倒数的认识教学设计篇1
“倒数的认识”是分数乘法单元的最后一节，它既是分数乘法计算的后继内容，又是学习分数除法的先决条件，具有承上启下的作用。这部分内容主要包括两部分知识：一是理解倒数的意义；二是掌握求一个数的倒数的方法。
教学过程：
一、忆“数”引新，揭题认标
师：同学们，我们每天都要和一个老朋友打交道，它就是“数”（板书：数）。大家回忆一下，我们都认识哪些数？
生：整数、小数和分数。
师：你们能分别举些例子吗？
（学生随意地说数，教师有选择地进行板书）
师：今天我们要学习一个新的知识――倒数。它和我们以前认识的这些数有什么不同？什么是倒数？怎么求一个数的倒数？
板书：不同？是什么？怎么求？
【设计意图】以“数”为引子，引导学生回忆以前认识的数，作用有两点：一是便于和倒数作比较；二是可作为求各种类型的倒数的素材。随后一连抛出三个问题：倒数与这些数有什么不同？什么是倒数？怎么求一个数的倒数？清晰到位的学习目标的呈现，使学生产生积极的学习心向。
二、自主学习，建构新知
师：让我们带着这3个问题展开自学，看一下学习单。
学习单
认真阅读教材，思考下列问题：
1.圈一圈。仔细读一读倒数的意义。你觉得哪个词特别重要？把它圈出来。
2.说一说。和互为倒数，还可以怎么说？
3.想一想。观察例题中互为倒数的两个数，你有什么发现？
4.写一写。试着写出和的倒数。
学生围绕学习单自主学习。
师：下面老师检查一下大家自学的情况。出示：
师：你同意他的说法吗？
生：他说的不对，必须乘积是1的两个数才互为倒数。
教师相机在“乘积”下面加着重号，同时板书：（）×（）=1
师：听了大家的建议，他改了一下，出示：
因为×=1，所以和互为倒数。
师：现在对吗？
生：对了！
师：和互为倒数，这句话怎么理解？
生：的倒数是，的倒数是。
师：哦！这就像我和你互为朋友，还可以怎么说？
生：我是你的朋友，你是我的朋友。
师：对！都表示一种相互之间的关系。（板书：关系）
师：下面我们来探讨“怎么求一个分数的倒数？”看一个具体的例子：的倒数是多少？
生：。
师：我们一起来验证一下。和的乘积是不是1？
老师发现有同学中间用“=”连接，你们觉得对吗？
生：不可以，是个真分数，是个假分数，怎么可能相等呢？
师：对！为了方便起见，我们可以用“”表示的倒数是。
师：的倒数是多少？
生（齐）：。
师：好！现在老师给大家一组数，你能很快说出它们的倒数吗？
（学生开火车口答）
师：说得这么快，有窍门吗？
生：太简单了，只要把分子、分母调换一下位置。
【设计意图】学习单主要围绕两个方面进行设计：一是倒数意义的理解；二是通过观察，发现求一个分数的倒数的方法。自学后的交流引导学生更进一步、更深层次地探讨，明确两个数互为倒数的先决条件必须是“乘积是1”，再者理解“互为”倒数的两个数是相互依存的关系，使学生对倒数意义的理解更为清晰、明朗。
三、共同探究，深化认知
1.研究整数、小数的倒数。
师：好！真分数和假分数已经研究了，那整数、小数，它们的倒数怎么求呢？
（教师在黑板上从学生举的例题中分别挑一个数：10、0.2）
师：先独立思考，怎么求这两个数的倒数？
（学生独立研究）
师：下面小组里再商量一下，还可以再举一些例子，验证你们的想法。
（小组内交流想法）
师：哪个小组来汇报？
生1：我们组研究了整数，想到了两种方法。我来说第一种：10=，的倒数是。
师：能把新知转化成我们刚刚研究过的分数的形式，再去思考，很会学习！
生2：我们还想到了1÷10=。
师：大家能看明白吗？
生3：我知道，因为要求10的倒数，就想10×（）=1，即用1÷10=。
师：学习数学，就要善于从不同的角度去思考，你们小组很棒！
师：接下去哪组来汇报小数？
生1：我们组认为小数可以转化成分数，0.2=，的倒数是5。
生2：太麻烦了，可以直接用1÷0.2=5。
师：大家同意吗？
生：同意。
师：那我再给大家一个数：0.3，试着求它的倒数。
（生一致都用转化成分数的方法）
师：咦？怎么都不用第二种方法啦？
生：因为1除以0.3，除不尽。
师：看来这种方法有局限性，所以我们要学会灵活运用各种方法。
【设计意图】考虑到本课内容相对简单，同时为了满足不同层次学生的需要，把求倒数的范围从“分数”延伸至“整数、小数”，以独立思考与合作交流相结合，不断扩展认知，深化认识。
2.及时练习中探讨1和0的倒数。
师：好！掌握了方法，咱们来看一组数：250.910
（部分学生开始埋头写）
师：别急着动笔，咱们先来说。说说你最喜欢求哪个数的倒数，最不喜欢求哪个数的倒数。
生1：我最喜欢求的倒数，它的倒数就是。
生2：我最喜欢求1的倒数，它的倒数是1。
师：哦？你是怎么想的？
生2：因为1×1=1，所以1的倒数就是1。
（教师相机板书）
生3：我不喜欢求0的倒数，感觉好像没有。
生4：我觉得0的倒数还是0。
师：0到底有没有倒数呢？你有办法证明你的结论吗？
（思考片刻后……）
生1：因为0和任何数相乘都得0，不可能等于1。所以0没有倒数。
师：从倒数的意义去思考，很有说服力。
生2：我认为0是整数，所以0=，的倒数是，分母为0的时候，没有意义。
师：用求倒数的方法也证明了0没有倒数。
（教师相机板书）
【设计意图】求1和0的倒数，没有刻意安排，而是巧妙地穿插在轻松的练习中，学生在自主选择时，发现1的倒数就是1，而对0是否有倒数产生疑惑，在此基础上组织学生探讨，顺应了学生的学习需要，可谓水到渠成。
3.回顾反思，交流总结。
师：学到这儿，咱们回头看看学习和研究的过程，一开始的三个问题，心中都有答案了吗？同桌互相说说。
师：找到答案了吗？还有疑问吗？
（学生交流分享）
【设计意图】此环节很好地呼应了一开始提出的三个问题，通过回顾，不仅梳理了知识，完善了认知，同时培养了学生的元认知意识，也使学生体验到数学学习的成功感。
四、巩固练习，拓展延伸
1.将互为倒数的两个数用线连起来。
100
84
0.25
2.我来当小法官。
（1）a和b互为倒数，所以a×b=1。（）
（2）因为×=1，所以是倒数，也是倒数。
（）
（3）一个数的倒数总比这个数小。（）
（4）9的倒数是。（）
（5）0.49的倒数是0.94。（）
3.先观察下面每组数有什么共同特点，再看看它们的倒数有什么共同点。
（1）
（2）
（3）4915
（4）
引导学生发现规律：
（1）真分数的倒数都是大于1的假分数。
（2）大于1的假分数的倒数都是真分数。
（3）几分之一的倒数都是整数。
（4）非0自然数的倒数都是几分之一。
4.拓展延伸。
师：其实倒数的一些特点，还可以通过图像清楚地表示出来。
如果用列所在的位置表示原来的数，行所在的位置表示它的倒数。我们取一些特殊的点。把这些点连成一条线，就形成了这样一个倒数的图像。
师：仔细看看，从图中你能什么发现？
生：我发现当一个数越来越大，它的倒数就越来越小。
师：那反过来说呢？
生：当一个数越来越小，它的倒数就越来越大。
师：想象一下，这时候会形成怎样的图像？
（学生用手势表示图像的大致走势）
（出示另外半段图像）
师：和你想的一样吗？
生：一样。
师：继续看，你能从图像上读出“0没有倒数”吗？
生1：倒数的图像没有经过0这个点。
生2：我看到围成的每个小长方形的面积都是1，如果有一条边是0的话，就不可能组成长方形了。
倒数的认识教学设计篇2
《倒数的认识》是在学生掌握了分数乘法的基础上教学的。接下来是为大家带来的数学倒数的认识教学反思，望大家喜欢。
数学倒数的认识教学反思范文一“倒数的认识”是一节概念教学课，这部分内容是在学习了分数乘法的基础上进行教学的。理解倒数的意义，会求一个数的倒数是学生学习分数除法的前提。学生只有学好这部分知识，才能更好地掌握后面的分数除法的计算和应用题。
一、课前的思考与预设
针对本课内容，看似简单，实质内涵非常丰富的特点，结合本班学生大多数基础薄弱的现状。认真思考了本节课中教学目标和重、难点。力争能让学生听的清楚，练的活泼，学的轻松。所以课前思考时从以下几个方面入手。
1、本课的知识点
本课的学习内容是“倒数的认识”即对倒数的认知与识别。如何能够让学生很清晰的明白倒数的意义呢?以及如何找准一个数的倒数呢?
