对数学建模的认识和感悟篇1
一、“赏”交――“赏析”结合，学习“交法”
建构主义理论认为：认知过程是转换、简约、加工、贮存、提取和使用感觉输入的所有过程。“赏交”则是以“课例”为载体，以观察为手段，以教学问题为对象的教师对“如何交流”方法的认知教学研究，它按照“赏析”结合的方法，观赏名优课，学习“交法”。“赏交”始于教师对名优课中不同课型“如何交流”方法的学习、分析，这是“四交”教研的出发点和开展教研活动的起点。那么，如何“赏析”？
1.“赏”：确定主题，欣赏主题。
首先，备课组结合教学实际，选择一种课型研究其“交流方法”，确定主题，本学期甚至本学年的“四交”活动都围绕这一主题展开。其次，根据本组确定的主题，备课组全员欣赏名师教学实录、教学设计等，选择资源中与之相关的“交流”内容欣赏。例如：我校低年级数学组在探讨“低年级数学概念课课堂交流的基本模式”时，先后观摩了吴正宪的教学视频：《分数的初步认识》、《面积和面积单位》、《方程》，观摩了《长方形和正方形的认识》、《加法的认识》、《角的认识》等领悟了概念课的特点，尤其侧重学习了名师在课堂中引导学生交流的方法。
2.“析”：剖析主题，分析思考。
备课组全员在欣赏名师课件视频、教学实录、教学设计等的过程中，还要对名师课堂“交法”进行深度剖析，学习名师课堂“如何交流”方法和学生“交流品质”培养方法。同时，结合自身实际、学生实际，客观分析思考，取其精华。
中国古语“名师出高徒”是被科学发展史所证实了的著名格言。“赏交”是探讨名师课堂“交法”、研究“交法”，进行思维引领，方法示范的一种教研形式，也是教师课堂教学水平自我提高的重要途径。
二、“悟”交――“学研”结合。领悟“交法”
新课程改革的不断深入，要求我们教师有全新的教育理念，全面的教育教学能力，全新的教学行为。感悟是经验学习的工具，经历必须经过感悟，才能升华为经验知识。“悟交”是“赏交”的深入，是教师对名优课例中“如何交流”方法的再认识、再思考，并以此来总结经验。它是运用行动研究法、比较法、总结法、对话法等，按照“学研”结合的方法，领悟“交法”。“学研”结合具体操作如下：
1.“学”：自主学习，自我感悟。备课组全体成员结合个人教学实践，对名师课堂“如何交流”的方法，进行深层次理论学习，感悟其“交法”的科学性、可行性和有效性。同时，结合自己的理论学习，还可以创新性地提出自己更为有效的“交法”。
2.“研”：集体研讨，团队反思。备课组全体成员结合自己学习和感悟展开研讨。大家都以自己的教学实践去分析“如何交流”的方法，促使各自思考，然后共同研讨，进行团队感悟反思，形成初步的“交法”思路。如：我校低年级数学组在“赏交”的基础上，进行了有针对性的业务学习，查找了相关资料，主要有《小学数学如何进行概念教学》、《小学数学低年级概念教学特点例谈》、《新课标下的小学低年级概念教学》、《如何提高小学概念课教学的有效性》、《如何上好小学数学概念课》等。
“悟交”注重教师之间的合作与对话，有助于建立合作学习的共同体。在实践中，除了备课组的集体感悟反思外，还可请教育教研学者介入，提出有促进性、针对性的建议，促使教师感悟反思，从而获得更新、更全面的认识。
三、“践”交――“点面”结合，践行“交法”
实践是检验真理的唯一标准。“践交”是“赏交”、“悟交”的实践验证，是从理论到实践的过程。它是按照“点面”结合的方法，深入课堂，践行“交法”。那么，何为“点面”结合呢？
1.“点”：上主题课，实践“交法”。
全体成员围绕本组教研主题，在自己的主题课上自主实践“交法”，通过个人教学实践，反思总结，形成实践结论。
2.“面”：上反思课，优化“交法”。’
备课组成员围绕本组教研主题每人上一节反思课，全组成员听课，并在每周教研活动时集体反思研讨。备课组成员通过对本组研究课型“如何交流”的方法的科学性、实践应用的可行性、课堂教学的有效性的研讨反思，优化“交法”。如：我校四年级语文备课组探讨的是“四年级童话课交流模式”，在每两周进行的“践交”课上，备课组的每一个人都要围绕“童话课交流模式”上一节主题反思课。通过“上课――研讨――优化”的步骤，不断优化“交法”。
“践交”是用理论研究与实践研究相结合的方法进行，进行过程以“纲要”精神和新课程理论为指导，以建构主义理论为基础，以课程标准为依据，以课堂教学为核心，以有效提高课堂教学效率为目的，通过实例验证法、专题讨论法、典型示范法等践行“交法”，优化“交法”。
四、“辩”交――“辩凝”结合，形成“交法”
萧伯纳说过：“你有一个苹果，我有一个苹果，大家交换还是一个苹果，你有一个思想，我有一个思想，大家交换，可以让思想更丰富多彩。”“辩交”作为“四交”教研核心，是按照“辩凝”结合的方法，形成“交法”。其具体做法是：
1.“辩”：论述反思，辩论主题。
“辩交”首先由组长阐述选题的背景、选题的意义等；再由上课老师反思自己如何把主题和自己的课结合起来，效果怎么样；最后进行辩论。“辩论”是“四交”教研关键所在，要求成员从不同的角度、不同环节，阐述本组所研讨课型的“交流”方法，诠释提炼的依据，达到的效果。
2.“凝”：研讨总结，凝练模式。
“凝”是“辩交”的最后环节。由组长总结本组“四交”教研成果，凝练本组教研主题的“交流”模式，并从实用性、科学性、价值性和可操作性等方面进行小结。
通过“赏交、悟交、践交、辩交”的“四交”教研活动，有效地克服以往教研活动信息交流渠道单一、教师之间缺乏互动交流的弊端，体现“和而不同”、“趋同辩异”等传统的哲学理念，切实提高了教研活动的实效，增强教师的互动交流，提高自身的专业素质。这种教研活动形式既尊重教师的个性，又能激发其创造欲，能有效地避免千师一面的情况。
“四交”教研活动在我校开展一年多来，我们构建了“赏交、悟交、践交、辩交”的“四交”教研活动模式。研究了三种课型“如何交流”的方法，形成了三种课型的“交流”模式。同时，我校许丽老师的“四交”教研活动示范课《数字的用处》，荣获全国一等奖。另外两名教师执教的“四交”教研活动示范课，在区赛教中均获一等奖。一年多来，我校80余篇围绕“四交”教研活动所撰写的论文、教学设计、教学反思等荣获省市一二等奖。
附二：
低年级数学概念课“交流”模式：同桌合作，孕伏概念；师生交流，吲入概念；小组合作，形成概念；生生交流，辨析概念。
四年级童话课“交流”模式：生本交流，感受童话特点；生生交流，体会角色情感；师生交流，深化理解，生成感悟。
对数学建模的认识和感悟篇2
关键词：数学思想渗透策略
中图分类号：G623.5文献标识码：C文章编号：1672-1578（2013）11-0222-02
1前言
“数学思想包括基于数学学科内容的思想、方法论层面的思想以及更高层次的数学哲学思想，其中关于数学各分支之间的共性和联系以及整个数学的理性认识，这类思想可称为数学哲学思想”。在小学阶段数学教学中，对学生进行数学思想的渗透，有利于学生对学科内容的学习，促进学生数学学习方法的掌握，甚至在以后的学习生活中学以致用。小学阶段虽然课程内容较基础，但其中仍然蕴含着丰富的数学哲学思想，教学中适时进行渗透，并在后续学习中不断地丰富其内容，会使学生的思维向着更深更广层次发展。
“学会独立思考，体会数学的基本思想”，数学思想的渗透也应是数学教学中重要的内容。小学生思维水平以形象思维逐步向抽象思维过度为主要特点，因此，对于数学思想的教学仅仅只是让学生在知识的学习过程中去感悟，让学生体验思考的乐趣。
2早期应渗透哪些数学思想
数学思想在教学中的渗透在教学研究中越来越受关注。数学老师在论及数学思想时，最常提到的“点阵中的规律”教学时数形结合思想，圆面积探究中极限思想，圆周长教学中画曲为直的转化思想等，提到符号化，便是字母表示数，提到平面图形面积，便是转化思想，这些都是数学思想渗透的典型课例。数学思想教学更需要的是日常教学中的适时、及时渗透，到底应渗透些什么呢？
2.1符号化思想
用符号进行数学表达、交流、运算即符号化思想，数、字母都可视之为符号。小学生数概念的建立始于整数，再扩展到小数，分数，这个过程循序渐进，随思维发展而不断增加新的内容，逐步建立完善数的体系。在低段数概念的建立中，通过数与物，数与形的对应，体现出数字作为符号的简便、数学表达的规范，即符号化思想的基本表现。在符号化过程中要经由具体到表象，抽象到符号的过程，如用数表示物体多少。另一方面，学生还需要对符号进行解释的过程，即由符号回到具体事物中去，如一年级学生解释算式在情景中表示的意义。
字母表示数是符号化思想的核心之一。用字母表示数，其思维层次上升一个台阶，教学时也要把握其层次，即：字母表示一定范围的数；表示某一个特定的数；作为未知数参与运算。字母表示数在北师版教材中为四年级下期内容，但在之前仍可做不少铺垫，如低段练习中：+5=8，++=18等，都是符号化思想的渗透。
