倍数与因数篇1
《因数和倍数》是一节数学概念课，西师版新教材在引入因数和倍数的概念时与以往的教材有所不同。在以往的教材中，都是通过除法算式来引出整除的概念，每个除法算式对应着一对有整除关系的数，如a÷b=c（a、b、c都不等于0）表示a能被b整除，或b能整除a，在此基础上再引出因数和倍数的概念。而现在的西师版教材中没有用数学语言给“整除”下定义，而是利用韩信点兵的故事，引导学生自己列乘法算式和除法算式，通过乘除法法算式中三个数的关系，直接给出因数和倍数的概念。这部分内容学生初次接触，是比较难掌握的内容。
根据本节课知识的特点和学生的认知规律，我采用了角色转换、数形结合、合作学习等发展性教学手段进行教学，在教学中注重体现以学生为主体的理念，努力为学生的探究发现提供足够的空间。在课堂中，我主要围绕以下几方面来进行教学：
一、贴近生活，理解因数倍数相互依存的关系。
因数和倍数是揭示两个整数之间的一种相互依存关系，这种依存关系，学生理解有些可能有些困难。我通过班级中的师生关系，向大家讲明有了学生才有老师，同时有了老师才有学生，通过这种关系，迁移到数学中的数和数之间的关系，这样教学自然贴切，既让学生感受到了数学与生活的联系，初步学会从数学的角度去观察事物、思考问题，激发了对数学的兴趣，又潜移默化地帮助学生理解了因数倍数之间的相互依存关系。在教学中，也达到了预期的效果，学生对因数和倍数相互依存的关系理解的比较深刻。
二、亲身体验，理解数和数之间的联系。
因数和倍数这节课研究的是数和数之间的关系，知识内容比较抽象。在教学中，我让每个孩子记住自己的学号，在学习了因数和倍数后，我让每个学生根据老师的提问，满足要求的同学起立。如：请20的因数的同学起立，3的倍数的同学起立等。通过这种方式，让全体学生参与到教学过程中来，动脑、动手、动口，举一反三，从而理解了数与数之间的因数和倍数关系，既充分激发了学生的学习兴趣，又十分有效地突破了教学难点。
三、数形结合，学习因数与倍数。
“敌谓岷稀笔且恢种匾的数学思想。对教师来说则是一种教学策略，是一种发展性课堂教学手段；对学生来说又是一种学习方法。充分利用数与形的结合，变抽象为直观，有助于学生对知识的理解。如果长期渗透，运用恰当，则使学生形成良好的数学意识和思想，直接影响学生空间想象，对于终身学习，形成自己独特的思维方式有很大的帮助。
四、依据学情，探究找因数倍数的方法。
倍数与因数篇2
【例1】一个房间长90分米，宽66分米。现计划用正方形方砖铺地，需要用边长最大为多少分米的整砖多少块，才能刚好铺满整个房间？
【分析与解】要想用整块边长尽可能大的方砖刚好铺满房间，那么每块方砖的边长必须是90和66的最大公因数。90和66的最大公因数是6，所以正方形方砖的边长应是6分米。
房间的面积：90×66=5940（平方分米）
方砖的面积：6×6=36（平方分米）
需要方砖的块数：5940÷36=165（块）
此类问题的解题关键是抓住“边长最大”“刚好铺满”等关键词，找出问题的本质――求最大公因数来解决问题。
【例2】把46块水果糖和38块巧克力平均分给一个组的同学，结果水果糖剩1块，巧克力剩3块。这个组最多有几位同学？
【分析与解】如果将多余的1块水果糖和3块巧克力减去，则剩下的水果糖和巧克力刚好分完。要求出这个小组最多有几位同学，实际就是计算45（46-1）和35（38-3）的最大公因数。45的因数有1、3、5、9、15、45，35的因数有1、5、7、35，45和35的公因数是5，所以这个组最多有5人。
【例3】红旗印刷厂印刷一批书，每12本扎成一捆，就多出11本；每18本扎成一捆，就少1本。已知这批书总本数在550～600之间，这批书共有多少本？
【分析与解】根据题意，“每12本扎成一捆，就多出11本”，也可理解为每12本扎成一捆，就少1本。将少的1本先补上，这样书的本数就正好是12和18的倍数。12与18的最小公倍数是36。因为这批书的本数在550-600之间，600÷36=16……24，所以书的本数为36×16=576（本）。再将补上的1本减去，所以这批书总共有576-1=575（本）。
【例4】小明家到学校的路上竖有电线杆55根。原来每相隔50米的距离竖1根，现在要改成每相隔60米的距离竖1根，那么除两端的两根电线杆不需移动外，中间有多少根也不需移动？
【分析与解】中间第1根不必移动的电线杆，它的位置是50和60的最小公倍数处的那一根；以50和60的最小公倍数作为一个周期，看总距离中包含着几个这样的周期就有几根电线杆不用移动。第1根电线杆到最后1根电线杆的总距离是50×（55-1）=2700（米），50和60的最小公倍数是300，即从第1根开始，每隔300米的那一根电线杆不需移动，这样的电线杆共有2700÷300=9（根），再去掉最后一根，中间共有9-1=8（根）不需移动。
【练一练】
倍数与因数篇3
所谓列举倍数法（定义求法）就是分别列举出要求最小公倍数的那几个数的一些倍数，从中找出除“0”以外最小的那个公倍数，就是最小公倍数。
如：求12和18的最小公倍数。
解：12的倍数有：0，12，24，36，48，60，72……
18的倍数有：0，18，36，54，72……
从上面可以看出12和18的最小公倍数是36。
即：[12，18]=36。
二、韦恩图法（文氏图法）
所谓韦恩图法（文氏图法）就是分别写出要求最小公倍数的那几个数的一些倍数集合，并用韦恩图法表示出来，其中两个（或多个）集合交集中除“0”外最小的那个元素就是它们的最小公倍数。这正是与大纲要求把集合、对应等新思想适当渗透到小学数学教材中去相适应。
如：求24和36的最小公倍数。