2、本课的关键点
《小学数学新课程标准》中指出既要关注学生的学习结果，又要关注学生的学习过程。对倒数的意义教学，进行了仔细的剖析，把意义分为几个部分：“乘积是1”，“两个数”，“互为倒数”这三个部分，看起来简单，但是每个部分再仔细推敲，就发现“怎么才能得到1;几个数，是几个什么样的数;“互为”如何理解呢?，在生活中有类似的思路可以迁移的事物吗?这些方面对学生清楚理解倒数的意义非常重要。
3、本课的着力点
基于对关键点的认真思考，发现“互为”一词比另两个关键点更难理解，难说的清楚。因此，必须在这个方面需要花功夫，下力气，因为理解这一关键点是学生掌握倒数意义的标志，也是帮助学生能识别“倒数”这一概念的方法之一。
4、本课的深化点(预设)
基于对倒数的意义的思考，发现定义中的“两个数”这一关键点的外延非常丰富，两个怎样的数呢?能不能都是整数?能不能都是分数?能不能都是小数?……有没有特殊的数呢?比如整数都有倒数吗?小数都有倒数吗?分数都有倒数吗?因为整数中有0、1这样特殊的数，还有负整数。小数中有有限小数、无限小数、无限不循环小数。它们有没有倒数这样的情况课堂中学生会出现这些疑问吗?出现了如何处理呢。如果不出现又如何处理呢。
二、课堂的实施与体会
1、创设情景导入新课
在课的导入部分，由一些有趣的文字引出本节课所要探究的问题----倒数，从形象直观上感受颠倒位置，既激发了学生的探究兴趣，为学生学习新知识做了充分的准备，为学生较好理解倒数的意义做了铺垫。
2、合作探究学习
变例题教学为学生自学课本，找到倒数的意义，并与学生一起剖析，发现求一个数的倒数的方法，然后通过举例，检查学生的掌握情况，小组合作讨论：0和1的倒数问题，再总结出求一个数的倒数的方法。
3、练习形式多样
充分利用教材的练习同时，我还适当地补充了练习的内容，使学生在练习中巩固，在练习中提高。比如设计的“每人出题同桌互说”，让学生不仅在课堂上学，也在课堂上用，做到真正掌握。
三、课后思考与感悟
通过教学，我感受到教师在教学中应相信学生的能力，并积极成为学生学习的合作者、帮助者和促进者，教学中处理好扶与放的关系。
1、给学生独立思考的时间;
相信学生能具有独立思考的能力，教学中每一个问题的提出，要使学生不是坐等听别人讲，而是能养成先自己积极思考的习惯。
2、给学生合作学习的机会;
当学生有困惑时，教师可以充分发挥学生集体智慧，引导学生小组合作、互相学习、互相交流，在合作中交流、在合作中提高、在合作中解决困惑。
在教学中，我对于探求“0和1有没有倒数”环节，充分发挥合作交流的作用，群策群力解决问题。为深入浅出的理解“互为”，我举例“互为同桌”，“互为朋友”，让学生觉得“互为”就在身边，对于理解关键点，就能引起共鸣。
在练习中，紧紧围绕关键点设计了三条判断练习，让学生在练习中明白成为倒数的条件，缺一不可。
3、存在的困惑与不足
通过本节课的教学，我发现：大部分学生能够理解倒数的意义，掌握求一个数的倒数的方法，但有少数学生对于倒数的认识，仅仅是停留在是不是分子、分母颠倒这一表面形式上，忽略了两个数的乘积为1这一本质条件，于是他们错误的认为小数和带分数是没有倒数的。后来，虽然大部分学生通过简单的交流讨论，明白了小数和带分数也是有倒数的，但是在找倒数时还是出现了0.5的倒数是5.0,1的倒数是1错误的情况。
面对这样的情况，我感觉有些困惑，为什么教材仅在整数和真、假分数范围内教学倒数呢?后面分数除法的计算方面也涉及到小数和带分数的倒数问题，我们在实际教学中是否需要补上相关的内容呢?
数学倒数的认识教学反思范文二《倒数的认识》是在学生掌握了分数乘法的基础上教学的。在这节课中，我抓住了两大主要内容展开教学：1、学习理解倒数的意义。2、学习求一个数的倒数的方法。我以玩文字游戏导入新课，吸引学生的注意力，同时给学生灌输“倒”的想法，把游戏的现象融入到数学当中。在理解倒数的意义时，让学生抓住关键的词语“乘积、互为”来理解，并强调倒数不是孤立的，而是对于两个数来说的。有了文字游戏的导入，学生观察到了互为倒数的两个数分子、分母的位置发生了倒换了，对求真分数和假分数的倒数容易掌握了，因而课堂的氛围很浓，积极踊跃回答问题的同学很多。但对自然数的倒数以及小数、带分数的倒数，大部分学生的思维一下子还转不过弯了，只有极少数的学生能够说出方法。对于特殊的数1和0，学生基本上能够知道他们的倒数。
这节课需要改进的地方是：求一个数的倒数还有另外一个方法就是一个数乘以另一个数，乘积是1，那另一个数就是这个数的倒数。如5×()=1，括号里的数就是5的倒数。这个方法在这节课中，我没有明显强调出来，还不能让学生真正去理解倒数的意义。因此，知识与技能方面的目标还不能完成达到。
数学倒数的认识教学反思范文三倒数的认识这部分内容是在分数乘法的基础上进行教学的。学习倒数主要是为后面学习分数除法作准备的。因为一个数除以一个分数的计算方法是归结为乘这个分数的倒数。所以学好这部分内容对之后学习分数除法是至关重要的。由于我是六年级数学组第一单元的把关教师，本课又是我的单元课，所以在课前，看了不少关于这课的教学设计，觉得是五花八门，各有所长，最终根据我班学生的学习情况，设计了教学方案，取得了不错的教学效果，主要表现在以下几点：
一、特色引入，直奔主题。
在本课的引入中，我通过谈话让学生了解对比相互的反义词及位置交换，再通过让男女学生计算小黑板不同的两组乘法算式，观察积的特点与算式中两个因数的特点，直接对倒数形成了初步的认识，更明白了只要调换分子与分母的位置就会得到一个新的分数。然后让学生对具有这样特点的两个分数起名，学生不约而同的叫它们倒数。为了使学生深入了解倒数的意义，我引导学生举了大量分数的例子，并通过观察、计算等方法使学生明确“互为倒数的两个数的乘积是1”、“倒数的两个数只是把分子和分母的位置进行调换”、更让我高兴的是学生能注意到“倒数是相互依存的”。抓住学生的这一发现，我引导他们很快就总结出了倒数的概念——乘积是1的两个数叫做互为倒数。在强调重点时，学生发现在数学上还有像倒数这样的情况，如约数和倍数，倒数也是相互依存的。
二、让学生在碰撞中体验到成功的快乐。
著名教育家苏霍姆林斯基说过：“在人的内心深处，都有一种根深蒂固的需要，那就是希望自己是一个发现者和探索者。”而在儿童的心理，这种需求特别强烈。为了符合学生的这一心理特点，我在教学求一个数的倒数的方法上让学生以生问生答的形式进行，在我的鼓励下，学生开始是提出整数、真分数、假分数，接着想到带分数、小数，进一步想到两个特例1和0，面对特殊的0和1这两个数时，学生们出现了小小的“争执”。有人认为：“0和1有倒数。”有人认为：“0和1没有倒数。”对于学生的“争执”我没有直接介入，而是引导他们互相说说自己的理由，在他们的交流中，学生们达成了一致的认识：0没有倒数，1的倒数是它本身。并且在说明理由时，学生还认为“0不能做分母，所以0没有倒数”，“0乘任何数都得0,不可能得到1”这两个理由，拓展了我所提供给学生的知识内容，学生在深入思考中得出结论，这就是学生学习的成果。我觉得，这样做不仅增添了课堂活力，而且还让学生经历了探索的过程，解决了学生的困惑，更让学生体会到了成功的快乐。
倒数的认识教学设计篇3
