概率积分法的基本原理篇1
关键词：概率论方法事故工况大气环境影响预测
中图分类号：X820.4文献标识码：a文章编号：1674-098X（2014）05（a）-0202-02
事故工况下的大气环境影响预测是大型建设项目环境影响评价的重要内容。事故大气环境影响预测方法一般分为确定论和概率论两种，目前国内环评单位大多采用确定论方法。确定论方法以现行《环境影响评价技术导则大气环境》（HJ2.2-2008）为代表，在设定的最恶劣气象条件下，按照高斯烟羽大气扩散模式计算污染物在大气中的扩散浓度[1]。概率论方法在确定论方法计算结果的基础上，考虑一定累积概率，推算出在该概率水平下的大气扩散浓度。美国核管委（nRC）导则RG1.145《用于核电站潜在事故后果评价的大气扩散模型》提供了一种典型的概率论事故大气环境影响预测方法[2]。下面对这种方法的原理进行介绍，并通过实例与确定论的计算结果加以比较。
1概率论方法的原理
大量经验数据表明，当一个变量受到大量微小的、相互独立的随机因素影响时，这个变量往往服从或近似服从正态分布。服从正态分布的随机变量超过某个给定值Zα的概率可以表示为，Zα称为分位点。通常取α很小，使得随机变量X超过Zα的事件是一个小概率事件。
研究发现，相当长一段时间内的气象数据未必跟其对应的累积概率有线性关系，但是将其转换为自然对数，将累积概率转换为标准正态分布分位点，以自然对数值和累积概率的标准正态分布分位点绘制的散点图呈直线趋势。由于大气扩散因子（即大气扩散浓度与污染物排放源项的比值）是风速-稳定度气象组合的函数，在自然对数坐标下，大气扩散因子值与其累积概率标准正态分布分位点呈线性关系。
在此基础上，大气扩散因子的计算分为两步。第一步求取样本点，第二步由获得的样本点及其累计概率进行曲线拟合，得到规定累积概率水平对应的大气扩散因子值，即超过这个大气扩散因子的概率是该规定累积概率值。
第一步所采用的模式与确定论方法相同，采用短期大气扩散模式计算连续一段时间内每一种风向-稳定度-风速气象组合对应的大气扩散因子值，大气扩散因子值是风速、稳定度、下风向距离的函数，确定论方法中有很多模式计算短期大气扩散因子，本文不再详述。然后将得到的计算值取其自然对数作为样本点按照从大到小的顺序排列，并通过样本点对应的出现概率计算得到累积概率。累积概率可以理解为该大气扩散因子样本点被超越的概率。
第二步对大气扩散因子样本点与其对应的累积概率进行曲线拟合，即对累积概率求标准正态分布分位点作为x变量，将自然对数大气扩散因子样本点作为y变量，求出涵盖所有样本点范围的上包络线。在自然对数大气扩散因子和标准正态分布分位点坐标平面上，首先将最大样本点与其他从大到小的10个样本点逐一相连，取斜率最大的连线上的样本点作为包络线的第二个样本点保留，然后将保留的第二个样本点与剩余的从大到小的10个样本点逐一相连，取斜率最大的连线上的样本点作为第三个样本点保留，依此类推。由此得到的分段曲线包络了所有的样本点，拟合后的曲线更加保守。
得到拟合曲线后，根据规定的累积概率值求得的标准正态分布分位点，以及该分位点在坐标平面轴线上的位置，进行内插或外推即可求得相应的自然对数大气扩散因子，经过简单转换后便可以得到超过规定累积概率值的短期大气扩散因子值。
2实例
以某核设施项目的事故大气环境影响评价为例，要求预测事故工况下每个风向在99.5%概率水平下的短期大气扩散因子值，即超过这个短期大气扩散因子的概率是0.5%。下面以S方向下风向4000m距离处的计算点为例，详细说明概率论方法的应用。
（1）获得样本点
首先由项目厂址所在区域连续一年S方向的逐时气象数据（稳定度、风速）计算大气扩散因子值，同时列出每一个稳定度-风速气象组合的出现概率。稳定度分为从a到F共6类，风速划分为6个等级，理论上每个方向上共有36个气象组合，但实际情况是某些气象组合的出现概率为0，因此不再列出，共获得29个稳定度-风速气象组合，见表1。
将得到的大气扩散因子取其自然对数值作为样本点，然后对样本点排序，得到对应累积概率，并将累积概率转换为对应的标准正态分布分位点。得到的结果见表2。
（2）曲线拟合
得到样本点后求包络线y=kx+b。下表给出了求第一段包络线用到的样本点，x是累积概率的标准正态分布分位点，y是大气扩散因子的自然对数值。将第2个样本点到第11个样本点分别与第1个样本点两两连线求直线的斜率k、截距b，得到的结果见表3。根据包络线的定义，斜率k最大值对应的样本点（即第6个样本点）是包络线上的点，因此由第1、第6个样本点确定了第一段包络线。将规定概率0.5%转换为标准正态分布分位点-2.58，代入式y=kx+b即可得到超过概率0.5%的大气扩散因子值为6.59×10-4s3/m。