2.2函数思想
函数反映的是一个量随另一个量变化的规律。小学阶段不用给学生讲函数概念，但在教学中应适时渗透，对学生的发展会有好处。函数思想在四则运算教学时便可进行初步渗透，例如加法中一个加数不变，另一个加数增加，和怎样变化？和会随着另一个加数的变化而变化。这在小学一年级学习十以内加减法时，便可适时渗透。又如：乘法中，一个因数不变，另一个因数扩大到原来的几倍，积就扩大到原来的几倍，同样也可以让学生在计算与观察中体会到一个量变，另一个量会随之发生相应变化。到高段时，学生学习数量关系后，也可设计相应的教学活动让学生体会其中蕴含的函数思想。四年级“速度、时间、路程”教学中，速度一定，汽车行驶的路程会随着时间的增加而增加，教师利用表格呈现，让学生自己去观察发现，体会其中的思想方法。
2.3对应思想
对应思想在小学中体现较多，数与形的对应，量与率的对应在教学中比较普便。对应是两个集合间的联系，存在着一对一、一对多或多对一的关系。数与形的对应，从低段数物计数，到高段计算图形的周长面积，都包含着数形结合思想。在解决问题时，利用几何直观便是将这种思想活学活用的体现。一一对应的思想从低段认识数、比较数的多少开始，不断让学生体验，后续学习中数轴上认识小数将数的大小、组成，数与形的对应融合在一起。量与率对应在高段学习分数、比例中运用较多，通过抓分率与实际量的对应对解决分数问题至关重要。
2.4模型思想
模型思想是让学生从问题情境中抽取出数学问题，分析其中的数量关系和变化规律，建立数学模型以便解决问题。从模型思想的角度思考教学，让学生不断体会到建模的好处，对以后的解决问题至关重要。加减乘除均是解决问题的简单数学模型，“猜想――验证――结论”是探索与发现新知的模型，数量关系是解决某一类问题的数学模型。在数学教学过程中进行数学建模思想的渗透，将有助于学生形成良好的思维习惯。
2.5数学辩证思想
数学现象与数学事实中，往往存在着矛盾，辩证地处理这些对立与统一，绝对与相对，有限与无穷，变与不变的矛盾，将蕴藏着深厚而丰富的内涵。己知与未知的矛盾，将激发学生探求问题的兴趣。整体与部分的关系有助于学生理解分数概念，解决实际问题。空间方向认识中左右、上下、前后的相对性；认识时间教学中瞬间与永恒的辩证；面积与周长变与不变的辩证关系都能让学生感受到数学辩证的魅力。
数学思想内容丰富，除上文提及内容外，转化、极限思、算法化、集合思想等都应成为早期渗透的内容。多层次、多角度地理解方能使教师明确在教学中应渗透的思想内容。
3教学中渗透数学思想的策略
“教思想，促方法，在生成中展开教学”。数学教学重在思维的启迪，思想的渗透，方法的指导。思想的渗透不是单独进行的，而是融会贯通地隐现于教学活动之中，它依附于具体的知识载体，又通过丰富生动的活动体现，思想的形成还需长期系统、循序渐进的体验感悟。
3.1寻找合适具体的知识载体
思想的渗透与知识教学要融合在一起。教师对数学思想心中有数，便能在教材解读时把握住知识背后所蕴含的思想实质，找准相应知识作为载体，使数学思想不露痕迹地在学生心中生根。
例如，模型思想在四年级“探索与发现”中与所学知识结合紧密，教师应充分利用。其中教学乘法分配律时，既可以让学生经历“猜想-验证-结论”的过程，又可以让学生建立运算律的模型。运算律模型可以从两方面完成，一是对其结构（a+b）×c=a×c+b×c的模仿，二是从意义上建模，这里可以借助求长方形面积来作为其载体。不仅体现了模型思想，更将数形结合思想也融入进来。
3.2形象感知，体验强化
由于儿童思维水平的阶段性、发展性，早期思想的渗透应充分尊重儿童认知特点，以具体问题、形象感知为主，以体验感悟为主。在设计教学活动中找准逻辑起点，知识生长点，抓住儿童兴趣点，兴奋点，让学生在认识冲突与新知探索中发展思维，感悟思想方法。形象感知就是要使数学情境生活化，用儿童常见的、乐见的素材来设计教学，在对数学知识的探索中感悟。同样，数学思想的形成并不是一朝一夕，一蹴而就的。长期系统地进行渗透，让学生在不断地体验中感悟，才会在点滴积累中形成思想方法。
3.3思辨感悟，学以致用
学源于思。给学生足够的思辨空间，让学生在不断质疑、思考中体会数学思想的妙处，融会贯通，学以致用。三角形分类认识时，引导学生讨论分类标准，寻找共性，区别个性特征，在分类过程中认识各种三角形，感受分类思想，并迁移到图形的学习认识中，拓展延伸到生活中的分类。又如：图形的面积与周长易混淆，除了从概念理解和计算方法上进行区分以外，还可以通过练习抓变与不变进行拓展，让学生在“周长相同，面积不同”的思辨中去感悟，突破分不清辨不明的难点。
4结语
小学生数学思想的学习重在体验、感悟，在大量的数学情境、数学现象与知识的学习活动中去感知，并不需要显性化地呈现。数学思想博大精深，要深入浅出地将其蕴藏于课堂教学活动之中，教师除了要对数学思想进行归纳整理，了然于胸，还需要有将其儿童化、情趣化的智慧，使小学低段儿童能感受到数学思想的妙趣。
参考文献：
[1]邵光华.作为教育任务的数学思想与方法[m].上海教育出版社，2009.
对数学建模的认识和感悟篇3
一、认知之源，感悟
教学，是一门科学，同时它也是一门艺术。在教学过程中，教师有责任结合教材的特点和学生的实际情况，灵活地实施不同的教学方法，注重学生学习数学的自主性，不断地激发学生探索数学、追捧数学的潜能。
我们所说的悟，顾名思义就是“感悟”，它是建立在一定感知的基础上的，感悟就是找到数学问题的内在规律，这也是感悟的源头。只有遵循感知的基本规律，才能对变化的问题进行分析。在认知的初始阶段，教师需要为学生引导感悟的方向，以此来加深对问题的感悟。
比如在引入“正多面体”这一几何图形时，教师大可不必注重该几何体的概念定义和基本结构规律的传授。在学习正多面体这一几何图形前，教师可以让学生完全进入到一种放松的状态，在课件中展示出更多的生活实例和图片，准备一部分模型，让学生亲自体验和观察这些数学模型的构型。在欣赏的过程中，教师可以趁机询问学生：这些图片上物体的形状有什么特点？现场比画一下你所看到的物体的形状？这些物体的形状都有一个共同的特点，你知道是什么吗？正多面体的整个身体分别是哪几个部分，分布有什么特点？哪些是我们之前学过的？
通过上述欣赏加提问，首先能够给学生一种形象的感知；其次，贴近现实生活的知识更能给学生一个深刻的记忆；最后，学生在实际生活的基础上不断地激发自己的想象，不断地靠近知识点，顺应了对新事物认知的基本规律。
二、认知之要，体悟
体悟的关键在于自己去感受，所谓体悟，简而言之就是指在感悟的前提下再去亲身体验，置身其中。换句话说，就是让学生参与到教师的教学环节中去，在实践之后体悟出最真切的数学知识。数学实践活动的设计应当是服务于学生自身的发展和转变的，而且要不断地从统一的规格向差异性转变。要不断地落实学生在学习中的主体地位，灵活地选择多种体验方法，不断地激发学生参与和探索知识的兴趣，促使学生的情感态度由“要求我做”向“我想要做”的改变。
另外，体悟过程要保持趣味性。布鲁纳曾经有这样一句名言：“学习的最好刺激，是对所学材料的极大兴趣。”体验也要讲求活动的科学性和趣味性，并注重突出实践活动的层次性。创设不同类型、不同层次的实践活动，在模仿和借鉴的基础上进行变式的实践，最后在此基础上进行独立的思考和练习。在教学过程中，教师可以在教学设计、小组讨论交流及教学评估中重视活动形式的变化，让学生成为所有活动的主人。努力改变传统的“教师中心论”和“书本中心论”的基本思想，让学生在自主探索中推动创新意识和实践能力的不断提升。
在上述感悟正多面体的案例中，已经让学生对正多面体模型有了一个直观的感受，这也为下面的系统知识的学习奠定了基础，接下来，教师可以引导学生进行系统知识的体悟。
思考：假如有4个、8个、12个、20个三角形，这些三角形可以进行怎样的组合，形成怎样的立体图形？这些三角形需要满足什么关系？相互之间的角度是什么样的？
在教师的引导下，可以组织学生开展一堂生活数学课，让学生准备好相应的器具，在课堂上合作完成上述的实验。学生亲自动手，在动手过程中能引发学生主动的思考，学生和教师间的相互沟通和交流，能加强学生的合作能力。不难发现，正多面体的每条边应该是相等的。学生适时地提出实验过程中的疑问，教师及时地给予解答和引导，增强了学习的效率。教师只需给予一定的指导，整个体悟过程要让学生自主完成。以往很多疑难问题都是依赖于教师的讲解和传授，使学生失去了独立思考的能力和习惯，所以，“体悟”是解决问题的关键，是击破难点、发散思维的关键所在。
三、认知之终，觉悟向领悟的蜕变
