数学建模的正确步骤篇1
【关键词】数学建模；方法；步骤
一、什么是数学建模
数学建模简单地讲就是用数学的知识和方法去解决实际问题.要学习数学建模，应该了解如下与数学建模有关的概念：
原型：人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象称为原型.原型有研究对象、实际问题等.
模型：为某个目的将原型的某一部分信息进行简缩、提炼而构成的原型替代物称为模型.
数学模型：由数字、字母或其他数学符号组成，描述实际对象数量规律的数学公式、图形或算法称为数学模型.
二、数学建模的方法和步骤
数学建模乍一听起来似乎很高深，但实际上并非如此.例如，在中学的数学课程中我们做应用题而列出的数学式子就是简单的数学模型，而做题的过程就是在进行简单的数学建模.下面我们用一道代数应用题求解过程来说明数学建模的步骤.
例一个笼子里装有鸡和兔若干只，已知它们共有8个头和22只脚，问：该笼子中有多少只鸡和多少只兔？
解设笼中有鸡x只，有兔y只，由已知条件有
x+y=8，
2x+4y=22.
求解如上二元方程后，得解x=5，y=3，即该笼子中有鸡5只，有兔3只.将此结果代入原题进行验证可知所求结果正确.
根据例题可以得出如下的数学建模步骤：
（1）根据问题的背景和建模的目的作出假设（本题隐含假设鸡、兔是正常的，畸形的鸡、兔除外）.
（2）用字母表示要求的未知量.
（3）根据已知的常识列出数学式子或图形（本题中常识为鸡、兔都有一个头，且鸡有2只脚，兔有4只脚）.
（4）求出数学式子的解答.
（5）验证所得结果的正确性.
如果想对某个实际问题进行数学建模，通常要先了解该问题的实际背景和建模目的，然后查找收集与建模要求有关的资料和信息为接下来的数学建模做准备.这一过程称为模型准备.要想把实际问题变为数学问题还要对其进行必要合理的简化和假设，这一过程称为模型假设.有了模型假设后，就可以选择适当的数学工具并根据已知的知识和收集的信息来描述变量之间的关系或其他数学结构（如数学公式、定理、算法等）了，这一过程称为模型构成.在模型构成中建立的数学模型可以用各种传统的和现代的数学方法对其进行求解，还要对获得结果进行数学上的分析，这一过程称为模型求解与分析.把模型在数学上分析的结果与研究的实际问题作比较以检验模型的合理性称为模型检验.利用建模中获得的正确模型对研究的实际问题给出预报或对类似实际问题进行分析、解释和预报，以供决策者参考称为模型应用.
要指出的是上述数学建模的一般步骤中的每个过程不必在每个建模问题中都要出现，只要反映出建模的特点即可.
三、数学建模示例
四足动物的躯干（不包括头、尾）的长度和它的体重有什么关系？这个问题有一定的实际意义.比如，生猪收购站的人员或养猪专业户，如果能从生猪的身长估计它的重量可以给他们带来很大方便.
模型准备：四足动物的生理构造因种类不同而异，如果陷入生物学对复杂的生理结构的研究，将很难得到什么有价值的模型.为此我们可以在较粗浅的假设的基础上，建立动物的身长和体重的比例关系.本问题与体积和力学有关，收集与此有关的资料得到弹性力学中两端固定的弹性梁的一个结果：
长度为L的圆柱形弹性梁在自身重力f作用下，弹性梁的最大弯曲v与重力f和梁的长度立方成正比，与梁的截面面积S和梁的直径d平方成反比，即v∝f·L3Sd2.
利用这个结果，我们采用类比的方法给出假设.
模型假设：1.设四足动物的躯干（不包括头、尾）为长度为L、断面直径为d的圆柱体，体积为m.
2.四足动物的躯干（不包括头、尾）重量与其体重相同，记为f.
3.四足动物可看作一根支撑在四肢上的弹性梁，其腰部的最大下垂对应弹性梁的最大弯曲，记为v.
模型应用：如果对于某一种四足动物，比如生猪，可以根据统计数据确定公式中的比例常数k而得到用该类动物的躯体长度估计它的体重的公式.
数学建模的正确步骤篇2
1、螺杆螺旋线的数学模型
图1所示三段式组合螺杆是典型的要嗓距分件螺杆。在螺杆起始段。为了改善进瓶的平稳性，采用等螺距实现等速送料;在中间段，螺杆的供送加速度由零值依正弦函数变化规律增至最大值，为变加速度段;在后段，瓶子加速运动，以便逐渐增大进瓶的速度和间距，最终与拨瓶星轮同步，为等加速度段。由于变螺距螺杆螺旋线的特殊性，在等加速度段和变加速度段上，螺距关于螺旋线圈数变量的函数是多项式方程，所以不能直接采用变螺距螺旋扫描特征命令对其造型。由于供送螺杆是以螺杆和被供件的空间相贯运动为特点的，两者的相对运动范成出变参数螺杆的槽型，采用范成法构造螺杆三维实体模型，可复现变螺距螺旋曲面的包络形成原理，精确构造出螺杆的各段螺旋曲面。
螺杆设计的原始参数包括:螺杆外径d(mm)、螺杆内径do(mm)、供送件直径ρ(mm)、螺杆转速n(r/min)、变速圈数n、初始螺距so(mm)、拨轮节距s1(mm)螺杆转动到任意点时转动的圈数i。
加速度类型的选择决定了螺杆上各个位置的曝距和螺杆的运动规律。一般的加速度类型包括等速\等加速、半正弦加速以及各种各样的组合形式。下面分析各个运动规律的螺旋线的数学表达式。
1)等速运动段:
2)半正弦加速运动段
3)等加速运动段:
以上的分析推导内容是设计变距螺杆的理论基础。通过这些公式可以编写函数计算出对应于供送件运动任意时刻的位移螺杆上螺旋线的位置，进而确定扫描特征的扫描轨迹。
2变螺距螺杆的造型步骤
pro/engineer(以下简称pro/e)软件系统是美国ptc公司1989年推出的产品，是一个用于产品的三维模型设计、加工分析及绘图等的cad/cae/cam软件系统，利用其扫描特征命令可以方便的构造螺杆的三维实体模型。供送螺杆的参数如下:被供送件直径为ρ为63mm,螺杆的底径do为80mm,螺杆外径d为110mm，等速段螺距so为75mm，变速圈数no为1.5，半正弦加速运动段末端螺距s1为150mm，变速圈数n1为2，拨轮节距st为300mm,变速圈数nt为2，螺杆全长850mm。
步骤1:创建图2所示的实体旋转特征。
选择"插入""旋转"命令，进入草图环境后，绘制旋转特征的截面草图，见图3所示，定义旋转角度为360°，完成特征的创建。
步骤2.绘制图4所示的三段螺旋线。
选择"插入"-"模型基准"-"曲线"命令，在弹出的菜单管理器的"曲线选项"中选择"从方程"然后根据提示选择方程的坐标系，并选择笛卡儿坐标类型。在弹出的记事本界面中，按照式1和螺杆参数在记事本中编辑螺旋线方程，得到等速段螺旋线。重复以上步骤绘制正弦加速度段和等加速度段螺旋线。
步骤3:绘制图5所示的可变剖面扫描。
由于按方程绘制的基准曲线不能作为"扫描切口"命令的扫描轨迹，所以需要按曲面相交的方式生成与三段螺旋线重合的扫描轨迹，两个相交曲面之一为图5所示由螺旋线生成的可变剖面扫描，另一个为圆柱面。见图6所示先绘制一条与轴线重合的直线作为扫描用的原点轨迹，选择"插入"-"可变剖面扫描"，在操控板中选中"曲面"图标，见图6所示选择直线和等速段螺旋线作为原点轨迹和x轨迹。在草绘环境中绘制过圆心的、长度为do+ρ的直线作为扫描剖面，得到对应于等速段的扫描面。重复以上步骤绘制正弦加速度段和等加速度段扫描面。