解：24的倍数集合m={0，24，48，72，96，120，144……}
36的倍数集合n={0，36，72，108，144，180……}
那么：m∩n={0，72，144……}
[24，36]=72。
第二种方法与第一种方法有很多相似之处，但第二种方法是利用韦恩图解，很直观，学生更容易接受。
三、分解质因数法
分解质因数法就是先把要求最小公倍数的那几个数分别分解质因数，然后将原来几个数里所含该质因数的最多个数的每一个质因数相乘，所得的积就是要求的最小公倍数。
如：求96、30和132的最小公倍数。
解：96=25×330=2×3×5132=22×3×11
在96、30和132的任何一个不为零的公倍数里至少有五个质因数2、一个质因数3、一个质因数5，一个质因数11，所以[96，30，132]=25×3×5×11=5280。
四、短除法
所谓短除法就是先用要求最小公倍数的那几个数的公有除数连续去除那几个数，一直除到所得的商互质为止，再把所有的除数和最后商连乘起来，乘得的积就是所求的最小公倍数。
如：求24、60和96的最小公倍数。
[24，60，96]=2×2×3×2×1×5×4=480。
五、公式法
所谓公式法（最大公约数与最小公倍数关系）就是对于任意两个自然数a、b，只要先求出这两个数的最大公约数后，利用公式[a，b]×（a，b）=a×b即可求出最小公倍数[a，b]=a×b÷（a，b），也即是两个数的最小公倍数等于这两个数的乘积除以这两个数的最大公约数。
如：求[105，42]。
解：（105，42）=21，
[105，42]=105×42÷21=210。
特例：如两个数互质，则这两个数的最小公倍数就是这两个数的乘积。
六、辗转相减后相乘法
求两个数的最小公倍数，如两个数相差2倍以内，就可用辗转相减后相乘法，即连续用大数去减小数，直到所得的差能同时整除原来两个数为止，然后用这个差与整除的两个商相乘，所得的乘积就是两个数的最小公倍数。
如：求[42，30]。
解：42-30=12（12+42，12+30），继续往下减
30-12=18（18+42，18+30），继续往下减
18-12=6（6│42，6│30），减到此为止
七、减小数倍数相乘法
减小数倍数相乘法适用于求两个数的最小公倍数，如果它们相差2倍以上，就用大数减去小数的若干倍，如果差比小数还大，就再减去小数，直到差比小数小为止。而且这种差还要求同时整除原来两个数，就用这个差与整除的两个商相乘，所得的积就是最小公倍数。
如：求90和25的最小公倍数。
解：90-25×3=15（这里虽有15
25-15=10（10│90，10+25），继续减
15-10=5（5│90，5│25）
这种方法实质上也可直接用辗转相减后乘法，不过后者方法比前者方法更简捷、方便。
八、大数翻倍法
所谓大数翻倍法就是要求两个数的最小公倍数，可以将大数从两倍找起，直到找出的数是小数的倍数（即出现新的倍数关系为止），这个倍数就是这两个数的最小公倍数。
如：求6和15，14和20的最小公倍数。
解：15的倍数有30，因为30是6的倍数，所以30是6和15的最小公倍数，即[6，15]=30。又因为20的倍数有40，60，80，100，120，140，由于140是14的倍数，所以140是14和20的最小公倍数，即[14，20]=140。
特例：如果大数本身就是小数的倍数，则这两个数的最小公倍数就是大数。
九、小数缩倍后相乘法
小数缩倍后相乘法就是求两个数的最小公倍数。如果这两个数不成倍数关系，就把小数依次除以2，3，4，5……直到除得的商能整除较大数为止，然后用这个商除以较大数所得的商与原来小数相乘所得的积就是这两个数的最小公倍数。
如：求[10，75]和[25，30]。
解：①因为小数10能被2整除，商是5，而且75÷5=15（整除），所以[10，75]=15×10=150。
②因为小数25能被5整除，商是5，且30÷5=6，所以[25，30]=6×25=150。
十、特征相乘法
所谓特征相乘法就是根据求最小公倍数的那几个数所具有的能同时被某数整除的特征，然后口算出这些特征数的乘积去除以两个数所得的商（要求这两个商互质为止）与能同时整除这两个数的特征数的乘积，就是这两个数的最小公倍数。
如：求12和18的最小公倍数。
解：①根据12，18能同时被2整除的特征是2。②又根据12和18能同时被3整除的特征是3（如还有其他能同时整除的特征，继续往下找）。③2和3的乘积为6，12和18分别除6得的商分别是2和3，因为2和3互质。
倍数与因数篇4
《倍数和因数》教学反思因数和倍数是一节数学概念课,新教材在引入倍数和因数概念时与以往的老教材有所不同,比如在认识“因数、倍数”时,不再运用整除的概念为基础,引出因数和倍数,而是直接从乘法算式引出因数和倍数的概念,目的是减去“整除”的数学化定义,降低学生的认知难度,虽然课本没出现“整除”一词,但本质上仍是以整除为基础。教材利用一个简单的实物图(2行飞机,每行6架)引出一个乘法算式2×6=12,通过这个乘法算式直接给出因数和倍数的概念。我觉得这部分内容学生初次接触,对于学生来说是比较难掌握的内容。尤其对因数和倍数和是一对相互依存的概念,不能单独存在,不是很好理解。我通过捕捉生活与数学之间的联系,帮助学生理解因数倍数相互依存的关系。所以在上课之前我特意和孩子们玩了一个小游戏。用“我和谁是好朋友”这句话来理解相互依存的意思。即“我是谁的好朋友”,“谁是我的好朋友”,而不能说“我是好朋友”。学生对相互依存理解了,在描述因数和倍数的概念时就不会说错了。对于这节课的教学,我特别注意下面几个细节来帮助学生理解因数和倍数的概念。我在教学时注意了以下几点:
一是教材虽然不是从过去的整除定义出发,而是通过一个乘法算式来引出因数和倍数的概念,但本质上任是以“整除”为基础。所以我上课时特别注意让学生明白什么情况下才能讨论因数和倍数的概念。我让学生看课本上的红色字体,提醒学生只在正数学范围内研究因数与倍数。
二是要学生注意区分乘法算式中的“因数”和本单元中的“因数”的联系和区别。在同一个乘法算式中,两者都是指乘号两边的整数,但前者是相对于“积”而言的,与“乘数”同义,可以是小数,而后者是相对于“倍数”而言的,两者都只能是整数。三是要注意区分“倍数”与前面学过的“倍”的联系与区别。“倍”的概念比“倍数”要广。可以说“15是3的5倍”,也可以说“1.5是0.3的5倍”,但我们只能说“15是3的倍数”,却不能说“1.5是0.3的倍数”。我在课堂上反复强调,帮助孩子们认真理解辨析,所以学生一节课下来对这组概念就理解得比较透彻,可能不会模糊了。
倍数与因数篇5
人类从“计数”开始就和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把相反意义的整数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们合起来叫做整数（现在，自然数的概念有了改变，包括正整数和0）。对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行，也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数，但整数之间的除法并不一定能够在整数范围内无阻碍地进行。于是，人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性，数学家对于数论中一个最基本的问题――整除性问题有了系统的研究，关于质数、合数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用。
教学价值
在学生已经掌握了许多自然数的知识之后，系统地教学分数的意义和性质之前，可以使学生进一步丰富自然数的知识，了解自然数之间存在的倍数与因数关系，体会自然数都有因数，而且不同自然数的因数个数是不同的。这些内容还能为以后教学分数知识做必要的准备。更重要的是为后续的有关初等数论的学习打基础。
教学安排
在小学阶段的数学教学中，苏教版课程标准实验教科书《数学》将此内容安排在：四年级（下册）第九单元《倍数和因数》和五年级（下册）第三单元《公倍数和公因数》。四年级下册安排：①了解自然数之间的倍数与因数关系，求一个数的倍数或因数的方法。②2、3、5的倍数的特点，以及偶数、奇数等知识。③素数与合数的概念和判断方法。五下安排：①理解公倍数、最小公倍数的意义，学会找两个数的最小公倍数的方法。②理解公因数和最大公因数的意义，学会找两个数的最大公因数的方法。
理解与不解：
“改变一”：概念定义方式的改变。
在以往的教材中，都是通过除法算式来引出整除的概念，每个除法算式对应着一对有整除关系的数，如b÷a=n表示b能被a整除，b÷n=a表示b能被n整除。在此基础上再引出因数和倍数的概念。而新教材是从把12个小正方形摆成不同的长方形引入，再让学生写出不同的乘法算式，从而揭示倍数和因数的概念。
教材中没有用数学化的语言给“整除”下定义，而是通过学生比较熟悉的摆图形引出三道乘法算式，再通过其中一道乘法算式（如2×6=12）直接给出“倍数”和“因数”的概念。通过这个乘法算式直接给出因数和倍数的概念。这样，学生不必通过12÷2=6得出12能被2整除，进而2是12的因数，12是2的倍数。再通过12÷6=2得出12能被6整除，进而6是12的因数，12是6的倍数，大大简化了叙述和记忆的过程。而是用一个乘法算式2×6=12可以同时说明“2和6都是12的因数，12是2的倍数，也是6的倍数”。实际上，由于乘除法本身就存在着互逆关系，借助整除的模式na=b来引出因数和倍数的概念，与“倍数”“因数”概念的产生背景是本质上的统一而表达形式上的不同。
这种“以形带数――数形结合”的方法，是签于学生在前面学习过程中已经具备了大量的区分整除与有余数除法的知识基础和认知经验，对整除的含义已经有了比较清楚的认识，不出现整除的定义并不会对学生理解其概念产生任何影响，这是符合数学逻辑――数的整除性的。“以形带数――数形结合”的方法更是为了符合学生的认知规律，四年级的学生处于形象思维向抽象思维过渡、转型的阶段，利用图形的拼摆可以使枯燥、抽象的数学概念“形”象化，使学生乐于接受。
但是，由于小学阶段涉及的都是具体的数据而非字母运算，
并在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中明确规定：求一个数的因数、倍数以及求两个数的公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的范围“在1～100的自然数中，能找出10以内某个自然数的所有倍数”“能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数”“在1～100的自然数中，能找出某个自然数的所有因数，能找出两个自然数的公因数和最大公因数”。因此并未感受到采取乘法算式引出因数和倍数的弊端，而如果数较大或者在字母运算中，这一定义并不能提供判断两个数是否存在整除关系的一般性方法。不知这种变式理解整除概念的教学方式是否会给学生的后续学习带来一些不便？
“改变二”：删除了分解质因数的教学内容。