在经历了感悟和体悟之后，学生已经对该知识点有了一个深入的了解。而且，在探索知识的过程中，学生对于部分知识的了解和体会可以分别称之为觉悟和领悟。但是，这个层面的感知还只是局限于表面的认知，要想真正地得出系统的理论体系，转化成为学术知识，离不开教师的深入分析和引导。要想更好地实现觉悟向领悟的转变，就要做更多的探究和归纳。
思考1：一个正多面体由多个三角形构成，那么这个正多面体的表面积该如何计算？
思考2：正多面体的体积又该如何计算？有几种思考方法？
思考3：正多面体的表面积和体积的关系是怎样的？正多面体的中心和重心又是什么样的？
教师提出一系列问题作为引导之后，学生学习的积极性和探索知识的欲望就会越来越强。学生可以自己利用三角形组合成正多面体，运用自己所能想到的方法去求解上述问题，再对答案进行总结、论证。在这个过程中，他们积极地去探索，例如，可以利用组成正多面体的三角形的个数来计算表面积；利用多个正多面体组成我们熟知的多面体，以此求解正多面体的体积；利用三角形与空间正多面体的类比来找到正多面体的中心和重心等。思考的方法不一，共通之处是通过学生之间的交流，使思考探知点多样化，并领悟到问题的本质。学生一旦对正多面体这个知识点感兴趣，教师就要抓住学生的最佳状态，让学生对正多面体有更深入的探究，在此过程中总结解题的基本思路和基本方法，并努力地激发学生的探究激情，学生在学习的过程中还能体验到知识产生的整个过程，对于知识探究有着重要的意义。
四、认知之反思，省悟
省悟，指的是学生在学习过程中不断地反思自己的学习方法和知识解答的得与失。教师也要经常性地总结自己的教育教学行为，不断地反思和总结教学过程，从现有的框架中寻找解决问题的方式和方法。如果很难找对解决问题的方法，就要不断地反思自身教学过程中相对比较薄弱的环节，并有针对性地进行改正。“悟”在数学教学过程中扮演着重要的角色，教师在帮助数学困难生的时候，就要适时地教会他省悟，及时地发现自身的问题，及时地针对出现的问题寻找解决问题的方法。比如在上述案例中的思考3，教师一旦发现学生对正多面体的有关知识遇到了理解上的障碍，就要着重引导学生在掌握结论的同时了解结论的来源，知其然而不知其所以然是数学学习中最大的错误。
解决问题的思考方向有很多种，并不是所有的学生都能对问题思考得很清楚，这就需要学生对问题进行反思。教师可以利用一些学生熟知的图形帮助学生对问题进行反思。正四面体的重心的寻找可以怎样进行？中心又该怎样寻找？教师可以利用正多面体的对称性和与三角形的类似性去帮助学生对问题进行了解和思考，这样学生就能够通过教师的引导，对原来没有头绪的问题加深理解，将这种从陌生转化为熟悉的知识载入脑中。
五、认知的高度，深悟
深悟，顾名思义指的是对数学知识本质的深入认知，在不断的探究和创新性思维中解决更多的疑难问题。可以说，数学学习的过程就是一个知识的再造过程，数学课堂的创设能够为学生提供更多的实践和动手、动脑机会，这样才能实现数学知识的再创造，才能有利于学生创新思维和创造能力的培养。
对问题的深悟就是指学生能够真正地理解这类问题，包括这类问题的衍生部分，例如，如何对特殊四面体进行理解。
问题1：从空间一点出发的四条射线，它们两两之间的夹角相等，求这个角及其正弦值。
问题2：一个棱长为1的正四面体在平面上的投影是什么图形？这些图形中面积的最大值是多少？
这些问题的提出都是建立在最特殊的正四面体的基础上的，是由正四面体衍生的问题，因此，在解决这类衍生的问题时还需要借助正四面体的学习领悟，并将这种领悟推向更高点。对这类问题的思考方法就是与正四面体进行类比，这也是学习陌生知识时一种较为常见的学习方法。
对数学建模的认识和感悟篇4
【关键词】数学思想内涵解读教材透视教学建议
教学有三重境界：第一重境界——授人以鱼，基于课本教知识；第二重境界——授人以渔，基于知识教方法；第三重境界——悟其渔识，基于方法教思想。“学如弓弩，才如箭镞，识以领之，方能中鹄。”这是袁枚在《随园诗话》中的一段话，十分形象地指出了“鱼”“渔”“识”三者之间的关系，也正映射了教学的三重境界。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵其中的数学思想方法。只有重视学生对数学思想的感悟、发现和生成过程，学生才能真正领略数学的魅力。数学思想的内涵究竟是什么？小学数学教材中蕴涵了哪些数学思想？教学中如何让学生充分感悟数学思想？我结合自己的教学实践进行初步的阐述。
一、内涵解读：揭开数学思想的神秘面纱
小学数学教材体系有两条线索：一是数学知识线，这是写在教材上的明线；二是数学思想方法线，这是教材编写的指导思想，也是数学内容所蕴涵的精神实质，它是一条暗线。前者是内容载体，后者是精神实质。数学思想的内涵究竟是什么？不同的数学流派有不同的回答，但对数学思想的精神实质的总体把握还是一致的。数学思想是在对数学内容与方法思考的基础上升华结晶出来的一种具有普遍指导意义，并能解决处理数学问题的科学思想。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。
数学思想是用数学的思维方式去考虑、处理与解决问题的思维习惯，是人们通过数学活动形成的对数学基本知识和基本问题的一种本质性的看法，数学思想是数学精神和文化的核心，也是一个人数学素养形成的重要标志。数学思想之重要正如日本著名数学教育家米山国藏所说：“学生所学的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用……惟有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随时地发生作用，使他们受益终身。”数学思想是学生习得的带得走、用得上的素养和能力，是指导学生在未来的学习、工作中解决问题的行动指南。
二、教材透视：挖掘数学思想的内容体系及教学建议
张景中院士曾说过：“小学数学很初等，很简单。尽管简单，里面却蕴涵了一些深刻的数学思想。”可以毫不夸张地说，小学数学的每一课都蕴涵着数学思想，有的是显性的，一目了然；有的是隐性的，需要深入挖掘。
《义务教育数学课程标准（2011年版）解读》（史宁中主编）指出：数学的基本思想主要是指数学抽象的思想、数学推理的思想、数学建模的思想。由上述基本思想派生、发展出来的下位数学思想还有很多。如由抽象思想派生出的下位数学思想有分类思想、集合思想、符号化思想、对应思想等；由推理思想派生出的有归纳思想、演绎思想、化归思想、类比思想等；由建模思想派生出的有化简思想、量化思想、函数思想、方程思想、优化思想等。明确这些数学思想分别蕴涵在哪些知识之中是做好学生数学思想培养工作的基本功。我对苏教版小学数学教材中蕴涵的数学思想进行了不完全的挖掘与梳理，如下表所示：
下面仅就抽象、推理、模型三种数学基本思想，探究其内容本质，梳理教学应用的途径。
1.抽象思想及教学应用。
所谓抽象，就是从众多的事物中抽取出共同的、本质性的特征，而舍弃其非本质的特征。数学抽象主要包括两个方面：数量与数量关系的抽象，图形与图形关系的抽象。
例如，教学苏教版一年级上册《认识1、2、3、4、5》一课时，我先引导学生在第2页的图上找一找有哪些物体。再点一点、数一数。接着让学生说一说每种物体有几个，并发散学生的思维，让学生仿照“一头大象”说“一***”，并板书出来。然后从一头大象、一个太阳等抽象出数字“1”，从两只犀牛、两棵树等抽象出数字“2”……
学生认识数的过程，不只是单纯认识数字符号，而是一个从具体到抽象的过程，教师应综合考虑数、数量、数量关系等要素，结合学生学习的特征设计和组织相关内容的教学。“认数”教学中需要注意以下几点：第一，引导学生看图感知数量。把看到的数量尽可能地表达出来，建立实物与数量之间的关系，了解实物的个数可以用数量表示。第二，从数量抽象为数。从一头大象、一个太阳等抽象得到数字“1”，从两只犀牛、两棵树等抽象得到数字“2”，……是从数量到数的抽象。第三，感知数量的多少和数的大小。“比较大小”要完成两个层次的抽象，一个是比较数量的多少，一个是比较数的大小。比较数量的多少应当是将同样的东西进行比较，我们不能说4个梨比3个猴子多，只能说4个梨比3个梨多。只有抽象为数的时候，才能比较大小。
2.推理思想及教学应用。
所谓推理，是指从一个命题判断到另一个命题判断的思维过程。在本质上，数学推理分为归纳推理和演绎推理两大类。归纳推理是命题内涵由小到大的推理，是一种从特殊到一般的推理。通过归纳推理得到的结论是或然的。演绎推理是命题内涵由大到小的推理，是一种从一般到特殊的推理。小学数学的基本性质、法则、公式、规律等大都是通过探究一类事物的部分对象，来作出有关这一类事物的一般性结论的，这样的推理是不完全归纳推理。