步骤4用"相交"命令生成图7所示的最终扫描轨迹。
选择"插入""拉伸"命令，在操控板中选中"曲面"图标，创建一个直径为do+ρ的圆柱面。选中步骤3所创建的任一扫描面后，选择"插入"-"相交"命令，根据提示继续选择圆柱面，两面组相交可得到它们的交线曲线链。重复以上步骤可生成整段螺旋线的曲线链。为方便后续造型工作，可将以前步骤生成的曲线和曲面隐藏，只显示曲线链和实体。
步骤5:用"扫描切口"命令完成见图8所示的螺杆模型。
选择"插入"。"扫描'。"切口"命令，在菜单管理器的"扫描轨迹"选项中选择"选取轨迹"，在"链"中选择"曲线链"，并根据提示选取步骤四生成的某段曲线链作为扫描轨迹，并确定截面定义方向和扫描截面的向上方向。在草绘懂截面时绘制圆作为扫描剖面形状见图9，按被供送件直径参数确定圆直径，最后选择要删除的区域，完成扫描切口特征。
数学建模的正确步骤篇3
一、实验室技术人员价值评估的意义
实验教学是高校教学的重要组成部分,实验教学水平的高低直接关系到学生的动手能力、独立思考能力、创新能力和事实求是的作风的培养。实验室师资队伍可以说既是实验教学的直接参与者,又是高校实验教学改革和创新的先导,同时,随着国家对高校实验室建设投入力度的加大,新设备和新技术的不断引入,对实验室人员快速掌握新技术和新设备并利用这些条件积极参与教学和科研活动也提出了更高的要求。
通过对实验室技术人员价值的评估,可以让管理者清楚的了解实验室技术人员队伍的真实水平,有利于实现现有的人力资源和设备的合理配置;有利于引导管理者调整、改善人力资源管理方法的行为;有利于针对性的建立健全人员激励与约束机制;有利于建立公正平等的内部竞争环境,最后实现实验室人员的最优配置,发挥最大的效用。
二、人力资源价值模糊综合评价模型的构建
(一)模型构建的理论依据
经典科学方法的中心思想就是度量精确化,这种方法对处理逻辑概念和命题清晰的问题很适用,但是一些社会科学研究的对象本身并没有一个明确的界定,其类属边界和性质状态都有不确定性,主要表现为非线性、非平衡、随机性、权变等特征。
1965年,美国控制理论专家扎德(L.Z.Zadeh)创立了模糊数学,并首次提出了“模糊性”和“模糊集合隶属函数”的概念,把被评价对象以及反映它的模糊观念作为一定的集合,建立适当的隶属函数,通过相关运算和变换,对模糊对象进行定量分析。本文对高校实验室人力资源的评价也是基于模糊理论,将人力资源要素特征用隶属函数来表示,通过模糊矩阵的变换,用隶属度来描述人力资源的相对价值。
模糊综合评价法就是以模糊数学为基础,应用模糊合成原理,对边界不清、没有明显分界线的评价因素实现量化,进行综合评价的一种方法。评价的结果是被评价对象对既定的各个登记的模糊子集的隶属度,形式上为一个模糊向量,而不是一个点值,因此包含了更多的信息,通过最大隶属度、加权平均原则或模糊向量单值化原则来确定被评对象的优劣等级。
(二)模糊评价模型的构建步骤
步骤1:建立评价指标集U。第一级因素集第二级因素集。
步骤2:确定评语集V。评语集是评价者对被评价对象做出的各种总的评价结果组成的集合,
步骤3:用层次分析法(aHp)求得相对应的权重向量,确定权重分配集第二层权重集
步骤4:进行单因素评价,构建判断隶属矩阵R。
步骤5:合成权重分配集a和隶属矩阵R得到被评价对象的模糊综合评价结果向量B,表示被评价对象从整体上看对等级模糊子集的隶属程度。本文合成a和R的算子为加权平均法。
步骤6:评价结果的单值化处理。将评语集中各因素赋予具体数值,得到最终评判结果。
三、高校实验室技术人员价值模糊综合评价模型的应用
(一)高校实验室技术人员价值模糊综合评价指标的选择
通过上述分析,参照实验室技术人员人员相关评价标准以及专家的讨论,遵循科学性与合理性、实用性与可比性、定性指标与定量指标相结合、全面性和重点性等原则,本文拟选取实验室技术人员基本情况、人员基本素质、培训和发展情况以及实验室工作绩效等四项要素指标作为模糊评价模型第一层次因素集,根据实际情况构建第二级因素集。实验室技术人员价值模糊综合评价指标体系用图1实验室技术人员价值模糊综合评价指标体系图1表示。
(二)高校实验室技术人员价值模糊评价模型的应用
1、确立权重分配集a
采用德尔非法,通过向学校相关领导、专家和实验室员工发放调查问卷,汇总分析后得到权重分配集。
2、建立评语集V
标准,对应的分值为4、3、2、1。
3、建立模糊评价矩阵R
通过问卷调查和查阅相关数据,获得具体的指标值,采用隶属函数和专家打分相结合对指标进行分析,构建评价矩阵。
4、多级模糊评价
一级模糊评价:
(i=1,2,3,4)已经经过了归一化处理。
二级模糊评价:
可以看出,在对实验室技术人员价值的模糊评价中,26.2%的人认为可以评优;有32.3%认为可以评良;26.8%认为可以评中;还有14.7%的人认为可以评差。
5、计算评价的分值t
根据前文对各个等级的赋值,最后得分:
2
数学建模的正确步骤篇4
(1)了解算法的含义，体会算法的思想。
(2)能够用自然语言叙述算法。
(3)掌握正确的算法应满足的要求。
(4)会写出解线性方程(组)的算法。
(5)会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
教学重点算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。.
教学难点把自然语言转化为算法语言。.
学法与教学用具：
学法：
1、写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数n(n>1)是否为质数;求任意一个方程的近似解;……)，并且能够重复使用。
2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。
3、要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。
教学用具:计算机，ti-voyage200图形计算器
教学过程
一、本章章头图说明
章头图体现了中国古代数学与现代计算机科学的联系，它们的基础都是“算法”。
算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。
古代的计算工具：算筹与算盘.
20世纪最伟大的发明：计算机，计算机是强大的实现各种算法的工具。
例1：解二元一次方程组：
分析：解二元一次方程组的主要思想是消元的思想，有代入消元和加减消元两种消元的方法，下面用加减消元法写出它的求解过程.