1.研究对象研究选取华中师范大学通选“教育技术学研究方法”课的58名2007级本科生和53名2009级本科生作为研究对象，其专业背景包括：中文、心理、地理、物理、英语、美术、数学、生物和音乐等。2.研究方法首先，采用问卷调查法，收集课程前后测数据并使用统计工具进行分析，以探究电子双板环境下“颠倒课堂”教学模式对学习者研究能力和学习态度的影响。其次，通过对比研究对象的期末成绩来分析该模式对学习者学习成绩的影响。最后，利用文本内容分析法，研究学习者对该教学模式的看法并得出结论。3.电子双板环境下“颠倒课堂”教学模式的设计研究构建了基于电子双板环境的“颠倒课堂”教学模式（如图1所示）。它主要由课前自主学习、课内探究学习和课后巩固学习三部分组成。其中，网络学习平台和电子双板环境下的pGp教学平台是“颠倒课堂”学习环境创设的重要支撑。（1）基于网络平台的课前自主学习设计基于网络平台的课前自主学习主要分为学案导学、理论学习和互动交流三个主要模块。学习者在课前通过“教育技术学研究方法”专题学习网站自主完成学案填写、重点知识学习和互动交流等活动。学案导学模块。教师根据每一章节的主要内容和教学目标，设计科学的学习方案（即学案），并将其上传到“教育技术学研究方法”专题学习网站，作为学习者自主学习的向导，并用以明确学习者的章节学习内容、活动和目标。理论学习模块。该模块给学习者提供教学视频、教学课件、经典案例和其他资源。其中比较典型的是将部分难以理解的操作性知识录制成交互式微视频，以帮助学习者自主学习。互动交流模块。互动交流模块为学习者提供了交互平台。当学习者在学习过程中遇到问题时，可以通过同步或异步的方式与同学或老师交流。它不仅促进了生生间、师生间知识和情感的交流，而且有助于老师及时了解学习者对每个知识点的掌握程度，总结相关章节的疑难知识点，在课堂上集中讲解。（2）基于pGp平台的课堂教学设计建构主义者认为，知识的获得是学习者在一定的情境下通过人际协作活动实现意义建构的过程。基于pGp平台的课堂教学，以建构主义理论为指导，以学习活动为中心，帮助学习者实现知识的内化，主要包括问题驱动模块和任务驱动模块两部分。问题驱动模块设计。教师首先根据学生自主学习的情况，讲述相关章节的重要知识点和易混易错点；然后，结合主要知识点设置相关测试问题，利用电子双板呈现给学生。学生通过应答器（Clicker）发送答案给交互式终端，pGp平台对答案数据进行统计分析，即时呈现应答结果的分布图（如图2所示）。教师根据学生的应答情况来改进教学策略，提高教学效率。任务驱动模块设计。教师首先根据学生自主学习的情况，选择性地讲解知识点；然后，依据所讲授的知识，采用项目或活动驱动的方式进行教学，为学习者创设学习情境，呈现学习任务。学生可以通过自主探究或小组协作的方式完成任务，并进行个人或小组成果展示（如图3所示）。最后，小组成员根据老师和同学的评价完善其研究方案。（3）基于网络平台的课后学习评测设计教师基于每一章节的教学目标，设计科学的学习评测试题（如图4所示），用于检测学习者在颠倒课堂的教学模式下，对知识点的掌握程度及灵活应用能力。4.教学模式的实施为了保证研究数据的客观性，研究按照如下流程进行组织和开展。第一，对2009级通选“教育技术学研究方法”课的本科生进行课程前测，并在课程结束的时候，对其进行后测。第二，采用电子双板环境下的“颠倒课堂”教学模式组织教学。首先，让学习者在课前通过“教育技术学研究方法”专题学习网站自主观看教学视频和ppt等教学资源，完成学案并基于遇到的问题在学习论坛模块展开讨论。然后，教师借助pGp平台开展课堂教学，主要解答学习者在学习过程中的困惑，并为学习者设计问题或创设任务情景，驱动其以个人或小组为单位进行探究，最终通过解决问题或完成任务来实现知识的内化，进行课堂交流与分享。最后，学习者完成相应章节的学习评测，实现知识的升华。为了更好地体现该模式的教学优势，本研究以“教育技术学研究方法”第三章——调查研究法中调查问卷的设计为例，将电子双板环境下的“颠倒课堂”与传统课堂的教学实施过程进行了比较，如表1所示。
二、研究效果评价与分析
1.数据采集与整理研究数据主要包括：2007级和2009级本科生的期末成绩、2009级本科生的课程前后测数据和期末试卷。对收集到的数据进行整理，并利用两独立样本t检验、频数分析和内容分析等方法来分析与评价。2.教学效果评价（1）学习者学习态度分析基于课程的前后测问卷，分析电子双板环境下“颠倒课堂”教学模式对学习者态度的影响，研究结果如表2所示①。从表2可知，课程后测中学习者的态度均值普遍高于课程前测，说明电子双板环境下的“颠倒课堂”教学模式对学习者的态度具有一定的影响，但差异不显著，其差异性检验值也说明了这一点。但是在学习评测的自主性方面，后测的结果明显高于前测，说明该模式在改善学习者的自主学习态度方面作用比较大。（2）学习者的学习成绩分析研究抽取通选“教育技术学研究方法”课的58名2007级本科生的期末成绩作为对照组，53名2009级本科生的期末成绩作为实验组，通过其最高分、最低分、平均分、各个分数段人数及差异性检验值的对比来分析电子双板环境下的“颠倒课堂”对学习者学习成绩的影响，研究结果如图5和表3所示。由图5可知，2009级本科生的最高分为96分，最低分为66分，平均分为81.36分，均高于2007级本科生；并且90分以上有7人，而2007级本科生的成绩大都集中在80-89分数段。但从整体上来看，两组学习者的成绩都在60分以上，并且大都集中在70-89分之间，成绩分布相对均衡。从表3可知，2009级本科生学习成绩的均值高于2007级本科生，并且由于差异性检验Sig.值为0.001，明显低于显著性水平0.05，所以，采用电子双板环境下“颠倒课堂”教学模式的学习者成绩与采用传统教学模式的学习者成绩具有显著性差异。但2009级本科生学习成绩的标准差较大，说明采用电子双板环境下的“颠倒课堂”教学模式的学习者成绩分布离散度高于采用传统教学模式的学习者，也从另一方面说明了电子双板环境下的“颠倒课堂”对不同层次的学习者的影响存在差异。（3）学习者的研究能力分析首先，研究者通过对2009级本科生的期末试卷进行内容分析，发现有75%的学习者认为通过该门课程的学习，有了很大的收获，并且其中有一半学生认为其研究能力得到了很大的提高。如：“我可以运用本门课程的知识去解决一些实际的问题和做一些课题的研究”；“提高了应用知识解决问题的能力”；“通过该课程的学习，我学会了用SpSS软件进行数据的统计与分析”；“可通过一些研究方法对自己所需研究的问题做具有针对性、合理性、科学性的研究方案”。另外，对前后测的问卷进行分析的结果如表4所示。从表4可知，学习者在课程学习前后，研究能力普遍有所提高，尤其是在研究方案、研究报告和论文撰写方面表现更为显著，其差异性检验的Sig.值明显低于显著性水平0.05。所以，电子双板环境下的“颠倒课堂”教学模式对学习者研究能力产生了显著的影响。3.学习者反馈分析研究者收集2009级本科生的53份期末试卷，通过内容分析法对试卷的最后一道主观题（本门课程采用电子双板环境下的“颠倒课堂”教学模式，请对该教学方式进行评述，举例说明你在课程学习中的收获或困惑，同时提出合理化的教学改进建议）的应答文本进行分析，研究结果如图6所示。从图6得知，有83%的学生认为该教学模式比较新颖，能够有效激发学习者的学习兴趣，提高学习效率；有72%的学生认为基于电子双板的课堂教学环境更利于知识的传授和活动的开展，促进教学互动；有60%的学生认为学案导学、交互式微视频、课堂实录和学习支持服务等为自主学习的开展提供了极大的便利；有62%的学生认为形式多样的小组活动有助于其协作能力和语言表达能力的提高，并且愿意积极参与；有28%的学生认为利用Clicker进行及时反馈，能够较真实地了解学习者对知识的掌握情况，有助于教师及时调整教学策略。当然，也有36%的学生认为课前预习占用大量的时间，课堂活动的开展由于学习观念等因素的影响不能有效进行。
三、研究结论与建议