例如，教学苏教版四年级下册《3的倍数的特征》一课时，我给每个学生发了一盒火柴，让他们在纸上摆出15、23、27、111等数，并填写实验记录单。接着，引导学生分析实验记录单，得出初步的数学猜想：火柴棒的根数是3的倍数，摆出的数也是3的倍数，也就是各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。仅仅凭借这四个数还不能完全说明结论的正确性，需要来验证，于是让学生自己举例来验证刚才的数学猜想是否正确。这一过程是典型的不完全归纳推理。在这一过程中，有实验，有记录，有观察，有分析，有猜想，有例证。这样从特殊的几个数经过不完全归纳推理得到一般的数学规律，可以用来解决普遍的此类问题。
3.模型思想及教学应用。
数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。张奠宙认为：“广义地讲，数学中各种基本概念和基本算法，都可以叫做数学模型。如自然数系1、2、3……是描述离散数量的数学模型。”数学模型在小学数学中分布十分广泛，如数的表示、数的运算、用字母表示公式、统计图表等。因此，我们应该清醒地知道“建模”“模型”对于数学和数学学习的重要价值。
例如，在苏教版四年级上册《找一一间隔规律》一课中，我充分利用书本上的实际问题，以学生喜爱的小兔子晒手帕的情境引入，让学生先观察手帕和夹子的排列顺序，再让学生用小棒和圆片把手帕和夹子模拟摆出来，完成建模之前的数学抽象。学生在动手摆的过程中自主发现：1根小棒对应1个圆片，到最后还剩1根小棒没有圆片做好朋友，所以小棒比圆片多1。进而推理得到这一类问题的数学模型：一一间隔的两种物体，当两端物体相同时，中间的物体比两端的物体少1。这个数学模型是学生在动手操作中、在观察思考的基础上自主探究发现的，在练习中我再次创设开放的教学情境，提供给学生自主发现“圆形池塘边树木的排列规律”的机会，这也是数学建模中“破模”的过程，使学生对“两种物体一个隔一个排列”的认识从不封闭直线拓展到封闭曲线的思维层次。在这样的探究过程中，学生基于已有的数学现实，尝试将具体问题转化为数学模型，并通过对实际问题的分析处理，建立起某种特定的数量关系，利用相关的知识使问题得以解决。这么做的最终目的不是建立数学模型，而是要让学生在解决问题的过程中形成建模思想，感悟数学精神。
数学思想是抽象的，小学生的认知特点是以形象思维为主的。因此，在小学数学课堂上让学生感悟数学思想，绝不能抽象地讲思想，而应注重结合具体的生活情境，引导学生在探索发现数学的过程中感悟与发现数学思想。学生数学思想的感悟与形成需要有一个不断渗透、循序渐进、由浅入深的过程。这一过程是从个别到一般、从具体到抽象、从感性到理性、从低级到高级的螺旋上升的过程。在这一过程中，需要我们教师首先做个思想者，不断丰厚自己的数学思想，同时还要做一个“思想”的点拨者，不断用我们的数学思想“敲击”，让学生在一次次被“敲击”的过程中，不断积累、感悟、发现、理解、生成自己的数学思想，直到最后自觉运用数学思想解决实际问题，提升数学素养和实践能力。■
对数学建模的认识和感悟篇5
数学活动区别于其他活动的主要特征之一就是数学化。小学数学教学要从学生的现实世界（已有生活经验与常识）中选择直观形象的素材，运用符合“形象—表象—抽象”认知规律的活动方式，让学生亲身经历从自己熟悉的现实世界中抽象概括出数、量、形、式。例如，教学“最小公倍数”。如果用长3分米、宽2分米的长方形墙砖铺一个正方形（用的墙砖都是整块），正方形的边长可以是多少分米？最小是多少分米？有以下两种不同的活动设计。活动一，用教师给大家提供的长方形纸片摆一摆，算一算正方形的边长可以是多少分米？最小是多少分米？活动二，提出问题后，教师引导：请你们想一想要用什么方法帮助我们解决这个问题？活动一只是让学生做手工与算术，没有激起数学思考———发现拼出的正方形边长与2和3之间的关系，也就是说活动过程没有数学化，所以这样的活动不是有效的数学活动。活动二首先让学生自己设计活动方案，然后通过活动把生活问题数学化———发现摆出的正方形边长既是2的倍数又是3的倍数，叫作它们的公倍数，其中最小的一个数6是它们的最小公倍数。设计二能激发学生的数学思考，把活动经验组织化、结构化，建立公倍数和最小公倍数的概念，这才是有效的数学活动。
二、数学活动要蕴含丰富的数学教育价值
1.数学活动要揭示数学概念的来龙去脉
小学生的数学学习主要从生活经验出发，在现实生活中寻求概念的原型，通过观察比较、归纳概括等活动抽象出概念的内涵，通过问题解决体验数学概念的外延及应用价值，通过反思总结把自我建构起来的概念纳入已有的认知系统中。例如，“比例尺”的教学，可以通过“画教室的平面图和画手机芯片设计图”两个活动，引导学生自主确定图上距离和实际距离的比，并用人们能读懂并且熟悉的形式表示出来，从而感悟比例尺的意义和使用价值，在沉淀知识的同时学会创造。
2．数学活动要渗透数学思维方式的培养
数学的基本思想是指抽象、推理、建模等思想，在具体的数学活动中反映为数学的思维方式，主要有：观察与实验、比较与分类、类比与推理、分析与综合、抽象与概括、归纳与演绎、想象与联想、猜想与验证、特殊化与一般化等，其中概括是数学思维方式的核心。在数学活动中培养科学的数学思维方式，可以帮助学生轻松地思考数学问题，感悟数学知识，形成解决问题的能力。例如，“称”的活动在小学数学活动中至少用过6次，它所蕴含的数学思想方法和思维方式却各不相同。二年级“克与千克的认识”通过“称”进行观察与实验，直观感知1克与1千克的质量，形成对克与千克的抽象认识；三年级“数学广角———等量代换”通过“称”进行替换推理，感悟等量代换的思想；五年级“综合实践———量一量%找规律”通过“称”，用单位长度的线段来刻画物品的质量，感悟函数思想，培养归纳推理能力；五年级“方程的意义”用“称”建立等式的数学模型，渗透方程思想；五年级“数学广角———找次品”通过“称”进行排除推理，感悟从特殊到一般与优化的思想；六年级“综合应用———有趣的平衡”，通过“称”发现竹竿的两边塑料袋中放棋子的个数和刻度的积相等，感悟函数思想。
3．数学活动要积累丰富的数学活动经验
对数学建模的认识和感悟篇6
一、做
“做”是学生自主学习的集中体现，是相对于被动地“听”教师讲而言的，它是指学生产生问题后，在教师的帮助下，自己动手、动脑尝试着解决问题.只有通过亲自“做”，学生才能对数学材料、数学事实等获得深刻的认识和体验，为领悟数学的真谛创造条件.因此“做”是学生学习数学的必经之路，是理解数学的重要条件，由于数学具有高度的抽象性，我们在积极引导学生广泛参与“做”的同时，要注意让学生掌握一些简单的“做”的方法，引导他们成功地“做数学”，从而获取正确、深刻的数学活动经验，增强“做”的能力.
（一）引导动手操作
小学生对数学的体验主要通过动手操作.借助动手操作，既可以使学生增加数学体验，又可以帮助学生在未达到抽象思维水平之前独立“做数学”获得成功.例如，学习圆周率这一内容时，首先让学生测量一些圆的周长与直径或半径，并让学生求出圆周长与直径或半径之间的比，通过这一系列的探索活动学生就能很快发现，圆周长与直径或半径之间的比总是3倍或6倍多一点.
（二）指导建立模型
小学生以形象思维为主.在解决数学问题时，指导学生用实物图、示意图或线段图作为数学模型来思考问题，可以帮助他们顺利地解决问题.如，校园里有12棵松树，7棵柳树，松树比柳树多多少棵？学生在教师的指导下画出示意图：
松树：
柳树：后，很快就能找到解题思路.
二、悟
一个完整的数学学习过程，还需要学生在“做”的基础上，对数学的意义进一步加以理解，通过分析、综合、抽象、概括，逐步掌握概念的基本特征或规律性的实际含义，达到理性认识.这一过程是逐步深入的，需要学生在不断的体验中，慢慢地“悟”，才能产生认识上的飞跃.因此，“悟”是学生真正理解数学知识的关键性活动，是学之道.由于“悟”非外部活动，学生往往难以把握，教学中要注意引导，逐步提高学生在自主学习情境下的自悟能力.
（一）重视两种方法
1.反思.在“做”的基础上，及时引导学生对做的过程、结果及其中出现的现象等进行反思，可以帮助他们将新知识在头脑中进一步完善、丰富和系统化，增强自悟能力.比如，学习100以内退位减法的口算时，在学生借助小棒算出23-7的结果后，引导他们反思：3减7不够减，是怎么办的？然后通过对同样的几道口算题的“做”与反思，学生很快理解了退位减的算理，自悟出口算的思路.引导学生重视学习过程中的自我反思，既可以提高“做”的成功率，又可以提高“悟”的速度与深度.