由于该段包络线上第一个样本点的累积概率为3.97%，大于规定概率0.5%，因此不用再求其他包络线，只需用该段包络线上的两个样本点外推即可得到S方向下风向4000m距离处的大气扩散因子值。
3结语
根据概率论方法计算得到的累积概率为0.5%的大气扩散因子值为6.59×10-4s3/m，由表1可见，根据确定论计算得到的大气扩散因子最大值为7.57×10-6s3/m，两种方法的计算结果相比较，概率论计算结果比确定论偏保守。
上述例子中的项目所在地位于内陆丘陵地区，由于该地区的静、小风频率较大，而大气扩散因子样本点最大值对应的是静、小风气象条件，静、小风气象条件的出现概率即是它们的累积概率，而这个值往往远大于规定概率值0.5%，使得在曲线拟合时包络线的斜率偏大，造成外推计算结果偏大。从上述实例中可以看出，采用概率论方法计算得到的结果比确定论大将近两个量级。
基于此，为了使根据两个样本点外推得出的大气扩散因子值更为精确，可以将静、小风风速组划分为更多的风速等级，获得更多的样本点，降低样本点对应的累积概率值，使得计算结果更准确。
综上所述，与确定论相比，概率论考虑了项目所在地区的实际气象条件，以及发生的概率，使计算的结果偏大，更加符合事故环境影响评价保守性原则。但是在应用时要注意静、小风风速等级的划分，做到合理保守。
参考文献
概率积分法的基本原理篇2
一、学情分析
11电子（1），现共50人，均为男生，在去年的一年中的学习表现中，有些同学在课堂上也能积极思考，积极发言，课后也能主动地完成课外的知识积累，有两位同学参加县里数学竞赛都荣获二等奖。但还有好多的同学学习目标仍不明确，在学校生活就是混日子，上课不认真听课，作业不独立完成，课后再也没时间放在学习上，因此，这一些同学的成绩就可想而知了。
二、教材分析
本学期根据教学大纲的编排，主要内容包括第八章直线和圆的方程，第九章立体几何和第十章概率与统计初步。具体内容：第八章有坐标系中的基本公式，直线的方程，圆的方程，直线与圆的位置关系，本章内容主要就是用代数的知识阐述几何图形的问题。第九章的内容分空间中平面的基本性质，空间中的平行关系，空间中的垂直和角，多面体和旋转体。
教材首先让学生从直观上认识空间几何体和轨迹，然后给出了平面的三条基本性质，从而把平面上的平行关系推广到空间。学习立体几何除了培养学生的空间想象能力外，还培养学生逻辑思维能力。第十章有计数的两个原理，概率初步，统计初步及随机抽样的三种基本方法。本章教学中要激发并培养学生的学习兴趣地，增强学生的社会实践能力，培养学生解决实际问题的能力。
三、教学目标
解析几何：掌握平面直角坐标系内两点之间的距离公式和中点公式；理解直线的方程和圆的方程的含义，方程求两曲线的交点；理解直线的倾斜角和斜率，会根据已知条件，求直线的斜率和倾斜角；掌握直线的点斜式方程和斜截式方程；理解直线在y轴上的截距理解直线与二元一次方程的关系，掌握直线的一般式言行中，了角直线的方向向量和法向量；理解两直线平等行与垂直的条件，会求点到直线的距离；掌握圆的标准方程和一般方程，理解直线与圆的位置关系；能利用直线和圆的方程解决简单的问题。
立体几何：能正确地画出有关被单图形的示意图，能由空间图形的示意图想象出空间图形；会用斜二侧画法画水平放置的正三角形、正方形、正六边形等平面图形的直观图和正方体、长方体等立体图形的直观图；理解空间点、直线、平面之间的各种位置关系；掌握平面的基本性质，空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定；理解空间中的角；掌握简单多面体的有关概念、结构特征与性质；掌握直棱柱、正棱锥、圆柱和圆锥的侧面积及表面积计算公式。
概率与统计初步：掌握分类计数和分步计数原理，会用这两个原理解决一些简单问题；了解随机现象、随机试验的概念；理解古典概率的性质，会用古典概率解决一些简单的实际问题。理解概率的统计定义；结合具体的实际问题情景，了解随机抽样的必要性和重要性。学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法；会计算样本方差和标准差；能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征，会用样本估计总体的思想，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；会用样本的频率分布估计总体分布。