“分解质因数”和“用短除法分解质因数”不再作为正式教学内容。在以往的教材中，“分解质因数”及“用短除法分解质因数”是作为求最大公因数、最小公倍数的基础知识和技能安排的，因此，“分解质因数”一直作为必学内容编排。而在本册教材中，由于允许学生采用多种方法求最大公因数和最小公倍数，“分解质因数”失去了其基础知识的作用，因此不再作为正式教学内容，短除法也只作为一个补充阅读，安排在“你知道吗？”栏目中介绍。
既然学生已经学习了素数（质数）和合数的概念、会根据乘法算式找一个数的因数、掌握了2、3、5的倍数的特征，这些知识的掌握已经为教学分解质因数的知识做好了储备，此处教学内容以后会不会再安排分解质因数的教学内容呢？或者教师个人能否把“你知道吗”栏目中的内容作为补充内容教给学生呢？
如果小学数学中利用分解质因数进行分数的运算，后续学习可将其原理和方法推广到数学中的分式计算，其基本方法也是把分式中的分母先进行因式分解，再取它们的最小公倍式作为公分母，如果公分母取的不是最小公倍式而是其他公倍式，其计算程度的复杂将会大大增加。
倍数与因数篇6
但在实际教学中也出现了两位老师在教同一教学内容《求三个数的最小公倍数》时，采用了不同的教学方法，体现出不同的教学理念，同样也得到了迥然不同的教学效果的情况。我们试图从这两个具体的案例分析中，探讨一些大家关心的问题。
[案例a]
……
师：同学们，已经会求两个数的最小公倍数了，下面我们就开始研究三个数的最小公倍数吧！请大家用求两个数的最小公倍数的方法来求6、8和12的最小公倍数。并指名生4板演。
2|6 8 12
3 4 6
6、8和12 的最小公倍数是：2×3×4×6=144。
师：大家还有不同的结果吗？
生5：我求出的最小公倍数是72。
生6：我求出的最小公倍数是48。（生5和生6的回答并没有引起教师太多的注意，而是继续按自己的教学思路进行下去。）
师：既然大家求出的最小公倍数都不一样，那么老师通过找倍数的方法求出了6、8和12的最小公倍数是24。出示投影：
6的倍数是：6、12、18、24、30……
8的倍数是：8、16、24、32、40……
12的倍数是：12、24、36、48、60……
那么为什么6、8和12的最小公倍数是24，而不是48、72或144呢？下面请大家一起来把这些数分解质因数，看看到底是什么原因？（这时学生对于教师的意图可能有点摸不着头脑，但还是认真听着教师的教学，教师也并没有太多顾及学生的学习状态和学习动力。）
把6、8和12分解质因数得到：6=2×3
8=2×2×2
12=2×2×3
要找到6、8和12 的最小公倍数我们应该先找到它们的哪一个公有质因数呢？
生7：我们可以先找出它们的公有质因数2。
师：还有其他公有质因数吗？
生8：6、8和12似的公有质因数没有了。
师：那么这样就能得到它们的最小公倍数24了吗？（这时教师显然在暗示学生8只找到一个公有质因数2还是不能得到最小公倍数24的。）
生9：这样算出的结果还是2×3×2×2×2×3=144吗？
师：你们就不会在找找两个数有没有公有质因数吗？（教师已注意到了学生此时产生的疑惑，可能是感觉到没有会解决这个问题，或者是考虑后面的教学，又一次以反问的方式把再找任意两个数的公有质因数的方法向学生和盘托出，使学生丧失了一次探索和发展的机会。）
……
[案例B]
……
师：有的时候也需要求三个数的最小公倍数。（出示课题：求三个数的最小公
倍数）请你们来猜想一下求三个数的最小公倍数可以怎样求？
生1：我觉得求三个数的最小公倍数的方法和求两个数的最小公倍数的方法差不多。
生2：我认为三个数的最小公倍数的求法就是和两个数的方法是一样的。
生3：我同意他的想法，只是我不明白其中的道理。
……
生4：老师，我觉得三个数的最小公倍数的求法和两个数的最小公倍数的求法应该有所不同。
师：好，那就请大家用自己的猜想方法来试求6、8和12的最小公倍数吧。
请两种不同想法的持有者同时板演。
2| 6 8 12 2| 6 8 12
3 4 6 2| 3 4 6
3| 3 2 3
1 2 1
6、8和12的最小公倍数 6、8和12的最小公倍数是：
的是：2×3×4×6=144。 2×2×3×2=24。
师：这是两种不同的结果，下面的同学们还有不同的结果吗？
生5：我的做法是 2| 6 8 12
2|3 4 6
3 2 3
6、8和12的最小公倍数是2×2×3×2×3=72。
生6：我的做法是 2| 6 8 12
3| 3 4 6
1 4 2
6、8和12的最小公倍数是2×3×4×2=48。
教师把这两种做法也同样板书于黑板上。
师：现在大家已经见到了四种不同的结果，到底哪一种的结果是6、8和12的最小公倍数呢？下面请大家运用分解质因数的方法和求两个数的最小公倍数的分析方法来研究怎样可以使得到的数是三个数的最小公倍数？
[根据已有学习经验让学生来猜测相关连学习内容的解决方法，由于一位学生的意外发言，使原来的教学设计思路受到了冲击，教师当即改变了原来的教学计划（出示教师准备的反例提出研究问题），让两种意见的持有者同时上来板演，充分利用其他学生的反馈资源，灵活应变，组织学生对不同做法进行对比、分析、讨论和研究。]
教师组织学生进行小组研究学习，同时参与到小组研究学习中去。
在巡视中发现学生都把6、8和12进行分解质因数，结果如下：6=2×3，8=2×2×2，12=2×2×3。
生7：我通过分解质因数发现它们三个数都有一个公有质因数2，这个2应该只取一个。
生8：我又发现6和12也有一个公有质因数3，这个数也要取出来，否则结果就会扩大3倍的。
生9：照此推理，我还有发现：8和12也有一个公有质因数2。
生10：从以上过程中我认识到刚才我们在求三个数的最小公倍数时只注意到按照求两个数的方法来找出三个数的公有质因数，使求得的最小公倍数并不是最小的。