2.比较.及时引导学生对所学的新知进行比较，通过异中求同，可以帮助学生悟出新知中蕴藏的规律性的东西.如，把求比一个数多几的数的应用题的例题和做一做中的习题进行比较，学生能很快悟到：这几题要求的数量都比已知的数量多，所以求比一个数多几的数要用加法计算.若将新知与旧知或类似的问题在思考的角度、解决问题的方法上作对比，可以使学生发现新知与旧知的区别与联系，把握新知的特性，增强学生的辨别、判断能力.
（二）把握两个原则
一是适时原则.根据量变到质变的规律，学生不可能通过一道例题的尝试就能悟出规律性的东西.只有在经历了多次的实践，通过不断的体验和自悟，才能逐步把握到数学知识的本质，总结出规律性的结论.因此，“悟”需要时间，总结、概括则要看准时间.二是适度原则.由于学生年龄小，语言表达能力差，因而抽象概括时，对学生语言表达的要求要适度，因为悟的目的是意会，能运用.
三、用
数学学习的最终目的是看学生能否运用所学的知识去解决问题，尤其是一些简单的实际问题.因此，在“悟”的基础上，还要引导学生去“用”.通过“用”，增加“悟”的深度，使知识内化为能力；在“用”中逐步提高学生解决实际问题的能力，最终完成数学教学的任务，让学生会“用数学”.
（一）抓实基本练习，使学生“能用”
有些问题的解决需要立即提取所需的信息，包括数学事实、公式、定理等或要求某些基本技能，如表内加法、乘法达到相对自动化等.因此，要抓实基本练习，如公式、定理、口诀等的记忆及进行例题的模仿式题型的练习等.通过基本练习，使学生及时巩固所学的知识，形成“用数学”的基本技能.
（二）重视实践性练习，使学生“活用”
对数学建模的认识和感悟篇7
关键词：实践综合领悟贯通
《数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）把数学实践活动作为一个新的领域，人教版新课程教材在每册编入两个综合实践活动的内容。在平时的交谈中许多教师对此内容往往不屑一顾，教学中出现了很大的随意性，一些教师认为这种课上不上无所谓，反正不是考试考查的内容，对此我认真研读《标准》和《基础教育课程改革纲要（试行）》，对实践与综合应用的教学目标、教学内容进行了重新认识，并结合教学实践谈谈教学中的一些做法。
一、在实践中领悟——对“实践”的认识
实践与综合应用课的实践就是让学生去经历，在学习实践中去体会。在实践中学生不断发现数学知识，在知识交流中思维不断碰撞，在思考中接纳知识，活动中接纳友情。它的实践性不同于一般的数学课外活动，数学课外活动的随意性较强，学生一般可以自愿参加活动，目的在于培养学生对数学的兴趣；而实践与综合应用课的实践有明确的教学要求，虽然可以向课外延伸，但更多的是与课堂教学相融合，要求人人参与，使他们充分领悟到数学知识与实际生活紧密相连，数学来源于生活，生活中处处有数学，通过实践培养学生用数学的眼光看待现实问题的能力和意识。
1、在生活化的实践中领悟
教材中编写的综合实践内容都是与人们的生活、生产有着十分密切的联系，教材注重让学生通过具体的、现实的活动进行感受，获得体验。如人教版二上《我长高了》结合前面所学的内容，联系学生的生活实际，进行测量长度的活动。教材通过让学生互相测量身高、步长、臂展以及测量门窗的宽度等实际活动，加深对米和厘米的认识，使学生获得日常生活中一些常识性的数据。通过对自己身体各部分长度的测量，感受成长的快乐。通过此活动学生领悟到用刻度尺量物体长度的方法，进一步建立长度观念，培养了估测能力。
2、在形式多样的活动中领悟
实践与综合应用教学打破学生严格坐在座位上听课，教师在讲台上讲课的传统形式，在教室里允许学生“乱”，小组成员可以根据爱好，兴趣自愿组成小组。活动地点可以为教室，但不局限于教室，可以让学生走进大自然，走进现实生活中。如人教版二上《看一看摆一摆》，这个活动可分两步进行，先在课外，再在课内。首先教师带领学生分别站在汽车的前面、侧面、后面观察，说说所看到的形状是什么样的？各部分是由哪些平面图形组合而成？再看看周围的物体是由哪些平面图形组合而成的？还可以让学生从网上，杂志上收集各种汽车各个方位的图片及平面图形组合的资料，然后回到课内教师用课件分别展示，让学生进行辨认，学生再利用学具进行拼摆平面图形。通过活动，使学生感受图形与图形之间的关系和变化使学生在活动中得到体验，培养学生把现实生活中的问题数学化以及用数学说明解释实际问题的意识。课后让学生进行“会变魔术的图形”的实践活动，可以是摄影作品、小调查、小报告等多样化的形式出现，使学生觉得参与实践活动是一件快乐的事。
3、在弹性化的活动中领悟
数学实践活动的时间不易把握，要立足课堂，用足课堂时间，但又不能受制于课堂。如教师在教学《一亿有多大》这一活动课时，教师通过课内引导一亿本教科书有多高，一亿粒米有多少，充分发展学生的空间观念，以“一亿滴水有多少”作为课外实践综合活动的序幕，鼓励学生以此为内容，设计研究的方案，引导学生主动探究、主动收集信息和处理信息，指导小组怎样分工与合作，怎样有针对性地进行调查访问，发现问题，怎样收集和整理资料，怎样随时做好研究记录以及记下自己的感受和体会，怎样撰写研究报告或调查报告等等。学生以课内所学的知识为基础，利用课余一切可以利用的时间以小组为单位进行活动，学生说没想到放学后还能做这么多事，时间是否变长了。虽然活动已结束，但学生对数学应用于实践的热情仍在延续。
4、在层次化的评价中领悟
《标准》强调：“对于综合应用的评价，很难在一次书面考试中完成。因此，教师应注重评价学生参与活动的过程，不宜把这一类活动或问题纳入书面考试（或测验）的范围之中。”小学生是从一年级六、七岁的儿童到十一、二岁的少年，知识积累程度不同，接触社会不同，实践活动的能力也一定不同。因而我们对实践活动的评价也应不同，应具有层次性，要根据《标准》对各年级实践活动的要求分层分级进行评价。评价过程中应注重评价各层次各年级学生参与实践积极性，合作交流的主动性，以及解决问题方法的多样性，新颖性等等，对有所进步有所感悟的学生给予肯定。评价方式要多样化应鼓励学生自评，小组之间的互评。教师最重要的是鼓励与尊重各层次学生的独立思考，根据不同年级学生特点引导学生进行讨论和交流，在讨论和交流中恰当的评价促使学生主动接纳别人正确的观点和方法修正甚至否定自己的观点，从而达到优化领悟的目的。如人教版四上《一亿有多大》让学生自己想办法找出标准感受1亿的大小，学生想到的事物很多，有的学生选择测量“1亿张纸摞起来的高度。”他们在实际操作中发现找1亿张纸直接进行测量是不现实的。教师对学生的想法加以充分肯定并引导学生选择基数进行测量，体会到基数越大，误差越小。课后让学生以1亿有多大开展综合实践活动，对表现优异的学生给与“调查大王”、“创新能手”等称号，对积极参与者给予活动积极分子的鼓励。我班有个小组的实践活动报告被评为区三等奖。层次化的评价调动起学生参加综合实践活动的积极性，主动性，使每个学生都有成就感、成功感，让学生领悟到身边处处有数学，事事需要用数学，人人都要学数学，人人都能学好数学。
二、在综合中贯通——对“综合”的认识
实践与综合应用课的“综合”包含了两方面的含义，一是指数学自身各部分知识之间的融会贯通；二是指打破学科界限，与其他学科知识的沟通和融合。作为数学学科的新领域的“综合”使几何、代数和统计与概率之间的融合成为可能，促进学生数学知识的构建，沟通生活数学与课堂数学的联系，发展学生综合应用知识解决问题的能力，通过综合联系学生能运用知识解答心中的疑惑，提升思维品质，在综合探究中发展学生的合作能力和创新精神。
1、综合对学生知识构建的作用
建构主义学习理论认为，数学学习不是被动的接受过程，而应是主动的建构过程，即通过内部认识结构与周围环境之间的相互作用来建构知识。数学综合应用课程是建立在学生已有知识和经验的基础上，通过综合实践使新的学习材料与学生原有的认知结构相互作用，让学生主动地建构新的数学认知结构。在人教版五上《铺一铺》综合运用有关密铺、面积等方面的知识，统计自己在方格纸上设计的图案中，每种基础图形一共用了多少块，以及所占的面积。学生在活动中感受密铺，认识密铺图形的特点和面积计算公式，在图纸上设计密铺图案，培养空间观念，体验用数学的乐趣。
2、综合对解决数学问题的作用