1.研究结论基于电子双板环境的“颠倒课堂”教学模式是一种新的教学尝试，其借助电子双板和网络学习平台的教学优势，优化教学过程，促进教学改革与创新。通过研究分析，笔者认为该模式具有以下几方面的优势：第一，网络学习平台使学习方式更加灵活，有助于学习者的个性化学习。集学案、教学视频、交互式微视频、拓展资源和互动交流等模块为一体的网络学习平台为学习者提供自由的学习空间和充足的学习资源，让学习者的学习和交流可以不再受时间和空间的限制，既能支持学习者对概念性知识的自主学习，又能帮助缺课的学习者补课。第二，电子双板环境促进师生交互，有助于学习者的知识迁移。以电子双板为支撑的课堂教学环境，为教师的问题答疑、任务呈现和学习者的活动开展、知识内化提供了重要的技术支持。它不仅可以通过应答反馈功能帮助教师及时了解学习者的学习情况，而且有助于学习者的小组协作、成果汇报与交流。第三，基于电子双板环境的“颠倒课堂”教学模式能够优化教学。研究表明，基于电子双板环境的“颠倒课堂”教学模式能够有效提高学习者的学习成绩，改善学习者的学习态度，提高学习者的研究能力、小组协作能力和语言表达能力等。2.研究建议要将基于电子双板环境的“颠倒课堂”教学模式广泛应用于教学中，建议注意以下几个方面：第一，完善信息素养培训机制，提高教师的信息技术能力。在基于电子双板环境的“颠倒课堂”教学中，教师需要具有较强的信息技术能力，能够设计合理的学案、制作科学的课件及视频资源，从而为学生提供优质的课外自学资源。因此完善信息素养培训机制，加强教师信息技术能力的培训是实施基于电子双板环境“颠倒课堂”教学模式的前提条件。第二，加强电子双板的使用培训，提升师生开展课堂活动的能力。师生对电子双板的熟悉程度，直接影响课堂活动的开展效果。通过电子双板的使用培训，确保教师能够熟练使用电子双板组织课堂教学，学生能够灵活应用电子双板进行小组讨论、汇报等活动，是基于电子双板环境“颠倒课堂”顺利实施的保证。第三，激发学习者的学习动机，培养学习者的自主学习和小组协作能力。教师需要采取合适的教学策略，激发学习者的学习兴趣，以科学的学案为指导，采用多样化的学习资源呈现方式和评价量规引导学生进行课前自主学习，选择合适的学习内容，设计有趣的研究项目或学习活动，鼓励学习者积极参与小组讨论。
四、结束语
倒数的认识教学设计篇4
问在知识关键处
纵观小学数学课堂教学，不论采用哪种教学方式、运用何种教学模式、选择什么样的教学策略，都是在不断地提出问题、分析问题、解决问题，从而认识并解决更高层次的问题。显然，问题在课堂教学中占据着十分重要的地位。因此，教师要精心设计教学问题，提高问题的有效性，从而提高课堂教学效率。
在知识关键处设计问题，首先需要教师读懂教材，在备课的过程中熟悉教学内容，深度解读教材，深入挖掘教材，将学情与知识进行整合，制定教学目标。在此基础上，问题就要问在点子上，问在关键处。在知识关键处精心设计问题能引起学生的注意，突出重点，分散难点，帮助学生扫除学习的障碍。一是在知识生长点处提问，要从一个知识点延伸出更多的知识来，为新知识找准生长点，诱发学生从已有知识向新知方向思考。二是在知识重点处提问，引导学生回想相关的知识，加深学生对重点知识的记忆，逐步培养学生学会寻找难点。三是在知识联系处提问，用联系的观点把新知识纳入到学生已有的知识网络中，以新知识联想旧知识，并根据已有的知识和学习水平，自己去自学、去发现、去再创造。四是在知识的难点处提问。难点是学生认知上的障碍，不同学生的学习难点也会有所不同，教师要有意识地去了解每一位学生，有针对性地反复引导，学生才能有所突破。例如，教学“异分母分数加减法”时，引入1/2+1/3后，教师可以提问：“这两个分数的分母相同吗？分母不同的分数能不能直接相加？为什么？”这样设计的提问问在了知识的关键处，有助于学生理解为什么要通分的算理，为学生的思维指明了方向。这比“1/2与1/3这两个分数有什么特点”的提问要问的明确具体。
问在认知偏差处
认知偏差处是指学生似懂非懂、似明非明的地方。在认识偏差处要及时追问。如果说提问是给学生思考的方向，那么追问就是思维的导火索，一触即发。在课堂教学中，教师应及时追问“你是怎么想的”“这是什么意思”“是这样的意思吗”等，通过追问了解学生的思维状态，把握学生的思维方向，还要在追问的过程中，抓住生成的资源，有针对性地提出思考问题，引导学生进行反思。这样不仅使认知偏差得以澄清，获得基本的数学理解，而且能够触动学生的思维神经，促使其在追问的反思过程中获得思维的发展、延伸。
例如，教学“倒数”时，有学生会自然认为“倒数就是倒过来的数”，学生凭借自己的认知经验，用生活化的语言表达了对“倒数”这一概念的初步认知。可以说这是模糊的，也是不全面的，更是不准确的，但对于学生来说，这又是实在的，是他们认识的起点。教学过程其实就是要激活、重组、积累、提升学生的已有经验。教师可在学生认知的偏差处追问，让学生将模糊的经验变得清晰、紊乱的经验变得有序、错误的经验变得有价值起来。面对学生“倒数就是倒过来的数”的回答，教师不应简单地予以否定与纠正，可以在追问中让学生自己反思，如逐步抛出问题“0.7、0.35这样的小数有倒数吗？”“5、19这样的整数有倒数吗？”学生在回答这两个问题的过程中，感悟到原先认识的不准确和不全面，产生寻找正确定义的渴望。
问在思维受阻处
教师要善于洞悉学生的数学思维，在学生思维临界状态下适时点拨，促使学生产生“顿悟”。提问的关键在于激发学生的思维，进行思维的点拨。学生在积极学习、认真思考中，当思维遇到障碍和矛盾而不能进一步进行深层次的思考时，教师应在关键处有意识地引导和提问，及时提供科学的思维方法，为学生指明思维的方向，打破思维定式，开拓思路，突破难点，让学生在更高层次上继续思考。在学习中，学生往往会遇到很多“形似质异”的知识，就很容易习惯地利用以往形成的思维经验来进行理解。这时，教师可多问几个“为什么”来暴露学生的思维过程，不仅便于教师了解学生思考问题的方法，而且能达到学生间互相交流思路的目的，相互启发、取长补短，提高学生的思维能力。
例如，教学“3的倍数特征”时，之前学生刚刚学习了2、5的倍数特征，知道判断2、5的倍数特征都是看个位上的数，学生自然而然地把看“个位”迁移到3的倍数特征的学习中，当发现这种方法无效时，学生表现出束手无策。如果没有教师的引导点拨，从观察个位上的数到观察各个数位上的数值之和，这个很大的思维跨度学生是很难逾越的。教师可以先创设这样的情境，让学生任意报一个数，教师能很快猜出它是不是3的倍数。学生报数，教师把是3的倍数的数和不是3的倍数的数分类写在黑板上，同时又让学生把这些数按个位分成是3的倍数与不是3的倍数两类，然后引导学生探索规律。教师第一次引问：“2、5的倍数特征只看这个数个位上的数，3的倍数是不是也只看这个数的个位呢？”之后找一组简单的数让学生观察，可以从简单的12与21这一组数出发进行第二次引问：“个位和十位合起来看看怎么样？”学生相加后发现和是3的倍数。教师第三次引问：“是这样吗？验证看看这些数是不是也有这样的规律？”之后，学生在计算中找到了隐藏其中的规律。整个教学过程是在教师引导下，通过学生自己的理解、顿悟逐步将知识内化为自己的，这个过程就是一个自我反思的过程。
问在规律探究处
学生探究知识的过程，就是突破重点的过程。数学学习要像进行科学探究似的，提一些引导性的问题，引导学生一步步地找到答案或者总结出结论；也可提一些有启发意义的提示性问题，让学生在教师的提示下，自己去寻找答案，实现知识的顿悟与内化。在规律的探求处设问，可促使学生在课堂中积极思考，让学生通过自己的思维学习新知识，得到新规律，从而感受到学习的乐趣。教师要鼓励学生自己去揭示问题、探索知识和规律，体会一个探索者的成就，让学生获得自主探索的成就感。巧设提问让学生由疑惑不解，进而积极思维，到最后豁然开朗，如此递进，将会达到更加完美的学习效果。
倒数的认识教学设计篇5
关键词：倒立摆；现代控制理论；综合实验
作者简介：张勇（1981-），男，山东临清人，内蒙古科技大学信息工程学院，讲师；贺美琳（1991-），女，河北保定人，内蒙古科技大学信息工程学院硕士研究生。（内蒙古包头014010）
基金项目：本文系国家教育部第二批“卓越工程师教育培养计划”支持项目、内蒙古教育科学规划课题（课题编号：nGJGH08115）的研究成果。
中图分类号：G642.423文献标识码：a文章编号：1007-0079（2013）22-0177-02
“现代控制理论”是“自动控制原理”的后续课程，也是硕士研究生“线性系统理论”和“最优控制理论”等课程的基础课程，[1]作为内蒙古科技大学自动化本科专业的基础课和重点课程，“现代控制理论”的教学改革多年来一直受到教师和学生的关注。内蒙古科技大学是一所普通本科院校，学生普遍理论基础偏差，而现代控制理论对数学及相关理论的依赖较重，并且课程中抽象的概念偏多，[2]致使大部分学生在学习过程中较吃力。