生11：我认为求三个数的最小公倍数时首先要把三个数的公有质因数找出来只取一个2，再把任意两个数的公有质因数也找出来只取一个2和3，最后把所有公有质因数和独有质因数相乘起来，求出的乘积就是它们的最小公倍数。
生12：从刚才的研究过程中我理解了求三个数的最小公倍数的方法和求两个数的最小公倍数的方法有所不同。因为求两个数的最小公倍数时找出的只有它们两个数公有的质因数，而求三个数的最小公倍数时除了找出三个数的公有质因数外，还要找出任意两个数的公有质因数，这样求出的数就是它们最小的公倍数了。
生13：我觉得我们应该向生4同学学习，要像他一样遇到问题要多分析、多思考、多问个为什么？只有这样才能使自己的学习效果更上一层楼。
生14：我现在清楚地认识到求三个数的最小公倍数时只有把三个数和两个数的公有质因数都只取一个，才能使公倍数是最小一个，否则得到是最小公倍数的几倍数。例如我刚才做时就是没有把4和2的公有质因数2找出来，所以得到的数是最小公倍数24的2倍。其他做错的同学都是犯了这样的错误。我讲的对吗？
生15：老师，我现在有点明白求三个数的最小公倍数的意义和方法了。但是我有一个问题：为什么最后求到1、4、2不行，而求到1、2、1就是正确的呢？
师：这个问题很好，谁来替他揭开心中的谜团？
生16：我认为1、4、2之所以是错误的，是因为在着三个数中4和2还有公有质因数2，而1、2、1这三个数中每两个数都已经是互质数了，除了1再也找不出其他的公有质因数了。
生4举手发言：我通过课前预习和刚才研究发现求三个数的最小公倍数时三个数的商一定要除到两两互质为止。
师（作迷惑状）：什么是两两互质？你们是怎样理解的？
生17：两两互质和互质数是不一样的。公约数只有1的两个数是互质数，两两互质要三个数里任意两个数都是互质数关系。例如1、2、3里1和2只互质数，2和3是互质数，1和3也是互质数，共有三组互质数，才是两两互质。
师：听你一讲，我明白了。那谁再来举几个这样的两两互质的例子。
生18（自告奋勇）：例如1、2、5就是两两互质。因为1和2是互质数，1和5是互质，2和5也是互质数，任意两个数都是互质数关系。
生19（班级里的小作家）：老师，根据今天所学的内容，我编了一首打油诗“三个数儿一横排，三个两个依次找，除到两两互质数，公有独有乘起来”。
（掌声）……
[写在后面]
在[案例a]中，教师的教学行为告诉我们这样一个信息：“以本为本”作为处理教材、教学计划的基本原则，教学就是要严格地、忠实地执行教学计划的过程。应该说，教师对“求最小公倍数”的教学做了精心设计，其中就包括如下预期：学生会注意到两个数的最小公倍数和三个数的最小公倍数有所区别，学生会提出自己的疑问，学生会依据求两个数的最小公倍数的意义和方法来学习求三个数的最小公倍数。但从实际教学中，教师的预期无一出现，于是就促使教师甩出第一招：“老师用找倍数的方法找到6、8和12的最小公倍数是24，这是什么原因呢？”将学生的注意力硬拽到了教师的预期轨道上，接着提出第二个问题：“我们可以用分解质因数的方法来找出6、8和12的公有质因数，求出它们的最小公倍数吗？”把问题的解决办法向学生和盘托出，从教学进度上和教学流程上保证了预先设计的教学计划的“顺利”进行，而这是建立在违背学生的心理发展规律和牺牲学生发现、探索和创造的机会为代价的。
倍数与因数篇7
人教版教材五年级下册“2，5的倍数特征”，p17－p18
【教学目标】
1．让学生经历“举例―猜想―检验―说理”探索2的倍数特征的过程，总结方法用以探索5的倍数特征，为进一步探索其他数的倍数特征做好学法准备。
2．让学生经历从“数的倍数特征与各个数位上数字有关”到“2、5的倍数特征只与数的个位数字有关”的探索过程，为今后探索其他数的倍数特征做好思路铺垫。
3．让学生体会论证的力量，感受数学知识之间的广泛联系，掌握2、5的倍数特征，能解决简单的问题，进而理解同时为2、5倍数的数的特征。
【教学过程】
一、谈话引入
师：上一节课我们已经学习了“因数和倍数”，这节课我们来学习有关“2和5的倍数”的知识。先来研究2的倍数有什么特征。
二、展开探究
1．举例归纳，形成猜想
师：请同学们写出一些2的倍数。（学生边说教师边板书）观察这些数，它们有什么共同的特征？
生1：个位上的数字都是0，2，4，6，8。
生2：个位上的数字都是2的倍数。
师：你们的意思是个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数？（板书：猜想“个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数”）
2．检验猜想，丰富例证
师：刚才大家列举的数都比较小，如果是四位数或更大的数，是不是也必须符合这样的条件呢？下面，就请同学们写出一些个位是0，2，4，6，8的四位数或者更大的数，然后用计算器算一算，它们到底还是不是2的倍数？
（学生举例验证，汇报：都是2的倍数）
师：有没有同学写出的数个位是0，2，4，6，8的，但又不是2的倍数的？（学生面面相觑，表示没有找到这样的数）
师：看来，确实很有可能凡是个位数字是0，2，4，6，8的数就是2的倍数。那么，是不是2的倍数的个位数字必须是0，2，4，6，8呢？举例试试看。（板书：猜想“2的倍数的个位数是0，2，4，6，8”）
（学生举出个位数字不是0，2，4，6，8的数，即个位数字是1，3，5，7，9的数，经检验都不是2的倍数）
师生（小结）：经检验，个位数字是0，2，4，6，8的数是2的倍数；2的倍数的个位数是0，2，4，6，8。