解：第一步：②-①×2，得：5y=3;③
第二步：解③得;
第三步：将代入①，得.
学生探究：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善?
老师评析：本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。下面写出求方程组的解的算法：
例2：写出求方程组的解的算法.
解：第一步：②×a1-①×a2，得：③
第二步：解③得;
第三步：将代入①，得
利用ti-voyage200图形计算器演示：(吸引学生的注意力)
运行结果：
(其中输入a1=1,b1=-2,m1=-1,a2=2
b2=1,m2=1，当然可输入其它数值)
算法概念：
在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.
说明：
1.“算法”没有一个精确化的定义，教科书只对它作了描述性的说明.
2.算法的特点:
(1)有限性：
一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.
(2)确定性：
算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.
(3)顺序性与正确性：
算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.
(4)不唯一性：
求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.
(5)普遍性：
很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.
例题讲评：
例3、任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判断.
分析：(1)质数是只能被1和自身整除的大于1的整数.
(2)要判断一个大于1的整数n是否为质数，只要根据质数的定义，用比这个整数小的数去除n，如果它只能被1和本身整除，而不能被其它整数整除，则这个数便是质数.
解：算法：
第一步：判断n是否等于2.若n=2，则n是质数;若n>2，则执行第二步.
第二步：依次从2~(n-1)检验是不是n的因数，即整除n的数.若有这样的数，则n不是质数;若没有这样的数，则n是质数.
说明：本算法是用自然语言的形式描述的.设计算法一定要做到以下要求：
(1)写出的算法必须能解决一类问题，并且能够重复使用.
(2)要使算法尽量简单、步骤尽量少.
(3)要保证算法正确，且计算机能够执行.
利用ti-voyage200图形计算器演示：(学生已经被吸引住了)
运行
例4、.用二分法设计一个求方程的近似根的算法.
分析：该算法实质是求的近似值的一个最基本的方法.
解：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005，算法：
第一步：令.因为，所以设x1=1，x2=2.
第二步：令，判断f(m)是否为0.若是，则m为所求;若否，则继续判断大于0还是小于0.
第三步：若，则x1=m;否则，令x2=m.
第四步：判断是否成立?若是，则x1、x2之间的任意值均为满足条件的近似根;若否，则返回第二步.
说明：按以上步骤，我们将依次得到课本第4页的表1-1和图1.1-1.于是，开区间(1.4140625，1.41796875)中的实数都满足假设条件的原方程是近似根.运行结果：
练习1：
写出解方程x2-2x-3=0的一个算法。
解：算法1：
第一步：移项，得x2-2x-3=0;①
第二步：①式两边同加1并配方，得(x-1)2=4;②
第三步：②式两边开方，得x-1=±2;③
第四步：解③得x=3或x=-1。
算法2：
第一步：计算方程的判别式判断其符号=22+4×3=16>0;
第二步：将a=1，b=-2，c=-3代入求根公式x=，
得x1=3，x2=-1
评析：比较两种算法，算法2更简单，步骤少，所以利用公式解决问题是最理想、合算的算法。因此在寻求算法的过程中，首先是利用公式。
下面设计一个求一般的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的算法如下：
第一步：计算=b2+4ac;
第二步：若<0;
第三步：输出方程无实根;
第四步：若≥0;
第五步：计算并输出方程根x1,2=。
练习2、求1×3×5×7×9×11的值，写出其算法。
第一步，先求1×3，得到结果3;
第二步，将第一步所得结果3再乘以5，得到结果15;
第三步，再将15乘以7，得到结果105;
第四步，再将105乘以9，得到945;
第五步，再将945乘以11，得到10395，即是最后结果。
评析：求解某个问题的算法不同于求解一个具体问题的方法，算法必须能够解决一类问题，并且能够重复使用;算法过程要能一步一步地执行，每一步操作必须确切，能在有限步后得出结果。
练习3、有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，请你设计算法解决这一问题。
分析：由于两个墨水瓶中的墨水不能直接交换，故可以考虑通过引入第三个空墨水瓶的办法进行交换。
解：算法步骤如下：
第一步：取一只空的墨水瓶，设其为白色;
第二步：将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中;
第三步：将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑瓶中;
第四步：将白瓶中的蓝墨水装入蓝瓶中;
第五步：交换结束。
评析：对于这种非数值性问题的算法设计问题，应当首先建立过程模型，根据过程设计步骤，完成算法。
小结
1、算法概念和算法的基本思想
(1)算法与一般意义上具体问题的解法的联系与区别;
(2)算法的五个特征。
2、利用算法的思想和方法解决实际问题，能写出一此简单问题的算法
3、两类算法问题
(1)数值性计算问题，如：解方程(或方程组)，解不等式(或不等式组)，套用公式判断性的问题，累加，累乘等一类问题的算法描述，可通过相应的数学模型借助一般数学计算方法，分解成清晰的步骤，使之条理化即可。
(2)非数值性计算问题，如：排序、查找、变量变换、文字处理等需先建立过程模型，通过模型进行算法设计与描述。
4、利用ti-voyage200图形计算器演示时，开始学生看，想，探究，然后模范、创新。图形计算器为学生创建一个自我发挥的平台。
作业：(课本第4页练习)
1、任意给定一个正实数，设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积.
解：算法步骤：
第一步：输入任意一个正实数r;
第二步：计算以r为半径的圆的面积：;
第三步：输出圆的面积S.
2、任意给定一个大于1的正整数n，设计一个算法求出n的所有因数.
解：算法步骤：
第一步：依次以2～(n-1)为除数去除n，检查余数是否为0.若是，则是n的因数;若不是，则不是n的因数;
第二步：在n的因数中加入1和n;
第三步：输出n的所有因数.