综合应用课程强调实践与经验，本质上是一种解决问题的活动，实践活动中解决的问题具有开放性和挑战性，学生没有现成的模式可以套用，在问题解决的过程中，不能依靠简单的模仿和记忆，学生在各种各样的操作探究、体验活动中，去参与知识的生成过程、发展过程，体会数学知识的来龙去脉，使学生感知数学与其他学科知识的沟通和融合。如人教版三下《设计校园》贯穿了位置与方向、面积等数学知识的运用，整个活动通过设计学生熟悉的环境——“校园”的过程，让学生综合应用数学知识解决实际生活中的问题——场地面积的大小，添设项目的形状和大小，操场上铺草皮，为低年级开设游戏区等问题，整个活动使学生从身边的“小事”中发现它背后的数学问题，培养学生对数学问题的敏锐眼光，激发学生学习数学的情感。
3、综合对培养合作能力，创新精神的作用
在综合实践活动中，涉及的问题属于探究型的，不通过合作学习难以完成的，合作学习可使学生认知上互补。教师要创设融洽的合作氛围使学生认识到自己是合作学习小组中的一员，如人教版四上《你寄过贺卡吗？》学生以小组进行调查得出“总数”、“平均数”这两个统计量，教师直接向学生提问：全校去年收到的贺卡相当于砍掉多少棵大树？从而引发学生对现有统计数据的思考，合作探索发掘出切实可行的“节约用纸，拯救森林”的有效措施，使学生不仅在活动中巩固数学知识，也切实地增强学生的创新能力和环保意识。
4、综合对学生心理健康的作用
实践与综合应用课程强调学生在活动中体验，引导学生从学生与自我关系的角度选择自己感兴趣的课题，采用研究性学习的方式，采用自我观察、调查问卷、心理测验和心理实验等方法，把自我与社会结合起来，了解心理世界的丰富性和变化规律，体验心理自我完善的乐趣。如人教版三上《掷一掷》活动之后让学生选择自己研究的课题，有的学生选择了《校门口小店摸奖游戏的调查研究》，通过研究学生知道了摸奖游戏是根据人心理特点设计的是骗人的玩意。矫正了自己的认知，获得触及心灵深处的感悟，形成积极向上的情感因素，从而对自己的学习行为和心理状态进行反思与调控，学生在一次次的反思与调控中更加清楚地认识了自我，了解了自己的心理现状，从而能够更好地进行自我心理构建。
参考文献
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[2]郭元祥：《综合实践活动课程目标的类型与层次》。《福建教育》2007.1
[3]郭东梁：《开展小课题研究的探索》。《小学教学参考》2005.6
[4]鲁宏宇：《漫谈综合实践活动课教学》。《吉林教育》2006.6
[5]罗子超责任编辑：《综合实践活动课程》，北京科海电子出版社，2003年7月第一版
对数学建模的认识和感悟篇8
一中医通过长期亲身体证的“近取诸身,远取诸物”的活动,对人体(包括外界存在物)进行有意识的取“象”达“意”的思维过程。
首先,观物取象是意象思维的前提。在中国古代先民们看来,宇宙事物的存在无不有着“见乃谓之象”([1],p.240)的特征,因而物呈现于外的是它的现象、形象,如天、地、人以及万物之象,表征了万物显现于外必有“象”的涵义。《易经》有天象、地象、人象、事象、物象等,《内经》有气象、藏象、脉象,这些统统被称为“物之象”。它是以观物取象为前提的,是对万物存在样态的揭示,却有着“属人”的意义(如由象及理的推论)。因而,它的内容富于客观性的成分,同时充满着主观性的色彩,是有着立于客观物之上的主观认识性的活动结果——象思维。象思维是一种人类认知性的活动,最早有着广泛的“符号学”意蕴。在人类早期社会的认知活动中,象与数息息相关,基本上蕴含着有象便有数的道理。《周易》记载着“极其数,遂定天下之象”([1],p.237)的大宇宙象数之理。在《内经》理论体系中,“气”、“阴阳”、“五行”、“六经”和“五运六气”等基础性概念,都内涵着象思维的符号系统。这些符号系统按照一定的组合原则构成中医理论体系框架,有着“法于阴阳,和于术数”([2],p.8)、“阴与阳别,寒与热争,两气相搏”([2],p.291)及“天有四时五行”、“人有五脏化五气”([2],p.19)等的符号理论系统。这些揭示了观物取象活动,是意象思维的基础。其次,“以言有物”是由象达意的中介。伽达默尔说:“世界本身是在语言中得到表现的。”([3],p.593)从一般交往意义上而言,象思维是以语言为载体的。因为有了“言”“,象”便有了解释学的意义;换言之,“言”是解释“象”而达“意”的工具。中医诊断讲究“观其冥冥者,言形气荣卫之不形于外”([2],p.62),就是指通过充分表达的言辞来传递人体“象”的内容和意义,从能揭示出人体内在运行之态。这是用言语诠释“象”的形式,表明了言是连接象与意的中介,言的外化则为象,言的内化为意。也就是说,言以活生生的象为造型,又有活泼泼的意为底蕴,因而有着象为言之形式,以及意为言之内容的现象。因此,中医哲学蕴涵着由象形符号向意义符号的转变,为一种嫁接于言语上的由物象的本身性向思维的运用性的转向过程,而有着诠释化的表征意义。换言之,它是由象构成的象征符号系统往由言构成的语言符号系统的转向。这种符号转向机制在中国哲学中是独具一格的。然而,虽然象征符号系统与语言符号系统都是围绕着同一个主题,但二者已分殊为两种系统,最重要的是语言只能起到帮助象表达其意义,却不能直接地、准确地表达象的“真意”,而且“仅关注‘言’而忽略‘象’只会得到残缺不全的圣人意图”([4],p.11),因而这有着虽尽言,但非尽意的缺陷之现象。中医也是提倡不要拘泥于言语,更多在体悟象的无穷所示。但需要强调的是,语言虽不能充分地表达人体本然,但离开语言的表达形式,思想的交流与传承就会存在极大的问题。况且,通过人的想象空间来达意,语言能够起到辅助、释义和弥补的作用。因而在达意方面,人们并不主张单纯以“象”尽意,或以“言”尽意,而是主张言象结合、言象相佐而尽意。因为由象达意需要主观性的感悟,感悟者的差异直接决定着对于象的理解,故而中医有“圣医”与“愚医”的理解上的差之千里之别。第三,“立象以尽意”和“得意而忘象”构成一对有张力的象思维和意思维矛盾概念。“立象以尽意”最初涵义是《系辞》对《易经》的哲学阐释,旨在于尽可能立有限之象,用简易之理来表达无限之意。但立象又不可以完全尽意,有着立有限之象不可能毫无遗漏地尽无限之意。如此,便出现了“立象”能否“尽意”的质问。王振复认为在“尽”与“不尽”之间([5],p.20)。然而,无论是“尽”还是“不尽”,但其旨意在于“得意”。这是一种目的,是由万物之“象”来显现,主体能够通过观象来认识万物,以象来表达事实、真实,获取真意,从而把握事物的本质;此时,“象”的存在意义被转移到“意”上,就可以舍弃“象”而只取“意”了,即所谓的“得意而忘象”。对于这点,中医哲学由内及外的超形态的整体性藏象思维,是不局限于现象的,而做到了“得意而忘象”之境;不过,其前提是以“立象以尽意”为基础的。因此,“立象以尽意”和“得意而忘象”构成一对有张力的矛盾概念,然而它不是绝对对立的,前者是基础、前提,后者是进程、境界;前者是必要的,没有前者就不会有后者,也就是说后者是前者的结果,但有前者未必定会达到后者。像“庖丁解牛”就是通过肢解大量的牛而得其意,能够达到“神遇”的娴熟地步,也就实现“得意而忘象”了;若没有大量牛的“象”作铺垫,是无法达到此地步的。中医除了通过“立象以尽意”的大量的临床经验而达到“得意而忘象”的地步,还要有行医者的聪慧悟性而达此境。在中医哲学的藏象思维过程中,观察与抽象并不分离、独立,而是融为一体。其表现为感性认知与悟性感通的合一,是象寓于着义、义却依附于象,二者不可分离而合则为一。因此,“立象以尽意”和“得意而忘象”既是必然的联系,但又不是必然的推论;也就是说,二者可以仅得其一(但很多情况下是二者兼之),只是前者为基础性,后者为境界性;前者更多讲究渐进性,后者更多讲究突变性而已。
二意象思维是中国古代人们在经验知识基础上运思出的原创思维。