【评析：2的倍数特征实际上是一个含有充要条件的命题，一方面“个位上的数字是0，2，4，6，8的数是2的倍数”，另一方面“2的倍数的个位数字是0，2，4，6，8”，前者需要举的例子是个位上的数字是0，2，4，6，8的数，后者要举的例子是个位上的数字不是0，2，4，6，8（即1，3，5，7，9）的数都不是2的倍数，这当中的逻辑严谨性往往是容易被我们忽视的。因此，尽管学习的经历已经让学生累积了一些2的倍数特征的感性经验，教学还是选择了让学生完整经历举例、猜想、验证的过程，在让学生有更加充分的时间梳理已有知识经验的同时，感受数学推理的完整性和严密性。】
3．聚焦数位，说理论证
师：要证明这两个猜想是否正确，一种办法是对所有的数进行验证，这显然是不可能的。有没有其他的办法能一劳永逸地证明2的倍数只与个位数字有关，与其他数位上的数字无关呢？（停顿片刻）按理来说能否成为一个数的倍数应该与这个数的各个数位上的数字有关，而不仅仅是个位数字。这是怎么回事呢？（停顿片刻）我们能不能把一个具体的数拆成由各个数位上的数组成的数，比如，324＝300＋20＋4（板书），看看里面到底藏着怎样的“2的倍数的秘密”？请大家按下面要求，先独立思考，再小组交流：（1）举例：每个小组选择5个或以上的数（含几个不是2的倍数）；（2）分析：拆成“各个数位上数之和”的形式，2的倍数与和中的哪些数有关？（3）讨论：为什么2的倍数特征，只要看这些数的个位数字？
学生小组汇报情况如下。
小组1：234＝200＋30＋4，57＝50＋7，5368＝5000＋300＋60＋8，137＝100＋30＋7，999＝900＋90＋9，除了个位数外，其余数位上的数字所代表的数的个位都是0，已经是2的倍数，所以只要看个位就可以了。
小组2：33＝3×10＋3，157＝15×10＋7，7654＝765×10＋4，258＝25×10＋8，8546＝854×10＋6，这些数可以表示成×10＋的形式，×10肯定是2的倍数，所以只要看个位就可以判断了。
小组3：所有的数都能拆成“……＋×1000＋×100＋×10＋”的形式，除了个位外，其他的数位上数字所代表的数都已经是2的倍数了，所以，判断一个数是不是2的倍数，只要看这个数的个位数字是不是2的倍数。
……
师（小结）：通过刚才的交流、讨论，我们知道了一个数是不是另一个数的倍数，实际上跟这个数的每一位上的数字有关，对于2来说，个位前面的那些数字所代表的数都已经是2的倍数，所以判断一个数是不是2的倍数只要看个位数字是不是2的倍数，如果个位数字是2的倍数，那么，这个数就是2的倍数。反过来说，如果一个数是2的倍数，则这个数的个位数字必须是2的倍数。
【评析：归纳推理（不指数学归纳法）属合情推理，通常有助于形成猜想，却往往不能保证结论正确。保证结论的正确需要演绎推理。通常认为，“不完全归纳”是小学生学习数学法则、规律的主要方式，教材关于2、5、3的倍数特征中的教学也作了这样的安排。先学2、5的倍数特征给了学生研究数的倍数特征先看个位的印象，待学习3的特征时，学生很自然就去看个位，虽然很快发现这个方法行不通，但又不知进一步的研究从何而入，教师也不知道接下来究竟该怎么办，只好挖好“陷阱”让学生往“与各个数位上的数字有关”里跳，这基本上就是在“已知事实”暗示下进行的“伪归纳”。最后，学生不知道2、5的倍数为什么看个位，3的倍数为什么要看各个数位，只能记住而已。这就需要回到数学的原点思考解决问题的方法。事实上，研究一个数的倍数特征，正常的思维是先全面考察这个数各个数位上的数字（基于位值原则的拆数是一个重要的视角），再从中找出规律（如果学生有兴趣探究“4、8、25”的特征，则更应如此），这就为后续的探索研究作了知识和思路的铺垫，进而帮助学生澄清知识本质。本课通过“为什么只要看这些数的个位数字”的问题引发留有恰当停顿的连续提问，引导学生尝试将数进行逐位拆分，通过观察、比较发现：所有的自然数都能表示成“……×100＋×10＋”的形式，进而证明结论的正确性。】
4．基本练习，体会优越
教师多媒体出示：下面各数中，哪些是2的倍数？
339835598401233678
808910006555656881
让学生体会直接利用特征判断的优越性。
三、学法迁移
1．提出问题，小结学法
师：掌握倍数的特征能帮助我们快速地解决问题。接下来“5的倍数特征”该怎么研究呢？（停顿）我们是不是先来总结一下研究“2的倍数特征”的方法？
生：先举例，再形成猜想，再举例验证，最后拆数说明为什么与个位数字有关的道理。
师（板书：举例―猜想―检验―说理）：下面我们就尝试用这种方法来研究“5的倍数特征”。
2．学法迁移，探索新知
学习要求：（1）举例、猜想、验证，归纳出5的倍数特征；（2）说理：为什么有这样的特征？（3）小组交流，并准备汇报。
小组汇报情况如下。
生1：我们发现5的倍数特征就是个位数字是0或5的数。因为除个位之外，其他数字所代表的数都已经是10的倍数，也就是5的倍数，所以，只要看个位就行了。
生2：我们认为个位是0或5的数，就一定是5的倍数。所有的数都能拆成“……＋×1000＋×100＋×10＋”的形式，因为十位、百位、千位上的数字所代表的数都已经是10的倍数，即5的倍数，所以只要判断个位就可以了。
……
【评析：从归纳到演绎，这是数学发现的一般规律。这一环节，在小结“2的倍数特征”研究方法的基础上，进行迁移应用――用这种方法来研究5的倍数特征，巩固了学法，为后续探究其他数的倍数特征奠定了基础。】
四、巩固提高
1．及时巩固，适当拓展
呈现问题：将下面的数按要求填在相应的圈内。
24、35、67、90、99、1560、60、75、106、130、521、2
■
师：这两个交叉圆圈分别表示什么意思？