数学建模的正确步骤篇5
【关键词】物流园区风险评价GeRt
一、问题的提出
物流园区建设具有投入资金大、开发周期长、涉及因素多等特点，其建设具有较高的风险性，因此根据物流园区建设的特点对风险进行识别和评估，并提出相应的防范策略是必要的。
物流园区建设与区域经济发展水平、产业结构、交通状况、城市规划及土地应用等因素有关，牵涉到许多部门和单位，是一个多学科、多产业的综合交叉集合体。物流园区管理的三大目标为：成本目标、时间目标、质量目标，根据物流园区管理的三大目标，物流园区风险可以分为：成本风险、时间风险、质量风险，其中质量风险评价有相当丰富的全面质量管理理论，关于成本管理也有相当多的关于供应链成本优化的研究文献，相比之下，时间风险应该是风险管理的重点，多数关于时间风险的研究都暗含这样的假设：方案能够顺利提出，检验过程按计划进行，建设时间得到充分控制，即不考虑物流园区的时间风险，在此基础上进行各种各样的优化。而这种假设在实践中是不成立的。
少数文献对物流园区建设风险进行定量分析，贡云兰采用了模糊综合评价法，李季涛、谢如鹤采用基于peRt的风险评价模型，前者可以将物流园区建设过程中的众多风险进行综合评价，但模糊综合评价模型的建立主要依据专家打分，主观性过强，很可能偏离客观实际；后者找出项目的关键路径，根据关键路径上每个项目活动的时间分布确定项目的整体风险，但这种方法仅适用于项目活动为串行路径的情况。物流园区建设过程是一个随机过程，方案检验工序的紧后工序可能是投入建设、提出问题，也可能是方案失败，每道工序的完成时间删随机的，工序之间的关系是随机的，项目的结果也是随机的，这用前两种方法都无法很好的描述，基于物流园区建设的特点，本文选择图形评审技术（graphicalevaluationandreviewtechnique，GeRt）进行物流园区建设的时间风险评价。
二、基于GeRt的风险评价方法
GeRt是20世纪60年代才发展起来的一种新型广义的随机网络分析方法。它与早期的网络模型甘特图、关键路线法和peRt相比具有无可替代的优越性，被广泛应用于工程技术、生产管理和经营管理系统。GeRt是一种随机网络图，它由节点、支线、流三个要素组成。其中，节点由输入端和输出端构成，表示一定的逻辑关系；支线可以表示具体活动，也可以表示活动的结果或两活动间的相互关系；流反映网络中各种定量参数和节点（或支线）的相互制约关系，如活动的时间、费用，消耗的各种资源、效益以及实现的概率等。
与Cpm、peRt等网络图相比，GeRt的优越性体现在：第一，节点和枝线不一定都实现，实现的可能性取决于节点的类型和枝线的概率系数；第二，活动时间t为概率型，按随机变量分析；第三，活动的流向不受限制，允许环路的出现；第四，节点间可以有一条以上的支线；第五，可能多个起点或终点，即允许多个目标的存在。
基于GeRt的特点与优越性，GeRt可以用于分析和评价网络结构随机、事件结果随机、过程时间随机的项目时间风险。本文采用矩母函数的传递函数法求解基于GeRt的风险评价问题，其步骤为：首先，根据实际系统或问题的基本特征，找出反映投资风险的主要因素，构造GeRt模型。其次，收集网络中各项活动的实现概率和实现时间（费用）的概率分布基本参数。再次，应用梅森（mason）公式，确定网络的特征传递系数we（s）及当we（s）?佐s=0=1时的实现概率pe=we（s）?佐s=0=0。
三、实例分析
1、基于GeRt的物流园区建设风险模型
物流园区建设过程为：提出初始方案，进行方案检验，如果通过检验，则投入建设；如果经检验方案有缺陷但可以弥补，则根据原方案提出问题，并且重新设计方案；如果经检验认为距离预定目标太远或者没有希望成功。则宣布该方案失败，收尾，处理后续事宜。假设各工序所需时间服从正态分布。各工序发生的概率和作业时间的数学期望及工序之间的关系如表1所示。
物流园区建设问题和供应链管理问题不同的是，方案检验工序的紧后工序不确定，是随机的，可能是投入建设、提出问题进行重新设计，也有可能是方案失败，进入投入建设和方案失败，建设问题就算结束，不一定经过全部的事件。网络图中有两个终点，有一个闭合回路。这是一个典型的随机网络，每一道工序的完成时间是随机的，工序之间的关系是随机的，项目结果也是随机的，这种随机网络图可以用GeRt方法描述（见图1）。
2、模型求解
为了减少计算量，假定图1中步骤1到步骤2，步骤2到步骤3，步骤5到步骤2的作业时间是个确定值。从步骤1到步骤4的传递函数是：
w14（s）==（1）
其中，pij是工序ij发生的概率，mij（s）是以工序ij完成时间作为随机变量的矩母函数，i=1，2，3；j=2，3，4，5。假定工序ij的完成时间服从正态分布n（tij，?滓ij），则：
mij（s）=e（2）
令式(1)中s=0，得：
p14=w14（0）=
矩母函数m14（s）=，于是完成物流园区建设过程需要总时间的数学期望为：
t=e（t）=?佐s=0=74.29
四、结束语
物流园区建设是一个随机过程，本文根据物流园区建设的特点选择GeRt法建立物流园区建设风险评价模型，并采用矩母函数的传递函数法进行求解，通过实例分析，可以看出采用GeRt法进行物流园区风险评估是比较有效的，但是本文模型只考虑了建设过程中内部影响因素对时间的影响，未把外部因素纳入模型，还有待进一步改进。
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[10]金锡万、白琳：GeRt在风险管理中的应用[J].安徽工业大学学报，2003（1）.
数学建模的正确步骤篇6
关键词：数学建模问题分析步骤说明
1.数学建模问题与“应用题”的区别
数学建模问题与初中、高中碰到的“应用题”的区别：
“应用题”通常有不多不少、恰到好处的条件和数据，方法基本限制在某章或某门课程，往往有唯一正确的答案.
数学建模问题经常是由各领域的应用者提出的，因而既不可能明确提出该用什么方法，又不会给出恰到好处的条件（可能有多余的条件，也可能缺少必要的条件和数据），经常出现的情形是问题本身就是含糊不清的；建模没有唯一正确的答案，模型无所谓“对”与“错”，评价模型优劣的唯一标准是实践检验，因此建立数学模型时做好问题分析显得至关重要.
2.问题分析步骤
问题分析步骤可分为：明确问题、分析条件和数据.
例如：一家化妆品公司的经理就关于应该雇多少推销员的问题征询你的意见，定性地讲，推销员多了会增加管理费用，而推销员少了会失去可能的顾客.所以一定会有一个最优推销员个数，这里推销员指那些到各地把公司产品兜销给其他商号的人.
2.1问题描述、问题分析
首先必须清楚几个问题，如公司的生产限度怎么样？经营目的是什么？是争取最高利润吗？或者在获得足够多利润的同时争取最大市场份额？还是其他什么目的？一种较好的方法是对各种不同规模的推销队伍的效果做出描述，而把最后决定留给经理部.
另外决定推销队伍的效果，就必须知道：（1）怎样从他们的销售队伍中获取最大收益；（2）不同规模的销售队伍会有什么影响.
经过分析，原来的问题已经被改为上面两个问题，这样，我们就跨出了第一步，即基本明确了工作目标.
但上面两个问题仍需进一步细致分析：如不同推销员能力不同，推销地域也可能不同，顾客可分为“现有的”和“可能的”两类，前者需要稳定，后者需要转变，所花时间各不相同，并且各商号的订货量或潜在订货量也是需考虑的重要因素.
通过以上分析，画出问题的层次结构图，看出问题全貌.
了解问题的整体框架，可以对整个模型做出初步设计，需要做什么工作？可以用什么数学工具？问题有什么特点或限制条件？工作的重点、难点和要点是什么？每项工作的先行和后继工作是什么？有没有可以并行的工作？
2.2数据、资料的收集
分析问题的结构后，需要什么数据就可以心中有数了，收集数据的工作可列入工作计划，要对推销员进行一次实验，记录得到完整的确定概率的数据、地域情况的数据、资料，在此基础上进一步分析某些变量的作用.