它表征了人们通过直观感悟存在物(如世界、人体)的认知、推理过程,即通过提取人体与万物的共相特征,使其富有一定的属性和功能,而形成为具有一定意义内容的属性、概念。中医在知识获取方法上即如此,其中的意象思维就是主张取类比象获取知识的,表现于在经验基础上的“全部智慧就在于增加这相互联系作用的宝库中被直觉到的类比对应物的数目”([6],p.314)。具体言之,取类比象的方法就是择取自然存在物象、人体生理显相、精神变化动象进行类比和比附,它是辨证思维的一种重要方法。取类比象的方式多种,有人体官能比附宇宙,有宇宙物性比附人体,还有人体内外相类比这些类比有着对“真实关系”的直觉感悟、把握功能。第一,意象思维是以“真实关系”为理据的。在中国早期社会,人们对宇宙自然和人体生命的认识是以“象”思维来达意的。象的本质是人体以天地自然的认知为基础和载体的,能够自觉地借助象思维获取知识。在整体观指导下,中医哲学是主张人体内脏腑存在着一定互为协调的和谐关系。那是因为世界的各种物事及其现象间存在着各种各样的联系,因而人体的活动也具有这种“实在的关系”;同时,人具有“可察知的关系”的能力,通过揭示人体与世界存在的规律,来反映人体本身的及其与世界关系的统一与协调。中医基于对人体生命现象的观察和析理基础之上,揭示人体与外界环境的交互关系、人体内部的关系以及人体内的脏腑之间的关系为“真实关系”来模拟存在性,借助阴阳、五行、气、象、数、正邪、虚实等符号和语言,来反映人体生命的运行和诊病理论。中医哲学所描述的万物生化的自然之道在于五运六气的变迁,以及人体内部与脏腑之间的存在关系,都是源于一种“真实关系”,而表现为“列别脏腑,端络经脉,会通六合,各从其经”([2],p.19)之法则。由此看出,中医哲学的意象思维是丰富的,而由其所孕育的知识更是充实的。中医在漫长的历史演进过程中形成了一种经验直观、整体联系的“真实关系”的理论系统,能够按照和谐、有序、平衡、循环或对称的组合原则构成了一定的理论框架,这体现了中医哲学理论体系的基本内涵。也就是说,这种理论体系所形成的“真实关系”,内含着相似或相类事物的比类在思维中获得整体联系性的状态。不过,此种联系是凭靠理性逻辑推理和直觉感悟的整体形象来完成的,既拥有一定的数据和指标又有灵感共同来维系。其中,意象思维是与辩证思维、形象思维以及直觉、想象、灵感、顿悟等共同参与构成了中医思维体系的要素。第二,意象思维是融通理智活动与心智活动合一的载体。在获取知识方面,爱因斯坦便曾认为,科学知识的获取“一方面是尽可能完备的理解全部感觉经验之间的关系,另一方面是通过最少个数的原始概念和原始关系的使用来达到这个目的”([7],p.344)。中医哲学就是讲究立于人体系统论之上,通过经验考察把人体的存在与发展都看成是相互联系的、整体的知识。中医的阴阳五行符号则灵活地运用着原始化的概念和关系,通过阴阳五行的符号化组合和变换,而将自然与人体以及二者之间的关系进行梳理,以简洁和明晰的符号系统来认识、解释和模拟宇宙自然万物。而且,中医通过由象达意的思维方式确立了以表知里与司外揣内的相对待的分析方法,从而把握人体有机体作为整体在自然状态下表现出来的生理病理信息,建立了与宇宙模型同构的“形上”人体模型,使中医藏象理论体系具备了整体性和过程性的知识。而且,中医哲学讲究“观物取象”、“立象尽意”同科学观察、心智感悟紧密联系在一起,通过“把感觉和观察结合在一起,我们可能观察到我们所感觉到的东西,并且能感觉到我们所观察到的东西,然后这就成了不仅反映我们感觉到的而且反映我们观察到的东西的一种方法。它还是自我反映的源泉,自我反映使我们认识我们的本质、心智或自身。”([8],p.9)譬如,中医讲究“微妙在脉,不可不察,察之有纪,从阴阳始,始之有经,从五行生,生之有度,四时为宜”,而达到“补写勿失,与天地如一,得一之情”([2],pp.40-41)之境;而且,这种特殊的功用还能“德化者气之祥”([2],p.151)和“德流气薄而生者也”([2],p.222),有着一定意义的作用和功能。因而,意象思维是对观物取象的超越,而富于德性之情。所以,中医哲学的意象思维不仅在感,而且在情。这是将理智与德性相统一,表现为由内及外的心知(心智)活动与理智活动的不二,这是中医哲学获取知识独特的方法,也是中国哲学的知识论的基本方法。因而第三是,意象思维有着知识确定性和不确定性的统一。中医讲究象的动变之理,注重物的功能,而不是结构形式。在意象思维方法的指导下,中医哲学滋生出“恍惚之数”的模糊性概念。必须承认,这种模糊性是建立在人体直觉感悟之上的整体把握,以一种体认的方式来获得人体存在内在联系的。它强调相似事物的类比推理,注重整体上的易于辨识,不必讲究细节上清晰。中医的藏象理论就是基于临床观察和经验积累基础之上,经过大胆想象、体悟和创新,形成了有别于西方近现代医学之独特理论。这一理论反映的是人体内脏腑功能系统之间多要素、多维度的非线性复杂联系,蕴藏着一种动态而复杂的功能系统构成的脏腑关系网络。正是在直观整体思维指导下,中医“藏象的‘取类比象’不是靠精确的数据、指标来进行使人信服的推导,而是靠具有模糊性的整体形象,使思维得到启示触发,在思维跳跃中取得逻辑联系”([9],p.33)。但是,模糊性并不意味着绝对不精确。金哲认为,中医藏象理论的思维逻辑主要是模糊逻辑,“模糊逻辑是模糊和精确的有机统一”([10],p.1166)。它体现于在经验基础上的体道悟神,在忽略某些细节的情况下反而会使得整体的把握更加整全,有时却更有的放矢。而且,模糊之象还能激发想象力,有着思性的特征,能够拓宽医者的思考空间。这一思性的特征主要有三:其一,由形下“象”而形上“道”“神”是只可明道悟神,而不可言说的;因而,其二是重视“道”“神”的亲证体悟;其三,追求“道”“神”目标的途径是整体身心的修养,而不仅仅是掌握某种知识。这种体现的“至道在微”“神用无方”的特征与西方纯粹的形上思辩是不同的。不过,这
对数学建模的认识和感悟篇9
“大问题”引发思考探本质
“大问题”强调的是用精、少、实、活的问题、话题或活动，来激活课堂，创新教学，吸引学生进入到有一定思维深度的学习研究之中，从而让学生成为课堂有序学习活动的主体。
学生对于图形并不陌生，他们从低年级起就通过多种途径感知并认识图形、模型和实物，能观其外形、读其名称、分辨其特征，对图形进行分拆重组、分类。在图形学习的过程中，学生掌握了一些探索图形特征的方法，积累了一定的数学活动经验，形成了初步的空间观念。
基于以上对教材及学生现状的分析，我尝试了以“大问题”导入图形课的教学设计。
例如，《平行四边形的再认识》一课，在前测中，我请学生带着自己对平行四边形的认识在方格纸上画一个平行四边形。100%的学生均能准确地画出不同形状的平行四边形；其中有16.7%的学生不仅画出了平行四边形，还画出了长方形或正方形。于是，我设计的大问题是：“你画的平行四边形和组内同学画的平行四边形一样吗？”
一开始，所有的学生都坚定地认为自己画的平行四边形和别人画的不一样，于是，“不一样”的声音不绝于耳。慢慢地，有学生发现，无论是哪个同学画的平行四边形，无论所画的平行四边形的大小、形状、颜色有多大差别，这些平行四边形总有一些相同点，如：对边平行、对边相等、对角相等。带着对这个大问题的思考，学生对平行四边形特征的观察从非本质特征（大小、形状、颜色）转移到了本质特征（边、角的特征），在交流中学生还能通过数一数、量一量、比一比等方法说明对边平行、对边相等、对角相等的特点。
“自主创作”促进理解悟本质
图形教学的重点不只是认识图形，更需要通过图形教学发展学生的空间观念。动手操作是很好的建立空间观念的手段。因此，在图形教学中我设计了“自主创作”环节，让学生通过动手操作加深对所学知识的理解与感悟。学生在思中做、做中思，在这种不断的操作与思考中，将静态凝固的数学知识转化为动态伸展的数学过程，从而促使学生感悟数学本质、积累数学活动经验、建立空间观念。
例如《平行四边形的再认识》一课，学生认识了平行四边形的特征后，我设计了活动：请你利用学具创作一个平行四边形，做中思：如何说明你做出来的是平行四边形，你有什么发现？（学具：三角形、小棒）
学生出现了两种做法：
（1）用两个完全一样的三角形拼成平行四边形。
（2）用胶片制作的“小棒”围成平行四边形框架。
用两个完全一样的三角形拼成平行四边形，不仅使学生学会用对角相等、对边相等的特征去判别平行四边形，还解决了后续学习三角形面积公式推导中被忽略的问题――为什么用两个完全一样的三角形拼成的就是平行四边形。
学生通过用小棒制作平行四边形，不仅巩固了平行四边形的特征，还亲自发现、感悟到平行四边形的不稳定性，从而感受到平行四边形在生活中的广泛应用、为我们的生活带来的方便。
“想象推理”构建联系促提升
空间观念的培养不是一蹴而就的，它需要经验的积累、丰富的想象力，因此，想象活动是学生空间观念发展的主要途径。我在图形教学中设计了想象环节，通过想象环节辅助学生构建图形之间的联系，提高学生对图形知识本质的理解。
例如《长方体的再认识》一课，我设计了如下想象环节：
（1）看看搭的长方体框架，如果隐去一条棱，你还能想象出它的样子吗？再隐去3条棱呢？最少保留哪几条棱就能让你想象出长方体的样子？（长、宽、高可以确定长方体的形状）