生1：左边的区域是填2的倍数，右边的区域是填5的倍数，中间交叉区域填的既是2的倍数，又是5的倍数。
师：观察这些既是2的倍数，又是5的倍数的数，你们又有什么发现？
生2：个位是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。
师：为什么？
生2：2的倍数个位数字是0，2，4，6，8；5的倍数的个位数字是0和5，那么，既是2的倍数，又是5的倍数的数个位数字只能是0。
（板书：画两个交叉圆，一个表示2的倍数特征，一个表示5的倍数特征，填入相应的个位数字）
生3：一个数既是2的倍数，又是5的倍数，就一定是10的倍数，10的倍数个位上必须是0。
师：很好，像这些个位是0，2，4，6，8的数，也就是2的倍数的数又叫做偶数；个位是1，3，5，7，9的数，也就是说不是2的倍数的数又叫做奇数。（板书：偶数、奇数）
2．综合应用，培养能力
问题：把4、35、31也填入上图的区域中。
生4：4，无论填什么数都是2的倍数，因为只要个位是0、2、4、6、8的数，一定都是2的倍数。
师：那么35又应该放到哪个区域呢？为什么？
生4：35因为个位是5，所以一定是5的倍数。
师：31呢？
生5：如果31的里写0、2、4、6、8，那就是2的倍数，如果里写0或5就是5的倍数。
生6：我来补充，如果31的写0，那就是310，这个数既是2的倍数，也是5的倍数，填在中间这个区域。
【评析：练习的第1题起到了及时强化2和5倍数特征的作用，并适时引入了“偶数和奇数”的概念，同时还巧妙地利用维恩图的表示功能，形象直观地揭示了同时是2和5的倍数的特征，学生再次经历现象归纳、演绎说理的过程。第2题则是第1题的深化，借助三个“不确定”的数，培养学生在干扰的情境中正确使用概念和解决问题的能力，增添学习乐趣。】
倍数与因数篇8
42和12的最小公倍数是84，两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。整数a、b的最小公倍数记为[a，b]，同样的，a、b、c的最小公倍数记为[a，b，c]，多个整数的最小公倍数也有同样的记号。
与最小公倍数相对应的概念是最大公约数，a、b的最大公约数记为（a，b）。关于最小公倍数与最大公约数，我们有这样的定理：(a，b)*[a，b]=ab(a，b均为整数)。
最小公倍数的适用范围：分数的加减法，中国剩余定理。因为，素数是不能被1和自身数以外的其它数整除的数；素数X的n次方，是只能被X的n及以下次方，1和自身数整除。所以，给最小公倍数下一个定义：S个数的最小公倍数，为这S个数中所含素因子的最高次方之间的乘积。
（来源：文章屋网）
倍数与因数篇9
“因数与倍数”的知识，一直是小学数学教材中的重要内容。也是小学数学教学的难点。今年，我所带的学生升入五年级，我也就随着介入了五年级数学的教学中，进而在教学中涉及到了“因数与倍数”的问题。教学最大公因数和最小公倍数时遇到了困惑。
第一单元“倍数与因数”时，学生学习了利用乘法算式找因数，在第三单元教学最大公因数和最小公倍数时求公因数时课本给出的方法是列举法。以找12和18的公因数为例，先用想乘法算式的方式分别找12和18的因数，列举出来，再找出公有的因数和最大公因数。在此基础上，引出公因数与最大公因数的概念。教材设定的教学目标为：1、探索找两个数的公因数的方法，会用列举法找出两个数的公因数和最大公因数。2.经历找两个数的公因数的过程，理解公因数和最大公因数的意义。根据课标要求，我这样安排教学，先让学生分别找出12和18的因数，并交流找因数的方法。再让学生将这些因数填入两个相交的集合。引导学生重点思考的问题是：两个集合相交的部分填哪些因数？教师组织学生展开讨论，引导学生理解“两个数公有的因数是它们的公因数，其中最大的一个是它们的最大公因数”。通过两个习题的尝试，学生初步感知并逐渐理解了如何找公因数的方法以及怎样找到最大公因数。但是，问题是一：用时太长，二：部分学生在列举因数时有遗漏，还有的在找公因数时有遗漏。课本在课后的“你知道吗？”展示了“短除法”作为一个补充知识，简单进行介绍并不要求学生掌握。这样，找最大公因数和最小公倍数不仅很耗时间而且准确率不高，怎么办？作为教师，应该怎样去教这一部分内容呢？记得以往的教材中，安排的求最大公因数和最小公倍数的首选方法就是短除法，那么，到底要不要教给学生短除法呢？从相关的教育书刊中，我了解到一线的教师都有这样的疑惑，关于到底是否教短除法，众说纷纭。也为进一步了解短除法，解决学生的问题，我翻阅资料，关于短除法有这样的介绍。
材料一：用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数。
1.什么是短除法？
短除法是把一般除法竖式中除的过程加以简化，除的时候每次把除数写在被除数的左边，把商写在被除数的下面。如：
28÷2写成228的形式。计算过程如下：
228
214
7
28除以2得到14，14除以2得到7。（7不是余数）
2.用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数。
例如：12和18。
21218…………先同时除以公因数2；
369…………再同时除以公因数3；
23…………除到两个商只有公因数1为止。
把所有的除数连乘，得到：
12和18的最大公因数是2×3=6。
把所有的除数和最后的两个商连乘，得到：
12和18的最小公倍数是2×3×2×3=36。