3.建立数学模型
由最小二乘法建立系统的回归方程――数学模型。
当输入为x，输出为y时，多项式拟合曲线相应于x的估值为：
=b+bx+bx+…+bx（i=1，2，…，n）
要使多项式估值与观测值y之差（残差）的平方和之值为最小，
得下列正规方程组：
=2∑（
b
+b
x
+b
x+…
+b
x
-y）=0
=2∑（
b
+b
x
+b
x+…
+b
x
-y）
x=0
……
=2∑（
b
+b
x
+b
x+…
+b
x
-y）
数学建模的正确步骤篇7
1.概述
南京至高淳高速公路，位于南京南郊，根据工程勘测资料，沿线软弱土层分布在不同深度，冯村大桥南粉喷桩复合地基施工之初就设置了4个沉降长期观测点，分别定期进行观测。公路工程复合地基沉降是影响公路设计、安全和正常使用的重要因素。其沉降量大小，尤其是最终沉降量大小，是判断公路是否能安全、正常使用的重要指标之一。由于公路粉喷桩复合地基、路基和路面结构是一个相互作用、十分复杂的系统。公路粉喷桩复合地基沉降随时间变化的计算也十分复杂。
本文用德国生物学家Verhulst提出的非线性微分方程（式1）来建立公路沉降的预测模型。
dp（t）/dt=ap（t）-bp2（t）（1）
式中p（t）——是生物的繁殖量。
公路粉喷桩复合地基沉降随时间变化的实测s—t曲线形状是一个近似反s曲线，曲线特征吻合Verhulst模型曲线。
2.灰色Verhulst模型建模步骤
（2）构造B和Yn
…〖〗…
Y=x（0）（2）
x（0）（3）
…
x（0）（n）
（3）作最小二乘计算a〖〗b=（Bt.B）-1.Bt.Y
（4）建立模型
把系数a、b代入式（1），解微分方程得：
（t=1，x（1）（1）=x（0）（1））
x（1）（t）=a〖〗b〖〗1+a〖〗b.1〖〗x（0）（1）-1.e-a（t-1）
这就是累加生成数列的模型。由该模型计算值所连成的曲线就是Verhulst模型曲线。
3.对公路粉喷桩复合地基沉降建立的Verhulst模型
3.1原始数据的处理
选择不同时间内的沉降差Δs作为原始数据。其累加生成数列正好是公路粉喷桩复合地基直到该时刻的沉降量s.
表1k54+655处观测沉降的观测数据单位：cm
3.2实例
（2）构造B和Yn
B=265〖〗-7022501
305〖〗-9302498
470〖〗-220899
499〖〗-249001
01
03
01
03
03
07
02
038
002
002
（3）建立模型
华东公路2002年第4期2002年第4期梁小平，薛国强：公路粉喷桩复合地基沉降预测浅论表2k54+655处观测值与模型值相对误差单位：cm
（4）公路复合地基最终沉降量的确定
3.3计算机程序
由于计算过程复杂的原因，手工计算速度慢而且准确率低。按照建模步骤编制计算机程序。鉴于此，按照建模步骤开发计算机计算数据的程序，实现计算的准确快速。程序包括：数据输入模块；矩阵转置、矩阵求逆、矩阵求积模块；求参数模块；模型计算模块；观测值与模型计算值相对误差计算模块；预测值计算模块；数据输出模块。输入变量数值，如“原始数列”等观测所得到的数据后，便自动计算出结果。
4.结论
根据南京至高淳高速公路工程中粉喷桩复合地基沉降与时间关系曲线特征，提出用灰色Verhulst模型来模拟公路沉降的方法，并给出建模步骤。对于荷载稳定时得到的观测数据可直接使用该方法进行预测。对于加载过程中得到的观测数据，可先对数据处理再使用该方法进行预测。实践证明，这种建模方法计算程序简单。且只需较少的观测数据（一般要求不少于5个）就可建模，可以得到任意时刻的沉降值，能减少长期沉降观测的时间。
数学建模的正确步骤篇8
关键词：可信性理论；排序；遗传算法；混合智能算法
中图分类号：G642.4文献标志码：a文章编号：1674-9324（2012）04-0058-02
一、研究背景
排序问题（Schedulingproblems）也称调度问题，是运筹学和组合优化的一个重要分支。近年来，工件加工时间依赖开工时间的排序问题受到广泛关注，其中工件加工时间具有恶化和学习效应的排序问题受到了广泛的关注和研究。Lee（2004）[1]最早考虑了两种效应共同作用的单机模型。现实模型中的参数不一定是确定的，这些不确定性包括随机性和模糊性。模糊集概念由Zadeh（1965）提出，已经很好地应用于解决各种实际问题方面。为测度模糊事件，Zadeh（1978）提出了可能性测度的概念。但这一理论不满足自对偶性，而自对偶性在理论和应用中是非常重要的概念。Liu和Liu（2002）[2]提出了自对偶的可信性测度概念，并于2004年建立了可信性理论，已成为研究模糊现象的一个数学分支。
二、理论基础
设为非空集合，p为的幂集。p中任一元素称为一个事件。对每一个事件a分配一个数Cr{a}，用于表示事件发生的可信性。定义1若集函数Cr满足以下四公理，则称之为可信性测度。公理1?摇（正定性）Cr{}=1.公理2?摇（单调性）若a?奂B，则Cr{a}≤Cr{B}.公理3?摇（自对偶性）对任意事件a，Cr{a}+Cr{aC}=1.公理4?摇（极大性原理）对任意满足supiCr{ai}＜0.5的事件{ai}，Cr{Uiai}=supiCr{ai}.定义2设为非空集合，p为的幂集，Cr为可信性测度。则称三元组（，p，Cr）为可信性空间。定义3将可信性空间（，p，Cr）到实数集的可测函数定义为模糊变量。定义4设ξ为可信性空间（，p，Cr）上的模糊变量，则它的隶属函数由可信性测度表示为：μ（x）=2Cr{ξ=x}∧1，x∈R。定义5?摇设ξ为模糊变量，它的期望值为：e[ξ]=■Cr{ξ≥r}dr-■Cr{ξ≤r}dr等式右边的两个积分至少有一个有限。
三、模型描述
记n个工件为j={1，2，L，n}。在模糊环境下，考虑这一组工件在一台机器上加工的排序问题。首先作如下基本假设：①一组工件在初始时刻同时准备加工，工件加工不可中断；②在同一时刻，机器只能加工一个工件；③在一组工件加工结束期间机器不能空闲。记工件J的实际加工位置记为Jj，则π=｛r1│Jr1=1，r2│Jr2=2，L，rn│Jrn=n｝为实际加工序列，也就是J重新排序的结果。假设每个工件的基本加工时间相同，记为模糊变量p0，隶属函数为μ，它的实际加工时间表示为：pj=（p0+α（tj））（Jj）a。其中，tj是j开始加工时间；α（t）为随t增加而递增的恶化变量，在模糊环境中，t为模糊变量，故恶化效应函数值α（t）为模糊变量；a为学习指数，其中a=log2x，模糊参数x∈（0，100%）。由于具有学习效应，排在后面加工的工件的实际加工时间会减少；同时，在恶化效应的作用下，实际加工时间会随着等待时间变长。单机排序的优化目标，是要找到一种最优的排序方法，使最大完工时间、完工时间之和、加权完工时间之和、最大延时等目标值最小化。在给定排序π下，记工件i的完工时间为Ci=Ci（π），则最大完工时间为Cmax=max{Ci|i=1，2，L，n}，完工时间之和为■Ci，加权完工时间之和为■ωiCi，最大延时为Lmax=max{Ci-di|i=1，2，L，n}，其中di为工件的i交货期。但由于加工时间为模糊变量，最大完工时间等优化目标值不能直接进行比较，而要借助于期望值、可信度等特征值来进行比较。即将模糊优化问题转化为等价的确定性优化问题求解。建立模糊单机排序期望值模型，建立如下：假设我们选取期望值评价准则。期望最大完工时间，期望完工时间之和，期望加权完工时间之和，以及期望最大延时分别记为e[Cmax]=max{e[Ci│i=1，2，L，n]，e■Ci，e■ωiCi，e[Lmax]=max{e[Ci-di]│i=1，2，L，n}。以期望值最小化的目标代替模糊变量最小化的问题，将排序问题转化为确定性的问题解决。