（2）最少给你几个面你能想象出长方体的样子呢？（最少2个面可以确定长方体的长宽高，即可确定长方体的样子。）
（3）请你根据下面的信息，想象长方体的样子：
2个面：15×615×6
学生想象后呈现出两种图形，比较异同，发现当所给的两个面相同时，要注意考虑哪条棱为公共边。
（4）根据长宽高想象出这个物体是什么。（如图7、图8、图9）
对数学建模的认识和感悟篇10
【关键词】认知模糊认知清晰知识建构
学生对数量关系的掌握与理解，仅仅依靠数量关系概念表象的清晰认知，而不经过对概念本质“二次模糊”的“彻悟”过程，不能真正实现对数量关系概念内涵与外延的厘清和内化。因为学生在理解概念内涵的过程中其内在的思维与外显的行为会在“断裂”与“链接”中交替出现，即学生的数学思维方法和解决问题的行为方法会出现不一致的现象，需要在“二次模糊”的再认知过程中走向再度清晰，继而达到对数量关系含义的真正掌握和真实建构。
笔者近日听了一节苏教版一年级下册“求两个数相差多少的实际问题”一课。
课堂上学生对于红花片比蓝花片多几个，始终有学生用“8+5=13（个）”的算式进行列式解答。不管课堂上教师怎么着急，怎么强化，甚至规定算法，还是有学生依然如故。学生在课堂上为什么会如此“执着”？笔者以为，数量关系的概念建构需要适时引领学生经历“二次模糊”的认知过程，使学生在“初次模糊”中走向概念感知，在“二次模糊”中走向知识建构。
一、知识建构，需在“初次模糊”中激发思考
在解决问题的过程中，由于低年级学生的思维方式以具体形象思维为主，因而，一旦所求问题中的已知信息过度地抑或过早地清晰化或直观化，就会导致学生通过观察直接“触摸”所求问题的结果，使学生丧失了必要的数量关系分析的过程，阻碍了学生解决问题过程中的数学思考，抑制了学生应有的解题技能的形成。因此，在教学实践中，当学生初步感知数量的多少关系时，需要给学生呈现“模糊”的数学信息情境，让学生无法直接“触摸”所求问题的结果，从而激发学生自然展开数学思考，主动探究所求问题的思维路径和解题方法。
课堂上，教师一旦如图出示：
红花片比蓝花片多几个？学生便会“无视”教师的“强调”与“强化”，毅然用“8+5=13（个）”进行解题，并在集体交流时异口同声回答“多5个”。究其原因：（1）学生用加法算式解答此问题，说明学生未能体会到求“两数相差问题”的数量关系时其中所蕴含的减法意义，学生对减法意义的理解只仅仅停留在“去掉”的含义上。因而，此时学生对于两数相差关系不能直接运用减法算式进行解答，符合学生已有的知识经验和学习现实。（2）对于学生在列出“8+5=13（个）”的基础上，却能异口同声回答“多5个”，那是因为学生通过直观观察这些摆放整齐、清晰的花片后数出来的，此时学生的思维方式与所求问题的方法路径是“断裂”的。即在这一数学活动中，得出的“多5个”与“8+5=13（个）”这个算式之间没有对应关系，“多5个”是学生数出来的，“8+5=13（个）”是学生在得出“多5个”结果的基础上列出的算式，此算式的结果与所求问题的结果不是对应关系，导致学生的思维路径和解题方法未能有效“链接”，这两步思路之间没有必然的因果联系。因此，学生此时的思绪是无序的，思维是低效的。导致学生思维如此低效的原因恰恰是教师给予了学生清晰的花片个数，未能激发学生产生有效的数学思考。
故而，教师教学时，需要给学生呈现模糊的信息图，不出现具体数量的花片图，如图：
通过观察，激发学生展开有序思考。（1）你能看出是红花片多？还是蓝花片多？你是怎么看出来的？（引导学生说出是比出来的）（2）进一步追问：红花片比蓝花片多多少？（课堂上学生此时无语，知道多但无法用语言表达）（3）教师进一步引导：你能指出多的部分吗？学生上黑板指出多的部分后，教师顺势引导：你能给大家指明白一点吗？从哪儿到哪儿是多的部分？为什么这部分就是多的呢？（引导学生说出另一部分是和蓝花片同样多的）（4）教师紧接追问：这部分是多的，那另一部分就是……生：和蓝花片同样多的部分。师：也就是谁的个数？生：蓝花片的个数。（5）教师趁势点拨：要求红花片比蓝花片多几个？只要从红花片中把哪一部分去掉？生：左边部分去掉。师：这部分的个数也就是谁的个数？生：蓝花片的个数。师：所以，要求红花片比蓝花片多几个？只要从红花片里把谁去掉？（6）教师引导学生得出结论：要求“红花片比蓝花片多几个”就是要从红花片个数里去掉蓝花片的个数。这样，教师只给学生呈现模糊的图形信息，学生根本无法用具体的数列出无效算式，而是在教师的引导下展开有效的、积极的数学思考，去探索“两数相差关系”的数量概念含义，形成解决此类问题初步的方法模型。
二、知识建构，需在“一度清晰”中引发认知
在知识建构过程中，学生的求知欲望将在建立数量关系概念表象的基础上被自然激发，由此不断激励学生对数学知识的深度探求，引发学生产生从概念表象走向知识本质的认知渴望。此时，对两数相差数量关系的理解需要从“初次模糊”走向“一度清晰”，让学生在清晰的数量信息中直接感知数量之间的大小关系，促进学生对相差数量关系结构的把握和内涵的理解。
学生在通过自己的观察和思考后，已经初步感知了两数相差多少的数量关系的含义，关于两数相差多少的数量关系结构模型在学生的脑海里得到初步建立，两数相差关系的数学概念得到初步表征。所以，此时学生急切想知道具体的红花片和蓝花片的个数，以便得到清晰的两数相差的结果，满足自身的学习需求。课堂上，当教师顺势在课件上引出红花片和蓝花片的清晰实物图后，学生集体兴奋，争先恐后抢着列式解答，为了满足学生的学习需求，促进全体学生理解两数相差关系中所蕴含的减法的意义，并掌握利用减法算式解决两数相差关系的数学问题，教师利用课件不断变化红花片和蓝花片的个数，引导学生进行抢答。此时学生都是用红花片的个数直接减去蓝花片的个数，没有学生再出现用加法算式列式解答的现象。这样从相差关系的模糊概念中抽象出具体的数的大小关系，既顺应了低年级学生“数数”的认知特点，也迎合了低年级学生学习的心理特征，有效促使学生对两数相差关系的理解由感知走向感悟，促进学生在清晰的具体数量关系情境中感悟减法算式的结果所表示的“红花片比蓝花片多几个”的实际含义。因此，引发学生从认知模糊走向认知清晰，实现了学生的数学思考与学习行为的有效统一。
三、知识建构，需在“二次模糊”中生发技能
学生的思维经历了从模糊走向清晰的认知后，看似在课堂上能够顺利根据具体清晰的情境信息进行列式解答，然而此时部分学生的学习更多地表现为一种课堂模仿，并未真正达到理解与内化，更未形成相应的解决问题的技能。因此，此时教学还需要教师再次引导学生走进“二次模糊”的认知过程中，促使相差数量关系概念内涵的发展，促进学生对两数相差关系结构模型的建构，使学生在“二次模糊”中真切感悟两数相差数量关系的结构特征，真正掌握两数相差关系的数量概念本质，不断生发解决此类问题的必要技能。
所以，在利用清晰的花片实物图抢答的时候，为了使学生在解决问题的过程中，逐步建构两数相差关系的数学模型，教师教学时要巧妙利用课件隐去具体的、可数的实物图形，只留下一些诸如示意图、数学符号或语言文字等“模糊信息”，引领学生在这些“二次模糊信息”中探寻数量关系的共性特征，掌握解决问题的基本技能。
红彩带比绿彩带长多少？（3）哥哥比弟弟大几岁？所有这些图形、符号以及文字中所隐含的“多与少”“长与短”“大与小”等相差关系都是呈现给学生模糊的信息，没有呈现具体清晰的数量个数，学生无法直接“数数”“触摸”两数比较的结果，必须要通过列出相应的数量关系式才能表示结果。因而，学生在如此“模糊”的信息中必须寻找题中共同的结构特点以及探索同一的解题方法的规律。即通过探索明白：要求“苹果比梨多几个”就用苹果的个数减去梨的个数，要求“红彩带比绿彩带长多少”就用红彩带的长度减去绿彩带的长度，要求“哥哥比弟弟大几岁”就用哥哥的岁数减去弟弟的岁数。从而理解实际问题中相差数量关系的含义。此时，教师顺势促使学生主动建构模型，助推学生解题技能的形成。引出诸如：要求比多几个？大数比小数大多少，可以怎样直接列式解答？引导学生直接列出算式：-=，大数-小数=。这样引领学生经历了“二次模糊”的探索过程，学生不仅对两数相差多少的数量关系的思考方法以及解题思路有了切身的体验与深刻的理解，而且可以直接用减法算式来表示两数相差关系的意义，学生的数学学习就会从教师反复强调的被动接受转化为学生自主探索的主动内化。学生对数学知识的建构就会经历从直观图形的感知到符号语言的抽象过程，实现了数学认知的“二次模糊”到数量关系的本质“彻悟”。