用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数，一般都用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止，把把所有的除数连乘，就得到这两个数的最大公因数；把所有的除数和最后的两个商连乘，就得到这两个数的最小公倍数
了解了短除法，我发现短除法也有它的有效性，和列举法相比较，教材中找“公因数”的列举法看上去比较“原始”，但是非常通俗易懂，便于学生掌握，只是过程繁琐，慢，易错，尤其是数字大了后就更显繁琐；想到学生在后面学习分数加减法时才大量的用到最小公倍数和最大公约数，这就要求学生很快找到几个数的最大公因数和最小公倍数，如果还用列举法一个一个地去列举出来，再寻找最大的公因数或最小公倍数，且不说会出错，就算是不出错，效率也太低了。鉴于此，我打算在学生掌握了列举法之后，再将短除法也教给学生，让他们选择性的去用。
倍数与因数篇10
帮助学生积累数学活动经验正日益成为小学数学教学的目标追求。教师在教学设计与实施过程中，应精心设计数学活动，帮助学生积累活动经验。下面以《倍数和因数》一课的教学为例，谈谈如何在数学教学中帮助学生获得、提升和迁移数学活动经验。
【片段一】把数学活动经验提升为数学思想
师：如果不给乘法算式，而是给出3、12、36，请围绕因数和倍数说几句话。
生：3是36的因数，12是36的因数；36是3的倍数，36也是12的倍数。
师：其实在说之前，他想了什么算式？
生：12×3＝36，36÷3＝12，36÷12＝3。
师：还可以说哪些话？
生：12是3的倍数。
师：对啊，12是3的倍数，36也是3的倍数。那么，3的倍数还有哪些？
生：3。
师：怎么想出的？
生1：3×1＝3，所以3是3的倍数。
生2：6是3的倍数，因为3×2＝6。
师：接着写哪个数？写得完吗？
生：9、12、15……写不完。
师：那么你们是怎样一个个找到的？
生：用3乘一个个自然数得到的。
师：真好，这就是一种有序的思考方法。（板书：有序）
【赏析】上述教学片段中，教师引导学生说出“3的倍数还有哪些”，让学生经历自主发现的过程，然后引导学生反思和回顾探索的过程和方法，并加以提炼，把活动经验提升为“有序思考”这种基本的数学思想。小学生数学活动经验的获得与积累，需要与观察、操作、猜想、验证等具体数学活动联系在一起，并产生于这些活动过程之中。由于数学活动经验具有实践性、个体性特征，所以教师应设法为学生设计好数学活动，并引导学生经历学习过程，让学生在活动中操作观察、体验交流、感悟提升，逐步积累并提升属于自己的数学活动经验。
【片段二】把数学活动经验提升为学习方法
师：试着找找2、5的倍数，写出5个后写上省略号就行。
学生汇报。组织观察：一个数的倍数有什么特征？
生：最小的是这个数本身。
师：那么最大的呢？
生：是不存在的，因为一个数的倍数有无数个。
师：请大家回顾一下，刚才是怎样来观察一个数的倍数的特点的？
生1：刚才我们找出了倍数中最小、最大的数。
生2：我们还从倍数的个数上来说了一个数的倍数的特点。
师：对，从这三个方面我们能找出一个数的倍数的共同特点。（教师相机板书）
【赏析】数学活动经验具有内隐性，教师要注意引导学生反思与评价，提炼并外显所获得的数学活动经验，把数学活动经验提升为数学学习方法。上述教学片段中，教师首先让学生进行具体的写倍数活动，再组织观察，讨论一个数的倍数具有什么特点。在学生交流汇报的基础上，引导学生回顾“探索和发现”的过程，获取数学活动经验，并帮助学生把这种探索发现的经验总结提炼为数学学习方法。我们知道，仅停留在感性层面的经验是粗浅的，不易被学生主动把握，需要通过一定的教学手段予以提炼和外显。因此，课堂中教师的评价、强化，以及归纳小结时要引导学生对数学活动经验进行提炼、总结、提升，使之条理化和经验化。
【片段三】迁移运用数学活动经验
在教学找一个数的倍数方法之后，教师要求学生找出36的所有因数。学生小组合作尝试找，然后组织展示。
生1：36、18、12、9、6。
生2：1、362、183、124、96、6。
师：第二位同学找全了吗？猜猜他是怎么找的？
生：他是从1开始，一对一对找的。想几乘几等于36，这两个数都是36的因数。
师：嗯，他有序地想乘法算式来找一个数的因数，这样不会遗漏。（板书：不遗漏）
生：他多写了一个6，因为已经重复了。
师：对，照这样找下去，到重复出现前面的因数时，就可以停止了。有序的思考还能做到不重复。（板书：不重复）
……
师：一个数的因数有什么特征？
生：最大的一个因数总是这个数本身，最小的都是1。
师：根据刚才发现一个数的倍数特点的经验，还要看看因数的个数有什么特点？
生：一个数的因数的个数是有限的。
师：是啊，找因数时要一对一对地找，从最小的开始，想到1就想到本身，然后一个个往中间找，因此一个数的因数的个数是有限的。
【赏析】数学活动经验具有发展性，教师除了要帮助学生积累、获得经验之外，还要创设机会让学生加强应用，巩固数学活动经验。上述教学片段中，教师让学生们猜猜生2是怎样找全36的所有因数的，这其实是在帮助学生回顾整理活动过程，提炼活动经验。而之前在找一个数的倍数时所获得的有序思考的活动经验，则在探索新知时得到了有效的迁移。同样，在发现一个数的因数的特点时，教师又注意帮助学生迁移先前观察一个数倍数特点的经验。学生数学活动经验的积累，是一个循序渐进的过程，加强迁移应用，可以促进学生的数学活动经验上升到更高的水平，实现经验的改造或重组。
【片段四】反思学习过程积累经验
师：学到这儿，让我们回过头来想一想，这一节课我们学习了什么，又是怎样学的？
课件出示：（1）我们是根据怎样的算式找到倍数和因数关系的？（2）怎样找出一个数的倍数和因数的？（3）一个数的倍数和因数有什么特点？
学生小组为单位讨论，然后交流……
【赏析】