四、基于改进遗传算法的混合智能算法的模型求解
相对于确定性模型，模糊模型中含有不确定的变量使求解难度更大，需要借助于计算机对函数进行编程模拟，并设计基于进化算法的混合智能算法来求出最优解。遗传算法原理简单，实现便捷，求解的过程与实际的目标问题无关，具备良好的并行能力和潜在的全局搜索可能性。考虑到由于遗传算法本身选择压力和种群多样性保持之间的矛盾带来的缺陷，并依据模型的特点，改进遗传算法，更新基于改进遗传算法的混合智能算法用于求解论文提出的排序模型。
1.编码设计。排序模型的优化，实际上就是为了找到工件的一个最佳的加工次序，使目标函数值最小化。为了方便问题的在遗传算法中能够被准确地描述，每一个染色体使用一个满足工件优先顺序的正整数序列作为基因位，来描述一个可行的工件加工顺序。例如，3个工件j={1，2，3}在1台机器上加工，工件需要满足如下的优先顺序：23，即工件2要优先于工件3加工，那么，可以构筑可行的工件加工顺序为：{1，2，3}，{2，3，1}，{2，1，3}。
2.种群初始化。已知工件数是n，首先要设定遗传算法的种群规模为npopsize，迭代进化的上限为：iteration，交叉概率pc和变异概率pm。每一代的种群对应npopsize个染色体V，在满足工件加工优先顺序的前提下，每个染色体基因位对应着实际的工件编号（c1，c2，……cn），ci=ceil（n×rand），直到染色体内的基因值（c1，c2，……cn）互相不重复。然后把这个步骤执行npopsize次，得到一组整数排列构成的初始群体：{V1，V2，……Vnpopsize}。
3.评估适应度函数。适应度函数的构造一般都是直接选取目标函数F（・）。本文中的目标函数需要通过模糊模拟或不确定模拟，求出模糊的或不确定的目标函数值，将不确定的函数值转化为确定值比较任意的两个染色体的目标函数值，较小的那个作为较优的染色体。然后对这npopsize个个体，按照适应度函数大小进行排列，构成一个新的有序种群V={V1，V2……Vnpopsize}。根据文献[3]设置评价序函数e（Vi）=■，方便对群体中的个体进行评价。
4.遗传算子的实施。遗传算法的进化过程中，主要包括以下3个遗传算子：选择算子，交叉算子，变异算子。这些算子对种群实施相应的操作，主要的目的就是在维持种群多样性的同时，能够确保种群在迭代的过程中，适应度较高的个体能够有更多的机会遗传进入子代个体中去。①为了能够更好地对种群进行进化，选择一个合适的选择策略是非常关键的。在实施遗传选择算子的时候，不同的选择策略会给种群带来不同的选择压力，一般，选择压力太大的话（如赌选择），会降低种群的多样性，并引起种群陷入早熟，不能收敛到全局最优；选择压力不足的话（如锦标赛选择]，这会造成种群的搜索随机性变强，算法的收敛速度慢。为了改变这种状况，本文使用一个自适应的赌选择策略，从而平衡种群的选择压力。②在进行交叉操作之前要预定义一个交叉概率pC，父代个体在进行交叉操作时，要按照下述步骤重复npopsize次：根据pC从父代个体中随机选取两个个体Vi和Vj，i，j=1，2，……，npopsize进行下述的配对：（Vi1，Vj1），……，（Vin，Vjn），然后随机产生一个系数e，e∈（0，1），执行如下的交叉操作以得到两个新的父代个体：Vi1=e×Vi1+（1-e）×Vj2，Vj1=（1-e）×Vi1+e×Vj2，然后检查Vi1，Vj1的可行性。如果不可行，不断重复上述步骤，直至得到两个可行解。③在进行变异操作之前要预定义一个变异概率pm，父代个体在进行变异操作时，在基因窜上随机选取两个变异点，然后进行交换，并进行约束判断，从而得到一个新的可行的候选子代个体。④对于父代的最优个体，采取精英保留策略，无条件遗传至子代个体中，从而在维持种群多样性的同时，增大种群的选择压力。
5.混合智能算法的求解步骤。经过了选择，交叉，变异操作后，新产生的种群就准备进入下轮的迭代进化。整个混合遗传算法将会在一个给定的循环迭代次数下，按照上述的步骤实施进化，本文把上述的遗传算法描述如下：步骤1：随机初始化，产生可行的npopsize个个体；步骤2：通过模糊模拟或不确定模拟，计算目标函数值；步骤3：对上述的种群根据目标函数值，进行评价，得到评价适应度函数；步骤4：依照种群约束，对整个种群内的个体进行遗传操作；步骤5：依照给定的循环数，重复实施步骤2步骤4之间的过程；步骤6：得到最优解。
五、数值算例
下面以一个模糊环境下的单机模型为例，目标函数为最大完工时间最小化，具体问题如下：考虑10个工件J={1，2，L，10}。记工件j的实际加工位置记为Jj，则π{r1│Jr1=1，r2│Jr2=2，L，rn│Jr1=n}为实际加工序列，也就是J重新排序的结果。具体的说，如果J1：J10分别取值为2，3，5，7，6，1，4，10，9，8，对应π={6，1，2，7，3，5，4，10，9，8}。
设每个工件的基本加工时间p0为三角模糊变量（10，12，14），tj是j开始加工时间；学习效应函数α（t）=0.25t；学习指数a=log2x，x~（0.25，0.3，0.35），则每个工件的实际加工时间为：pj=（p0+0.25tj）（Jj）a。初始加工时间记为0，最大完工时间为Cmax=max{Ci│i=1，2，L，10}=Cπ（10），欲求解算例4.1，本文使用了仿真编译工具matlab7.0，遗传算法的参数设定如下：群体规模npopsize=50，交叉概率pc=0.3，变异概率pm=0.1，迭代次数500次。应用上面的数据，通过运行本文设计的程序，得到了如下的最优结果：最优的实际加工顺序为：（18627354109），对应最大完工时间的最小值为：20.0097。
六、小结
本文在可信性理论的基础上，关注了近年来对工件加工时间同时具有恶化和学习效应的排序问题的研究，对排序理论这一经典的组合优化问题展开研究，在可信性空间建立了模糊排序模型。对排序问题的求解通常具有一定难度，模型中引入的模糊变量更增加了求解模型的难度，本文中设计了基于改进遗传算法的混合智能算法，并通过具体计算验证了该算法的可行性和有效性。
参考文献：
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[2]LiuB，andLiuYK.expectedvalueoffuzzyvariableandfuzzyexpectedvaluemodels[J].ieeetransactionsonFuzzySystems，2002，10（4）：445-450.
