为：max=@prod(links:1-p*x);
约束条件实际上表示了4个不等式，用LinGo语言表示该约束条件，语句为：@for(measure(i):@sum(links(i,j):x(i,j))=1);语句中@for是LinGo提供的内部函数，它的作用是对某个集合的所有成员分别生成一个约束表达式，它有两个参数，以上述语句为例，@for的一个参数为measure，它表示指标或措施，共有4个成员，故应生成4个约束表达式，@for的第二个参数是约束表达式的具体内容，此外再调用@sum函数(使用方法和@prod函数相同)，表示约束表达式的左边是求和，是对集合links的5个成员，并且对表达式X（i，j）中的第二维j求和，即
用LinGo语句表示为：
@sum(links(i,j):c(i,j)*x(i,j))
2.3完整的模型
moDeL:
SetS:
scheme/s1..s5/;
measure/m1..m4/;
links(measure,scheme):c,p,x;
enDSetS
Data:
p=0.066,0.18,0.238,0.385,0.477
0.084,0.228,0.376,0.580,0.831
0.017,0.076,0.154,0.810,0.810
0.000,0.015,0.552,0.826,0.826;
c=100,60,40,20,0
250,180,120,90,0
50,42,30,0,0
50,40,30,0,0;
enDData
max=@prod(links(i,j):1-p(i,j)*x(i,j));
@sum(links(i,j):c(i,j)*x(i,j))
@for(links(i,j):@bin(x(i,j)));
@for(measure(i):@sum(links(i,j):x(i,j))=1);enD
3求解报告分析
点击“求解”按钮，很快得出求解报告，部分求解报告如下：
objectivevalue:0.7272757
……
VariableValueReducedCost
……（省略c，p常量的列举）
X(m1,S1)0.000000-0.4012672e-01X(m1,S2)1.0000000.1487580e-01X(m1,S3)0.0000000.000000
X(m1,S4)0.0000000.7858797e-01X(m1,S5)0.0000000.1171758
……（省略指标2、3、4的求解结果）
以指标一为例，x12求得等于1，其它三项为0，说明在最优方案中，指标一系统稳压设施采用方案2，其它三项若使用达不到总体的这个最优结果，故不使用。同理，x21，x31，x42为1，即分别对应系统结构抗力措施采取方案1，防震隔振措施采取方案1，屏蔽防护措施采取方案2时，该监控系统可得到最大的安全防护概率0.727%。
4结束语
通过对这个非线性规划类问题的建模求解，体现了运用LinGo软件求解非线性规划问题的三个优点：一是工程实际中涉及到的运筹分析往往是包含大小多个不同的系统，LinGo软件的编程语言可以简明高效的表达其中的各类数学关系，定义部分也较为简单直观。“集”在建模的过程中简化了运算关系；二是LinGo软件提供了大量的内部函数，可以简单有效地表达目标函数以及约束条件，如求和表达式，若用直接输入的方式，将有200个nij和200个mij相乘再相加，需要输出长长一大窜，不便于输入和修改，提供的@sum，@prod则大大简化了编程输入；三是符合LinGo的“集”和其它部分编程的语法规定的表达式都可以进行计算，没有线性规划和非线性规划的具体区别。而如果用手工计算，两者对应的完全是不同的求解方法，非线性问题的解决也相当复杂，一般人较难掌握。
参考文献：
[1]谢金星,薛毅.优化建模与LinGo/LinDo软件[m].北京:清华大学出版社,2005.
[2]袁新生,邵大宏,郁时炼.LinGo和excel在数学建模中的应用[m].北京:科学出版社,2007.
[3]甘应爱,田丰,李梅生.运筹学[m].北京:清华大学出版社,2005.