倒立摆系统是一个绝对不稳定系统，具有高阶次、多变量、不稳定、非线性和强耦合性的特点，它是进行控制理论研究的理想平台，也是学习和研究现代控制理论最为合适的实验装置之一。[3-5]由于倒立摆系统的控制策略和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处，极富趣味性，它能直观地表现出许多抽象的控制概念，如系统稳定性、可控性、系统收敛速度与抗干扰能力等。[4-6]同时，作为理想的自动控制领域教研与实验设备，它又能让学生在轻松的实验中非常直观、简便的对所学课程加深理解。[4，5]目前，国内外众多高校针对教学、科研及工程实践的需要，基本上都开设了“倒立摆控制系统”课程。[4]
内蒙古科技大学地处西部偏远地区，在综合考虑区域性学科发展、人才培养、教育科研及自动化专业课程体系建设需要的前提下，[7]组建了智能控制实验室，引进了深圳元创兴公司直线二级倒立摆（5套）和平面三级倒立摆系统（1套）。
本文针对实际教学中存在的问题，就一般普通本科院校学生该如何学习现代控制理论，提出了一种面向现代控制理论教学的倒立摆综合实验教学方法。
一、倒立摆实验系统的硬件构成及原理
倒立摆是指摆杆处于倒置不稳定状态，能够人为控制使其处于动态平衡的一种机构，由一个可以再水平轨道上自由移动的小车和倒置摆铰链而成。[5]以摆杆及小车系统为对象，在尽量使倒立摆保持垂直的同时，也要使小车在水平方向上保持某一基准位置，这是一个研究向小车施加水平方向力的控制系统的设计问题。[8]元创兴直线倒立摆实验系统就是完成上述目的的一个典型实验系统，由运动控制板卡、电控箱、机械本体和微型计算机几个部分组成，其原理框图如图1所示。
图1倒立摆系统原理框图
直线倒立摆系统工作原理：控制器为电机，被控对象为小车及相连接的摆杆（控制器和被控对象构成倒立摆的机械本体，如图1虚线框），电机通过改变电机的速度来影响小车的加速度从而改变摆杆的倾斜角度来调整倒立摆的姿态。运动控制卡（安装于计算机机箱的pCi插槽上）采集旋转编码器数据和电机尾部编码器数据，通过计算就可以得到摆杆的角位移以及小车位移/加速度，然后根据控制算法计算出相应的控制量。控制量由计算机通过运动控制卡下发给伺服驱动器，由驱动器实现对电机控制，电机尾部编码器连接到驱动器形成闭环，从而可以实现闭环控制。
“自动控制理论”是内蒙古科技大学自动化、测控仪器及仪表、电气工程及其自动化等专业的理论基础课，但受各方面的影响，大多数学生对控制的理解还仅仅局限于考试的考点，而对于一个控制系统的实现往往没有具体的概念。通过对倒立摆系统的结构及原理的认识，可以让学生具体的了解一个控制系统的实现。从理论上的控制系统概念到具体的控制实现，改变了以往的教条模式，实现了理论与实践的结合。
二、现代控制理论综合实验教学改革
内蒙古科技大学现代控制理论教学大纲要求课堂教学32学时，实验8学时。为了改善学生对抽象概念及理论知识的认识，为了提高学生解决实际问题的能力，针对内蒙古科技大学大部分学生的基础水平偏差的现状及实验室现有的设备，对现代控制理论的教学做出如下改革：
1.优化教学内容，突出知识点
考虑到学生理论基础偏差，在教学过程中，在保证教学内容的严谨性和系统性前提下，不刻意追求定理证明中数学上的严密性，突出问题的背景和提法，强调贯穿于各章论述中的知识点，理论阐述力求简练和易懂。将所涉及的重要概念、理论和方法以结论的形式穿成各章内容的“知识点”。[1]如“可控性”，重点讲述概念产生的背景及提法、判据方法，而对其判据定理的证明则一带而过。
2.以倒立摆为课程应用背景，教学实验相结合
由于内蒙古科技大学学生考取研究生的比例偏少，而大部分学生的去向是工矿企业，直接参与就业，因此教学中对学生的动手能力及解决实际问题的能力的培养需要加强。结合内蒙古科技大学学生的实际，现代控制理论的教学以倒立摆系统为综合实验平台，课堂教学中以倒立摆为应用背景，将抽象的概念具体化。如围绕倒立摆“可控性”的概念，具体的讲述其相关的控制要求及控制量。实验教学中以被控对象为依托，加深对概念、理论及方法的理解。如在“倒立摆极点配置实验”中，以“摆体不倒，小车在原点”为控制目标的控制问题，理解和掌握控制性能指标与极点位置的理论关系，然后到极点配置算法的具体实施，让学生在实验中印证相关的理论及方法。
三、倒立摆综合实验内容及方法
针对内蒙古科技大学现代控制理论的教学改革，智能控制实验室根据现有的倒立摆实验平台开设了以下实验，从不同的角度训练学生解决实际问题的能力。
1.倒立摆认识实验（运动控制基础实验）
图2直线一级倒立摆极点配置控制仿真模型
在讲述倒立摆系统结构、研究意义及必要性之余，提出了倒立摆系统的控制问题，让学生自主思考该系统的控制实现，需要测量的参数。围绕着控制信号、被控对象反馈信号的测量和现有的实验设备，自主设计测量方法。实验的目的是获取倒立摆系统的关键参数和熟悉编码器的基本原理。目标是使学生学会分析实际控制系统，掌握控制系统关键参数的获取方法，提高学生的动手能力。
2.倒立摆实验系统的建模
由于倒立摆系统的建模涉及较多的理论推导，如力学分析、数学推理及微分方程求解等，鉴于内蒙古科技大学学生的基础，直接给出了最后的相关的状态空间方程。如直线一级倒立摆的状态空间方程：
但在给出状态空间方程之前，先留给学生的问题是：一级摆、二级摆分别为几输入、几输出系统，相关的控制量和被控量分别是什么？有利于学生加深对状态空间方程的认识，同时也能更多的理解被控对象。
3.状态空间控制器设计与仿真
众所周知，倒立摆是一个不稳定的系统，容易通过对上述状态空间方程分析得到验证（系统开环极点为0，0，5.42217，-5.42217）。运用课程中所学的系统可控性分析方法，可知倒立摆系统是一个状态完全可控和输出完全可控的系统。在以往的考试中，极点配置问题的考题一般都是给定期望的极点，与考试不同的是倒立摆系统的期望极点没人给定，因此应引导学生对系统特点进行分析，得出控制性能指标的需求（较短的调整时间和合适的阻尼），进而计算相应的期望极点。根据控制器设计要求，并留有一定的裕量（设调整时间为2秒），选取期望的闭环极点：。进而，通过matLaB仿真计算可求出反馈增益矩阵：，并得到控制量：U=kx，最后通过Simulink测试仿真效果，如图2所示。针对具体的问题训练学生对极点配置方法的运用，并通过matLaB做相关的仿真，这样的教学方法有利于学生充分掌握课程中的知识点及相关概念。
4.软件实验平台实现
针对倒立摆的实时控制，实验室提供了Simulink实时控制平台和VC实时控制平台，学生只需将仿真时算出的K值写入相关的实验平台下即可观看实时控制效果，如图3所示。将K值的四个参数写到平台左下角对应的框内，即可观察摆的实时控制效果。在具体的实验中，只是简要的介绍下平台搭建的原理，而具体搭建只在毕业设计时做相关的要求。
图3直线一级倒立摆VC实时控制平台
上述实验形成了一个有机整体，不仅可以让学生学到和理解现代控制理论的相关知识、概念及原理，同时也展示了一个具体的研究过程，对学生学习科研方法，进行课题研究和解决实际问题大有裨益。
）
四、结语
“现代控制理论”是一门理论性比较强的课程，抽象的概念和理论偏多。通过对倒立摆系统的结构及原理的认识，可以让学生具体的了解现代控制理论中的相关概念、理论及方法，并在具体的研究过程中，学习科研方法，提高解决实际问题的能力。教学实践表明，面向现代控制理论的倒立摆综合实验教学方法得到了多数学生的认可，并促使“现代控制理论”成为校级精品课。
参考文献：
[1]王从庆，丁勇.现代控制理论课程教学改革的实践与探讨[J].南京航空航天大学学报，2004，6（1）：72-75.
[2]曲延滨.“现代控制理论”课程教学改革实践[J].实验室研究与探索，2005，24（S1）：155-156，199.
[3]李东，陈强，孙振国，等.倒立摆教学实验系统的设计与应用[J].实验技术与管理，2006，23（9）：100-102，106.
[4]王仲民，姚合环，王健民.倒立摆控制系统课堂教学与个性化培养模式的研究与实践[J].高等教育研究，2004，20（9）：68-69.
[5]祝洁.直线一级倒立摆的起摆及稳摆的智能控制[D].济南：山东大学，2009.
[6]李劲松，颜国正，冯剑舟，等.基于线性二次型最优控制策略的倒立摆实验系统搭建[J].实验室研究与探索，2010，29（3）：38-40，60.