数学建模的正确步骤篇9
【关键词】尖点突变；突变临界点；经济动能；经济势能
【中图分类号】F037【文献标识码】a【文章编号】1006―5024(2007J01―0119―03
【基金项目】国家自然科学基金项目(70433003／G03)、上海市重点学科“系统管理”(t0502)的阶段性成果
【作者简介】罗鄂湘，上海理工大学管理学院副教授，博士生，研究方向为管理科学与工程；钱省三，上海理工大学管理学院教授，博士生导师，研究方向为工业工程、科技管理。(上海200093)
突变理论是比利时数学家雷内・托姆于1972年创立的关于奇点的理论。它是建立于拓扑动力学、微积分、奇点理论及结构稳定性等数学理论之上，专门研究不连续变化的理论。尽管其推导过程十分复杂，但是由于它所提出的七个初等突变模型较为简洁直观，使得突变论在物理学、化学、生物、地理、交通、心理学、经济学、管理学等方面有着广泛的应用，但将其应用于经济波动分析的研究则较少，尤其是在建立突变模型分析状态变量与控制变量之间关系方面的研究就更少。
本文应用突变论中的尖点突变模型，借助于经济分析力学中经济动能与经济势能的概念，分别以经济动能的函数与经济势能的函数为控制变量；并在此基础之上，确定了突变临界点的判断方法，在将其应用于全球集成电路产业的突变预警研究的过程中取得了良好的实验结果。
一、尖点突变模型及机理
突变论对动态系统行为中的突然跳跃(突变现象)进行了分析和分类。托姆证明，对于余维数≤4的系统，有7个不同的稳定结构(万有开折)，即存在7个势函数。具有一个状态变量x和两个控制变量a1、a2的系统的突变被称为尖点突变。
尖点突变的势函数为： 表示了系统的变化是由状态变量x与控制变量a综合作用的结果；
平衡曲面m为：
，表示了状态变量x与控制变量a综合作用后的某一状态；
奇点集s为： ，表示平衡曲面中的突变状态集合。
将m与s式联立求解，得到分歧集B，方程为：
或写作
，
表示当控制变量满足分歧集方程时，系统的状态会发生非连续性突变。此时a1必为负值、a2则可正可负。一般称a1为剖分变量、a2为正则变量。
二、经济分析力学的基本概念
根据经济分析力学，系统状态由经济动能和经济势能所决定，可以认为影响系统状态的两个控制变量a1与a1分别为经济势能的函数和经济动能的函数。从定性上分析，经济势能是指经济系统的投入情况，经济动能是指经济系统的投出情况，当某个经济系统的投入状态超过一定值时，表现为库存的积累，而通常库存积累过多是引发经济突变的重要因素，因此本文将某经济系统中的经济势能的函数作为控制变量a1。
经济动能和经济势能可以通过经济系统时间序列数据推导而得，计算公式如下所示。
设某经济系统m的时间序列为m1，m2，m3，m4，…，m。
经济动能的计算公式为：ti=:ti=mi*V2；
经济势能的计算公式为：Ui=-Fi*mi
其中v为经济速度，计算公式为：
Vi=d／dtm=mi-mi-l
F为经济综合力，计算公式为：Fi：m・ai+V。；
且ai为经济加速度，计算公式为：
以上各式中i＝3，4，…，n
三、基于经济动能与经济势能概念的经济突变模型建立
本文设某经济系统的销售额增长率z为状态变量，z值从高到低或从低到高的平滑变化，可视为一般的经济波动现象；而z值突然从高到低或突然从低到高的变化，可视为经济波动的突变现象。
根据尖点突变模型，经济系统的势函数可以写为：
其分歧集方程可写为：
且
建立集成电路产业突变模型如图1所示。
分析：
在F(u)一定的情况下，当F(t)由低到高变化时，z值也会产生由低到高的变化，使该经济系统处于上升的状态；F(t)由高到低时，z值也将产生由高到低的变化，使该经济系统处于衰退状态。
当控制变量F(U)值为正时，F(t)的变化所带来的经济状态Z的变化是光滑性变化。
当控制变量F(u)为负并达到一定的临界值时，F(t)的一个微小的变化所带来的经济状态z的变化就可能产生经济突变。例如经济状态处于m面中的i点，经济动能的一个微小的下降，就可能导致经济系统突跳到J点，即意味着危机的产生，然后该经济系统会沿着曲线w继续走低；如果要恢复到原来的景气状态，就需要更长的时间和更大的动能，使该经济系统从J点沿曲线x到K点后，才可能形成再一次的突跳到L点，而且这时的经济状态要优于以往的经济状态，如i点的状态，这被称为滞后现象。
四、建立突变临界点的判断标准
由于z值从高到低的突变会产生巨大的危害作用，因此本文主要研究z值从高到低的突变现象，提出预测这种破坏性突变的临界点的判断条件。
在尖点突变模型中发现突变临界时刻a1的值为负而a2的值可正可负，那么欲判断某个时刻是否是突变临界时刻，首先需要构造a1的函数式，再进而进行有关的分析。
因此本文建立破坏性突变临界点判断标准的思路是：从历史数据中筛选已发生的破坏性突变临界时刻，通过对这些时刻的a1值与势能u值的分析，构造破坏性突变临界时刻的a1。与势能u之间的函数关系式；并通过该关系式求出历史破坏性突变临界时刻的标准a1值，即；计算(
)，取最大值与最小值之间的区间为破坏性突变临界范围，即为突变临界点的判断标准。
计算步骤如下所示：
步骤一，选出历史突变临界时刻并获得其相应的状
态变量 势能 、控制变量 ；
步骤二，分析历史突变时刻的 之间的关系，构造函数 ；
步骤三，根据步骤三函数关系计算标准控制变量值 ；
步骤四，确定破坏性突变临界点的判断标准：
计算误差
，则突变临界范围的下限为min ，上限为max( )。判断某个时刻是否是破坏性突变临界时刻的方法：
首先计算某个时刻的 ；
再根据所构造的函数 计算该时刻的标准 值，即 值，并计算( )；
若该值不在突变临界误差范围之内，则为非突变临界点；若该值在突变临界误差范围之内，则为突变临界点。
五、实证研究
本文从美国半导体协会的网站上收集到从1982年至2004年全球半导体销售额的数据，设全球半导体产业市场销售额年增长率为状态变量z。全球半导体产业的突变临界范围的计算及突变点的判断过程如下所示。
步骤一，根据全球半导体行业的历年来的销售额，选出历史突变临界时刻，并计算其状态变量 、经济势能 ；及控制变量 ；
根据历史数据选出1984、1995、2000为突变临界点，计算其相应的
，如表l所示。
步骤二，构造经济势能u和控制变量 ，之间的函数关系。
分析经济势能U及控制变量 的关系，并经过多次实验，发现它们之间的函数关系为：
指取u值的符号
步骤三，根据函数关系计算 。
据步骤三之函数关系计算 为：(－1．2856，一0．9587。－o．8845)
步骤四，确定破坏性突变临界点的判断标准：
根据误差计算公式计算 为：(0．0126，－0．0829，0．0868)，即突变临界范围的下限为－0．083，上限为0．087。
为了验证提出的突变临界范围的正确性，利用1982年至2005年的全球集成电路产业市场销售额的数据，根据步骤二的函数关系，以及根据误差公式计算全球半导体业自1984年－2005年各期 的误差值，得表2。从表2中可以看到除突变点以外，各时刻的 误差均不在突变临界范围以内，说明了本方法的精确性。
六、结论
数学建模的正确步骤篇10
【关键词】毕业论文；评价指标体系；灰色层次分析法
邓聚龙教授1982年提出的灰色系统理论，其核心思想是可将信息根据明确与否分成三个系统：完全明确的白色系统、信息未知的黑色系统和介于其间部分信息明确但部分信息不明确的灰色系统。由于该理论模型对实验观测数据要求不高，因此应用领域十分广泛。大学毕业论文评价是一个典型的多因素综合评价问题，其评价时需要的信息部分为潜信息，同时所采用的评价指标不能完全涵盖所有情况。加之评价指标间的复杂关系，造成该评价过程具有很大的灰性。大学本科毕业论文呢的评价过程中，通常需要评价者的主观判断来确定等级，比如对毕业论文评价常用的学术严谨性、创新性等指标的评价，采用传统评价方法难以客观公正的评价。实践证明，灰色系统理论能有效克服模糊评价中信息丢失和主观性强等问题。通过构建科学有效的评价指标，并依据评价指标设计模型，并运用灰色层次分析法（GaHp）对区间灰数的白化处理，可使本科毕业论文的综合评价更客观公正。
一、灰色层次分析法
一般而言，灰色层次分析法在应用到综合评价中过程大致包括以下步骤：
步骤一，指标体系建立及权重确定。本科毕业论文的评价指标由目标层（w）、准则层（Ui）、一级指标层（Vij）和二级指标层（Vijm）构成。根据建立的目标层次结构，各指标权重则运用层次分析法，根据评价专家对同一层次的各元素对上层某一准则的重要性进行两两比较，构造互反判断矩阵，采用最大特征根法计算相邻层次中下层对上层元素的组合权重。
步骤二，确定评价灰类。确定评价灰类包括一般确定评价灰类等级数、灰数及白化权函数三方面内容。一般采用四个评价灰类：第一灰类“优”（G=4），灰数为1∈[4，+∞]，其白化权函数为f1（dijm）；第二灰类“良好”（G=3），灰数为2∈[0，3，6]，其白化权函数为f2（dijm）；第三灰类“及格”（G=2），灰数为2∈[0，2，4]，其白化权函数为f3（dijm）；第四灰类“不及格”（G=1），灰数为1∈[0，1，2]，其白化权函数为f4（dijm）。
步骤三，组织评价专家打分。根据本科论文评价需要，邀请p个专家，且对每个评价专家进行排序，序号为m=1，2，…p。组织专家对评价指标进行实测值和目标值间的比较，然后依据专家经验对各指标打分，并填写评分表。为简便起见，一般规定评分范围为1-5分，待评价指标Vij给出评分dijm由第m个专家评出。
步骤四，计算评价系数、评价权向量及矩阵。对评价指标Vij，先确定指标Vij属于第G个灰类，然后根据灰类的白化隶属函数计算出灰色评价系数，XijG=∑fG（dijm），m∈[1，p]，同理可构建评价样本矩阵；在灰色评价系数已知基础上，加总同一评价灰类的评价值，可得各评价灰类的总灰类评价数，记为Xij=∑XijG；至于灰色评价权向量，则是通过对灰类评价系数的归一化处理，可得各类评价灰类的灰类评价权矩阵wij。
步骤五，综合评价。首先进行指标层的综合评价，其评价结果记Bij；其次根据指标层的评价结果构建准则层对各评价灰类的灰色评价权矩阵Bi，进而进行准则层的综合评价，其评价结果记Bi；同理根据评价结果Bi，按照最大原则确定受评对象归属的等级数，根据e=U×Ct可求出综合评价值，其中C表示各灰类等级按“灰水平”赋值形成的向量，可设置为G=[4，3，2，1]。
二、应用实例
本研究以广西财经学院本科毕业论文评价为案例，采用灰色层次分析评价进行验证，具体应用过程如下。
1.建立毕业论文质量评审的指标体系
广西财经学院的本科毕业论文灰色评价指标体系构建如表1所示。根据灰色层次分析法建模需要将指标体系设计成指标系统、权重系统和评价标准系统三大系统组成。
2.专家评分
根据项目需要，选取专家5名，通过调研数据与数据配比对各指标进行评分，赋分范围为1-5，指标等级介于相邻两等级之间时，相应评分值为4.5，3.5，2.5和1.5，根据调研结果和获取的相关数据，评分结果略。
3.计算灰色评价系数、灰色评价权向量及权矩阵
对于指标（V111），被评指标属于第G个评价灰类的灰色评价系数V111G，当G=1，有
V1111=f（1.5）+f（2.0）+f（2.5）+f（2.0）+f（2.0）=2.5；同理可得V1112，V1113和V1114及其他指标的灰色评价系数及灰色权向量。
4、逐级对指标层进行综合评价
第一步，对二级指标进行综合评价；
B11=[0.4514，0.3523，0.1518，2902]；
B12=[0.4013，0.3950，01913，0.3875]；
B13=[0.5563，0.3863，0.0575，0.2500]；
B21=[0.2900，0.3763，0.2050，0.7050]；
B22=[0.3600，0.3900，0.2600，0.0000]
第二部，对一级指标进行综合评价
B1=[0.4574，0.3719，0.1448，0.8826]；
B2=[0.3180，0.3818，0.2270，0.8230]
第三步，对准则层进行综合评价；U=[0.4086，0.3754，0.1736，0.8617]
第四步，可得综合评价结果：e=U×Ct=3.97。
5.评价结果
根据评价最终得分，评价小组对被评审论文初步结论进行深入分析判断，总体看该论文结果评为“良好”，非常接近优秀水平。
三、结束语
本文采用灰色层次分析法评价广西财经学院本科毕业论文的质量，系统地提出了三个一级指标和十二个二级指标，该方法的应用有效地实现了定量分析和定性分析的统一。由于该方法能充分考虑了指标之间的内在关系和评价系统的灰性，所得量化值在一定程度上客观反映论文水平的实际情况，因此，该方法具有一定的科学性。但是毕业论文质量评价模型的建立，并不是一成不变的，需要我们随着不断发展变化的新形势，不断检验和完善毕业论文评价体系，以使论文的评价更客观公正。
参考文献：
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[2]黄勇，查道林.基于灰色层次分析法的大学院长经济责任审计评价研究[J].财会通讯，2010年6期上
[3]演克武，朱金福，刘锋.基于灰色层次分析法的航空公司机型适应性综合评价研究[J].数学的实践与认识，2009年7月