倒数的认识教学设计篇6
一、两种教学现象之简要描述
·案例一·
教者开门见山地揭示课题后，先让学生自学教材，然后围绕三个话题，教学倒数的认识。
【话题一】“倒数的意义”这句话，从结构上看是由两部分构成的，根据这两部分之间的关系，你能不改变这句话的意思，改换一种说法？
生1：两个数的乘积是1，这两个数互为倒数。
生2：如果两个数的乘积是1，那么它们互为倒数。
生3：只要两个数的乘积是1，它们就互为倒数。
生4：只有当两个数的乘积是1时，它们才能互为倒数。
生5：两个数互为倒数的条件是它们的乘积是1。
生6：两个数的乘积是1是它们互为倒数的条件。
【话题二】你能根据这句话写出一道算式吗？
生：■×3=1，■×5=1，■×■=1，■×■=1……
【话题三】对这个乘法算式，你有什么新的认识呢？（教师提示：■×3=1），请谈谈好吗？
生1：■和3互为倒数。
生2：3是■的倒数。
生3：■和5互为倒数。
生4：■是5的倒数。
生5：5是■的倒数。
生6：■和■互为倒数。
……
·案例二·
开课，教师借助朋友之间的相互关系，让学生理解“互为”一词的意思后，出示“■+■+■=1，■×■=1，■×■×2=1和■+■+■=1”四道算式，先提问：“这四道算式有什么相同点？”学生很快说出：结果都是1。紧接着教师再让学生思考“根据算式的特点，你觉得哪道算式最特殊？说明理由。”学生思考后，集体汇报时有名学生说“我认为■+■+■=1最特殊，因为它是分数加法算式，而且三个加数的分子都是1。”随即便招来另一位学生的反驳：“我不同意。因为■+■+■=1也是加法算式呀。”……经过教师的精心引导和学生间的激烈争辩，最后学生一致认定“因为■×■=1的特点最多，所以最特殊。”进而通过研究“■×■=1”的特点展开倒数意义的教学。
二、两个教学案例之理性分析
审视上述案例中的教学设计，不难看出，两种教法都跳出了教材的束缚，创造性地设计了教学方法，并实现了让学生比较透彻、准确地理解倒数意义的目标，可以说两种教法都是有效的。但深究上述案例中的教法，洞察其教学实质，两者又存有很大区别。
案例一，教者单刀直入“倒数的意义”，围绕倒数的意义设计了三个在思维和认知程度上似乎由浅入深的话题，采用“改说法”、“写算式”、“谈认识”、“得结论”的形式，使学生对倒数的认识由“意义”跃入“应用”的层面，教学行程可谓是循序渐进的。但从学生的回答和参与状态的角度透视教学现象，此种教法中教师牵着学生鼻子走、游离于知识教学层面的教学缺憾也是显而易见的，而且这一“缺憾”与发展学生思维、提高学生能力的数学教学基本要求相背离。长此以往，学生的发展是难以言及的，后果甚至是可怕的。
案例二，教者创设了一个“哪道算式最特殊”的教学情境，学生在具有挑战性问题的“激励”下，积极主动地去观察算式的特点、比较算式的异同和发现算式中的数学知识（互为倒数的两个数的特征），数学思维得到了砥砺，观察、比较事物的能力和辨别、概括问题的表达能力都得到了锻炼，可以说，这样的教学是有内涵的。站在追求教育“内涵”的类似案例二的立场上，诸如案例一的“浅层”教学与之相较还是捉襟见肘的。
三、追求“教育内涵”之深度思考
其实，这两个案例不仅是“浅层”研究和“内涵”研究两种鲜活教学样板的印证，而且折射出一些老师对教学有效性在认识上的片面和在实践中的粗疏。“浅层”教学是课堂教学的基本追求，“内涵”教学是课堂教学的境界提升。在实际教学中，如果我们片面理解有效性教学而导致操作方法失当或浮于“浅层”的教学，往往就会陷入就事论事、浅尝辄止的教学境地，惟有实施深度发掘教育“内涵”的教学才能让我们的课堂勃发魅力、充满活力，以便在最大程度上让学生得到充分而和谐的发展。
突破片面、狭隘的“浅层”教学，追寻充满内涵的课堂，关键在教师。需要教师进行多方面的努力与提高，尤其需要在思想上高度重视。
（一）要养成反思的教学习惯
反思，是指一个人对自己思想和行为进行检验与再认识的过程。可以说，每个人都是在不断反思中成长起来的。因而，在推行新课改的过程中，我们要有善于思考的头脑和善于发现问题的眼睛，养成反思的意识和教学习惯。
1.要有善于思考的头脑。笔者以为，在更新落后的教学观念，实践新课程理念时，只有善于探析教学现象，洞察个中本质，才有可能把握新课程理念的真正要义。仍以课堂教学的有效性为例，诸如如何实施有效的课堂教学、在注重知识教学的同时我们还需要关注什么等问题当需要我们在实践中不断地去思考、追问。
2.要有善于发现问题的眼睛。在实践新课程时，我们切不可对一些未经证明或尚在探索中的教学理念和方法，不加斟酌与甄别，人云亦云、盲目跟随，而应在“百家争鸣”中汲取教学营养，把握教学真谛。
（二）要丰富研究问题的方法
笔者以为，在研究教学问题时如果不加比较、鉴别，不采用多样的研究问题的方法，那么一些隐含“缺憾”的教学现象常常迷惑住我们的眼睛，束缚住我们的手脚，致使一些教学实践与秉承的教学理念形似神离。所以，我们应善于运用不同的方法、策略去研究问题，在研究中认清问题，寻找解决问题的方法或途径。
（三）要提高教学实践能力
如何正确把握新理念，科学践行新理念？在实践中勤于反思与总结，不断提高将理念转化成实践的能力是其重要的途径。
1.要有不断学习和总结经验的习惯。只有在不断地学习和总结中才能积累起丰富的教学经验，加深对各种教学问题的认识，为科学演绎、彰显教学理念提供可能。
2.要有尝试和实践的意识。先进、前卫的教学理念和科学的教学方法需要通过教学实践来贯彻和推广。因而，我们应乐于尝试、实践，树立尝试和实践的意识，进而在不断尝试与长期实践中，提高自身驾御课堂、践行理念的能力。
倒数的认识教学设计篇7
然而心理学研究表明，小学生思维正以具体形象思维为主，并逐步向逻辑思维为主要形式过渡；由具体运算为主，逐步向形式运算为主过渡的时期。因此对数学思想方法的渗透必须符合学生的年龄特征，同时必须借助于合适的“拐杖”，本文旨在简述通过“1”的妙用，浅析在小学数学数与代数领域中如何渗透基本的数学思想方法。
一、建模
模型思想是指用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度上讲，数学的概念、定理、规律、法则等都是数学模型。模型思想的形成，就是数学思维抽象的过程。
例如，在教学《倒数》一课时，我作了如下设计：
层次一：分数的倒数学生自主归纳。
层次二：整数的倒数。
师：5的倒数是多少？你是怎么想的？
生：5的倒数是。因为5可以写成，分子分母交换位置就是。
师：6的倒数呢？7的倒数呢？（学生争先恐后抢答）
师：a的倒数呢？（学生异口同声说）
层次三：小数的倒数。
师：0.5的倒数呢？（生依据刚才的经验不假思索答到，但很快沉寂了，怀疑自己的答案。）
师：刚才同学们的思考，是正确的，但是同学们又否定了这样的结果，其实只要我们稍加变换，就可以把化成，也就是2。
同学们若有所思，恍然大悟。
【评析】在探寻一个数倒数的方法的过程中，教师借助于“1”使学生理解求整数的倒数的方法，并在此基础上帮助学生利用字母抽象出数学本质。随着数字的变换，出现0.5，对于学生来说是惯性思维的运用，但很快又被自我否定，因为这样的形式有违分数在学生心理的定式。在这样的基础上教师引导学生把改写为学生的已有分数形式，使学生丰富对分数的认识，同时对学生思维的发展也是一种突破。
再如，99×38+38，x-0.4x=12等都可以利用“1”帮助学生把具体问题划归到特定的数学模型中加以解决。
二、转化
著名的数学家，莫斯科大学教授C.a.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解的题转化为已经解过的题。”数学的解题过程就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
小学阶段最常用的是等价转化，是把未知的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。
例如，在教学比的基本性质练习一课时，设计如下练习。
甲数是乙数的1.5倍，甲数与乙数的比是（），化成最简整数比是（）。
【设计意图】对于学生来说，已知两数之比求比值是顺向思维，而已知比值求两数之比是逆向思维，学生感觉无从下手。通过这样的逆向思维训练，培养学生思维的灵活性。
【教学过程】
层次一、引导学生用线段图表示两者之间的数量关系。
师：你能根据题意画出线段图吗？
层次二、引导学生根据线段图，用数字表示两者之间的数量。
师：根据我们画出的线段图，你能用数字表示两者的关系吗？
启发学生用数字1（即单位“1”）表示乙数，1.5表示甲数，从而写出两数之比。
【评析】教师在引导的过程中，充分渗透了转化的数学思想，由数变换为图形关系，便于学生直观思考，并启发学生根据图形利用“1”建立两者数量间的关系。数形结合，符合学生的认知发展规律。
转化思想灵活多样没有一个统一的模式。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换。小学阶段渗透转化的数学思想必须符合学生的认知发展规律，变抽象为直观、变形式为具体。过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。
三、归纳演绎
“归纳与演绎”是基本数学思想方法。小学阶段数学学习常常是通过简单、个别、具体、特殊例子的研究，总结、归纳出一般结论，然后演绎应用于实际问题的解决，或者通过演绎推理获取更上位的知识。
例如，在教学分数乘法，因数的大小与积的大小关系时，可以巧借助于“1”帮助学生归纳与演绎。
设计如下题组：
层次一：出示题组（1）。
师：你有什么发现？
引导学生发现，一个因数相同，另一个因数大乘积就大。这样的规律对于六年级学生来说是很容易发现的。
层次二：在此基础上出示题组（2）。
师：你能利用刚才发现的规律不计算就能判断大小吗？
启发学生巧妙添上“1”使题组变换为：
利用“1”建立特定的模型，在此基础上运用不完全归纳法总结规律，在习得基本知识的同时，培养学生基本的数学思维能力。
倒数的认识教学设计篇8
一、提供材料，排除认知干扰
学生在进行数学学习时，通常会基于已有的知识和经验理解某些数学概念，有时候这种理解仅仅是从自己生活经验和情境出发，形成所谓的“前概念”，对正确理解新知识产生干扰。因此，教师要了解学生“元认知”，排除“前概念”对数学教学的负面影响。在“倒数”一课中，教师可先在黑板上板书“倒数”二字，问学生：“这个词你会读吗？”学生一般会呈现三种读法，即dǎoshù、dàoshǔ、dàoshù。教师可先排除第一种读法，告诉学生：“数学上有一种数叫导数，它的读法才是dǎoshù。”接着呈现《现代汉语词典》中对“倒数”的两个解释：逆着顺序数，读作dàoshǔ;如果两个数的积是1，其中一个数就叫作另一个的倒数，读作dàoshù。让学生根据阅读材料对本节课学习的倒数的读法进行猜测和判断，在学生回答的基础上进行总结，明确读法。上述教学流程中，教师先后两次提供阅读材料（第一次为课题板书，第二次为词典解释），及时干预“前概念”对新课学习的干扰。
二、观察归纳，初步形成概念
小学数学教材中的概念，主要表现形式为描述式和定义式。由于数学概念的抽象性与学生思维的形象性的矛盾，大部分概念没有下严格的定义，而是从学生所了解的实际事例或已有的知识经验出发，尽可能通过直观的具体形象，帮助学生认识概念的本质属性。“倒数”一课的教学，在学生了解倒数的读法以后，教师可以进一步提出：“到底倒数是一种怎样的数呢？”教师可以通过课件呈现四道算式：×、×、5×、×12，让学生先计算、再观察，看看其中有什么规律。这里的观察其实就是一个数学阅读的过程，阅读的对象是四个算式，阅读的主要形式是观察：教师可根据学生的具体情况，从运算的类别、因数的个数、因数的特征、算式的结果等维度进行数学阅读提示和指导。学生通过观察、交流和讨论，得出这四个算式的共性：“都是乘法算式”“都有两个因数”“这几个算式的结果都是1”“因数的分子分母正好颠倒了位置”。这些共性就是学生数学阅读的结果，前三个共性体现了倒数概念的本质属性，而第四个共性则是倒数概念的非本质属性。需要注意的是，学生在形成倒数概念的过程中容易被第四个共性所误导，容易局限于“分子分母颠倒位置”的外在形式，狭隘地理解倒数的概念内涵。因此，教师可先让学生尝试自己归纳倒数的概念，在众说纷纭、意见不一致时回到教材，通过阅读教材中的结论来揭示倒数的数学定义：“乘积是1的两个数互为倒数”。在上述教学过程中，教师为学生提供的数学阅读材料有助于他们进行观察、比较、分析、综合，诱使学生萌发猜想，引出规律，完善结论。这样的设计既体现了编者的意图，又符合学生的认知特点。
三、分析比较，正确理解内涵
在学生初步感知倒数概念后，教师可以让学生自己举例说明倒数的概念，也可抓住关键词语有针对性地提供补充阅读材料，让学生对照概念进行分析比较。可展示+=1，-=1，÷=1等三道算式，目的在于让学生辨析“乘积是1”的概念内涵;展示××=1这个反例可以强化学生对“两个数”这一前提的认识;对于“互为”两字，既可以结合实例帮助学生加深理解，如×=1可以说“的倒数是”，也可以说“的倒数是”，也可以通过让学生回忆已学过的数学概念中的类似例子来进行类比，如互相平行、互相垂直、因数和倍数等。在上述阅读过程中，学生的主要行为是进行比较、辨析，在概念判断的过程中正确理解倒数概念内涵，在举例类比的过程中实现概念的同化和顺应。
前面已经提到，学生在初步感知倒数概念的过程中容易局限于“分子分母颠倒位置”的外在形式，而对倒数概念的本质属性有所忽略。教师可以结合阅读材料进一步提出问题：“从这些算式可以看出，互为倒数的两个数有什么特点？”有的学生基于分数的倒数说出：“分子分母颠倒位置。”有的学生可能会说：“两个数的乘积是1。”到底什么才是倒数的本质特征？可以让学生进一步观察课前的四道算式，并提出问题：“一个数的倒数一定是分数吗？”在观察、举例、讨论交流的过程中，学生不难发现，一个数的倒数可能是分数，也可能是整数（如的倒数是12）。一个数的倒数可以是小数吗？在半信半疑间，教师可以让学生再次阅读5×=1这个算式，启发学生运用数的转化知识，转化出5×0？郾2=1，在此基础上，教师再次让学生列举关于倒数的例子，进行讨论交流。让学生感悟到，分数、整数和小数都可以找到它的倒数，“乘积是1”才是倒数概念的本质属性。
四、变式训练，深化理解内涵
在练习环节，除了基础练习，教师还可以通过提供阅读材料，进行一些变式训练来深化概念内涵的理解。教材第29页练习六判断题中的“0的倒数还是0”这样的题目，可以让学生运用倒数的概念进行举例说理，既可以分散教学难点，也可以深化他们对倒数概念内涵的理解。而课本第29页练习六第5题则通过提供阅读材料“因为×0？郾75=1，所以的倒数是0？郾75”，让学生讨论“小红和小亮谁说的对”，这个讨论的实质在于“分数的倒数有没有可能是一个小数”，通过讨论，可以让学生认识到：“无论是分数，还是小数0？郾75，因为它们分别与相乘的积都是1，所以，它们都是的倒数”。也可以根据数的转化进行推理论证：“因为的倒数是，而=0？郾75，所以0？郾75也是的倒数”。为了突出倒数概念的本质属性，教师可以有针对性地补充一些判断题让学生阅读后进行判断：“和互为倒数”“0？郾1和10互为倒数”“7和互为倒数”等。如果学生仅仅在形式上观察这些阅读材料，很容易出现误判，教师可以适机引导学生展开讨论甚至辩论。通过讨论，让学生深刻体会到，判断两个数是不是互为倒数，关键是看它们的乘积是不是1。在上述教学过程中，教师通过提供阅读材料，创设思维情境，让学生从不同的角度去理解概念的本质属性，伴随着阅读过程的是质疑、辨析、对比等思考过程，让学生进一步深化了对概念内涵的理解。
五、实践应用，完善认知结构
教学中除了要重视数学概念的形成和获得外，还要加强数学概念的应用，以进一步增强学生的实践意识，完善认知结构。倒数的认识是学生学习分数除法的基础和前提，因此教材安排在第三单元“分数与除法”的起始课。为了体现知识的联系，教材第29页第4题专门设置了3组题目，让学生通过分别计算有联系的除法（9÷4）和乘法（9×），并比较算式的大小。目的在于渗透转化思想和倒数知识在分数除法计算中的应用，为下一节课的学习孕伏方法。此外，为了提供应用能力，使学生初步学会运用所学的数学知识解决一些简单的实际问题，教师还可以设置一些拓展题，如“根据8×a=×B=1？郾25×C=1，请将a、B、C按照从小到大顺序排列”。学生在解决这个问题时要经历两个过程，首先是应用倒数的知识分别求出a、B、C的大小，然后再将a、B、C按照从小到大顺序排列。这样，引导学生在“用数学”中学数学，体会数学的应用价值，增进其对数学的理解和应用数学的信心。
倒数的认识教学设计篇9
为什么说数学有自身的情感世界呢？从事与数学直接有关的工作的人有这种感觉自不必说，对大多数人而言，与数学有着不解的情结完全源于数学的思想对自身思想的影响，数学的方法对自己解决问题的方法的启示；对整个人类发展而言，每一次数学质的飞跃都是社会跨越的标志，每一次数学的突破都是社会跨越的动力，数学的发展史就是社会发展史的一个缩影。从毕达哥拉斯学派的创立宗旨到无理数的发现，从微积分理论的建立对科技的影响到牛顿、莱布尼兹的数学精神，从割圆术方法的完善导致圆周率的精确推算到祖冲之对中华炎黄子孙的影响，如此等等，无不说明了数学的情感世界是那样的丰富，那样的让人着迷，这位“高尚的人”自人类产生以来就用自身的情感引领着人类的发展。因此概括地说，数学情感就是指数学知识、思想、方法对人和社会产生的情感影响，也包括对数学自身发展做出突出贡献的人们的情感对后世人所产生的情感影响。
尽管数学有着如此丰富的情感世界，但进入他的世界是需要引导的。我们常常说兴趣是最好的老师，只要我们对她有兴趣我们就可进入那个世界，岂不知兴趣不是自发的，它是双方情感的交融，当一方想探究其秘密，而另一方又弥漫着令人向往的魅力，至两者的情感达到共鸣，方有学好、用好的可能，这就需要从事数学教育的人们付出努力，寻找方法。近年来数学教育的改革日新月异，从三维目标到四维目标，让更多的人意识到数学不仅仅作为基础学科无处不在、无处不用，同时其情感对人们的影响更是不同凡响。然而在实际教学中我们看到的又是什么样的情景呢？为了应付检查仅仅停留在教学设计的书写过程中，或公开课的牵强附会表演上的几句道白，绝不是我们所希望的情感体现。为什么导致了这种情况的出现？我个人认为无外乎是这两个方面的原因。一、我们许多教师还没有完全脱离过去的那种仅重视知识教学，而没有真正领会数学的情感世界及其重要作用，或存在对数学情感的误解。二、他们不知道如何引导学生走进数学的情感世界。对于第一个方面的原因我在《目前教育改革的当务之急是全面提高教师自身的素质》一文中谈了很多，每一次校本培训集中学习的重点往往就在于此，这里不再赘述。这里我想谈的是第二个问题。
一、从生活入手让学生有一种感悟，多一种理解，但真正目的还是要回到数学的“根”上去。我们常有这样一种感叹，如果某节课我们仅给学生一个情景，让学生去自由发现，很少有学生用数学的方式来思考，或提出与数学有关的问题，因为我们没有引领，让其置身于一个数学环境，此时学生的联想空间多在他已经感兴趣的问题之上。我从执教《倒数的认识》一课具体谈一谈这种认识。《倒数的认识》这一课题本身对学生就是一个误导，再未看内容之前，大家都会认为倒数像我们以前所学的数一样，倒数是数这个大家族中的一分子，事实不然它是两个数满足一定条件时对其关系的一个描述的简称，而类似于对两个数间某种关系特定描述的数学概念我们以后还要接触到（例如相反数），故我在教学设计中首先将重点放在了能反映出这种特定关系的另一个词“互为”上。在教学之始利用交流，询问了某一个学生‘你的好朋友是谁？你用一句话来表述一下两人的关系吗？’目的是想引导学生能说出以下三句话：某某是我的好朋友；我是某某的好朋友；我和某某互为好朋友。从而在前两句的基础上突显出第三句中的“互为”，并进行板书，然后总结，日常活中有很多像这样又相互依存关系的现象，这种相互依存的关系在数学中也有，今天我们就来认识一个。然后板书，倒数的认识。此时一个会思考的学生在读到这个课题时，他（她）不会再以为倒数是一类数了。当他们以后在中学接触到相反数概念时，也会通过对倒数的认识而加以理解。
在义务教育课程标准实验教科书《教师教学用书》对《倒数的认识》的内容分析有这样的一段话：这部分内容是在学习了分数乘法的基础上教学的，主要为后面学习分数除法做准备，因为一个数除以分数的计算方法，归结为乘这个数的倒数。因此大多数老师都会以此而设计让学生了解倒数意义的乘法算式仅涉及与分数有关的，而不会涉及到小数，甚至带分数。教材的例一也是这样安排的，同时例二也仅限制于对真分数和整数的倒数求法的探究。以前我一直以为教材的这种安排是考虑学生的年龄小，到了中学会有进一步的探讨。而事实上翻开中学教材我发现这个问题仅有以下描述：与小学所学的一样，在有理数的范围内，如果两个数的乘积为一，我们称这两个数互为倒数。那么是不是在以后的运算中从不涉及到除数是带分数的，而除数是小数的是不是都是根据小数除法的方法进行计算，而不能将其转化成分数，如果是循环小数又怎么办？到初中依然是这样吗？为了让学生真正做到对概念的理解和对求倒数方法的掌握，我在设计几组乘积为一的乘法算式中包括真分数、假分数、带分数、小数、整数等所有前面涉及的数，而在探究求倒数的方法时也囊括了上述各类数，并积极引导学生从概念本身入手利用除法的意义来求一个数的倒数而不是浮于表面将一个分数的分子和分母颠倒，我认为这才是数学的根。在练习设计的最后我加上了a×（）=1和求a的倒数，也就是从单纯的数的探究上升到对表示数的字母进行讨论，这个问题对拓展学生的数学思维是非常有益的，也是对数学概念理解的一个升华，理解了它，也就真正做到了对互为倒数概念的理解，即使到了中学，那怕仅有那么一句话也就足够了。从这一过程我们可以看出《倒数的认识》一课的数学情感其一在于数学中许多关系和人与人之间的关系是相通的，一致的，我们由社会关系的引入降低对数学定关系理解的梯度，让学生通过熟知的生活关系和特定的数学关系的相互交融，达到彼此间的情感交融。其二数学从表面到本质的多重关注和高度概括的情感魅力通过单纯的数到字母表示数释放出来，使学生的情感到达升华，这就是我在教学的最后要求学生探讨求a的倒数的理由，并要求学生对a进行分类讨论和从概念本身寻找答案。而整个过程对学生的探究精神、思维发展能力的情感培养目标更是不必言说。
二、深入浅出，让学生从内心深处感应到数学的情感。当爱因斯坦发现相对论以后，很多人都不理解，爱因斯坦对相对论的通俗而幽默的解释为：你和一个美女坐在一起两个小时感觉就象2秒钟，你和一只老虎坐在一起2秒钟就感觉象2小时！这就是相对论。而阅读了爱因斯坦的相对论的人回过头来看一看这种解释实在是妙不可言，而我们就需要这种方式让学生进入＼数学的情感世界。我在执教《圆的面积》时课前采取了以下方式进行交流：请问有没有哪位同学能够将0.9转化成一个整数或小数？
（为通俗理解极限思想埋下伏笔）
从而将学生引入了极限的情感世界中，为后来运用极限思想解决问题做了铺垫，这种影响不仅仅在于本节课，它必将深远的影响学生。随着画圆为方的过程的顺利进行，割圆术的具体操作过程也在悄然渗透，表面上的不可能让学生心服口服的意识到一切既有可能。而在练习中我又设计了这样一题：已知一正方形的面积为7平方米，求以这个正方形的边长为半径的圆的面积为多少？又将学生带入数学的整体思想情景之中，不断地让学生受到数学的情感冲击。
倒数的认识教学设计篇10
“温故而知新”。在新授课练习设计时，适当穿插与新知识有关的内容，这种综合性练习，不仅有利于巩固新知识，而且有利于新旧知识的融会贯通，有利于发展学生的思维。如教学“倒数”后，可安排以下练习：
1.填空。
最小的质数的倒数是（），最小的合数的倒数是（）。
2.判断下列说法是否正确，并说明理由。
①假分数的倒数小于1。（）
②所有自然数的倒数都小于1。（）
3.列式计算。最小的奇数的倒数与2和3的最小公倍数的倒数相乘，积是多少？
二、难易适度，激发兴趣
教学中根据学生认知实际，恰当地确定综合练习的标准，可防止学生因学习太难而产生畏难情绪。难易适度的练习，才有利于调动学生的积极性，激发他们的学习兴趣。因此，综合练习设计应以多数学生“跳一跳能够摘到果子”为宜，如教学真分数、假分数和带分数后，可以设计这样的练习：
三、面向全体，因材施教
数学综合练习涉及知识面广，解题技巧性较强，差生解题往往比较困难。因此，在设计综合练习时应面向全体学生，因材施教，让各类学生均有所得。如教学“非十进分数化小数”。可设计这样的练习：
1.填空。
2.运用上面的方法把下面的分数化成小数。
四、把握原则，避免拔高