概率积分法的基本原理篇3
关键词：条件概率；概率；随机试验；事件；抽签
在多年的概率论教学过程中,笔者感觉到学生难以清楚地理解条件概率、积事件概率、全概率公式等概念,特别是在求解有关问题时,往往无处着手,出现思维障碍,从而影响了学生的学习积极性。究其原因，基本上是对条件概率概念没有很好地理解;在教学过程中，教师也没有引起重视,一笔带过,而把重点放在全概率公式上,学生处于被动的学习状态。笔者拟就这一问题的教学作如下研究。
首先，有必要弄清楚p（a/b），p（ab），p（a）这三者之间的区别与联系。
一是条件概率p（a/b）与概率p（a）的区别。
每一个随机试验都是在一定条件下进行的。设a是随机试验的一个事件，则p（a）是在一定条件下事件a发生的可能性的大小。而条件概率p（a/b）是指在原条件下又添加“事件b发生”这个条件时，事件a发生的可能性大小，即p（a/b）仍是概率，p（a）与p（a/b）的区别在于两者发生的条件不同，它们是两个不同的概率，在数值上一般也不相等。（注：“事件b发生”特指读者已经知道事件b发生，而实际上事件b往往在事件a发生之前发生，但也可以在事件a发生之后发生，如例1中求p（a1/a2a3），只是读者还不知道事件a已发生，用p（a/b）来估计事件a发生可能性的大小。
例1：5个签中的2个是“有”，3个是“无”，无放回地顺次抽取，每人抽一个，用ai表示第i个人抽到“有”这一事件，则p（a2）===，p（a2/a1）=。
二是条件概率p（a/b）与概率p（a）的数量关系。
条件概率p（a/b）是在原随机试验条件下又添加“事件b发生”这个条件时事件a发生的可能性大小，是否一定有p（a/b）≥p（a）呢？
1.当a、b互不相容时，a发生时b不发生，则p（a/b）=0≤p（a）；
2.当a?奂b时，p（ab）=p（a），p（a/b）==≥p（a）；
3.当a、b既不是互不相容，又不是包含关系时，因p（a/b）=，大于、等于、小于p（a）三种可能都有，如p（a）=0.5,p（b）=0.4,当p（ab）=0.30时，p（a/b）=0.75>p（a）；当p（ab）=0.20时，p（a/b）=0.5=p（a）;当p（ab）=0.10时，p（a/b）=0.25
三是条件概率p（a/b）与积事件的概率p（ab）的区别。
这两个概念从形式上看是容易区分的，但对于初学者来说很容易混淆，有必要强调一下。条件概率p（a/b）是指事件b发生这个条件下事件a发生的概率，而p（ab）是指a、b同时发生的概率。因而“事件b发生”在p（a/b）中是作为条件，而p（ab）中是作为结果，所以两者不相同。
例2：某班有男学生40人，女学生20人，通过英语六级者有15人，其中有女学生10人。在该班级中任意抽取一人，分别计算：
1.求所取的学生为女学生并且已通过英语六级的概率；
2.已知所取的学生为女学生，求其通过英语六级的概率。
解：设a=｛所取的学生已通过英语六级｝，b=｛女学生｝，则（1）为求事件a、b的积事件的概率p（ab）==；（2）为求在事件b发生条件下事件a发生的条件概率p（a/b）==。
其次，要深刻理解当p（b）>0时,条件概率公式p（a/b）=的意义。
一是要从理论上推出该公式非常困难，但从事件a、b的文氏图可直观地解释一下该公式，把p（a）看成为a的面积与必然事件ω的面积的比值，那么，p（a/b）为在b发生条件下a发生的概率，可理解为ab的面积与b的面积的比值，分别除以ω面积，即得条件概率公式p（a/b）=，可以让学生从心理上接受它并加深印象，而公式本身已证明是成立的，只要加以说明就行，这样可起到降低难度的作用。公式给出了计算条件概率的一种方法。
例3：某种品牌的彩色电视机使用寿命10年的概率为0.9,而使用寿命15年的概率为0.5,试求某台电视机已经使用10年的情况下，能再使用5年的概率。
解:设b=｛电视机使用寿命10年｝，a=｛电视机使用寿命15年｝，则p（a）=0.5，p（b）=0.9因为a发生必然导致b发生，即b?劢a，p（ab）=p（a）=0.5，p（a/b）===。
二是该公式的作用不仅仅用来计算条件概率，而且条件概率往往也可以直接算得，更重要的作用是用来计算积事件ab的概率，p（ab）=p（b）p（a/b）这就是我们所说的乘法公式。
例4：在例1中，计算p（a1a2）=p（a1）p（a2/a1）=×=，p（a2）=p（a1a2+a1a2）=p（a1）p（a2/a1）+p（a1）p（a2/a1）=×+×=，同理可得p（a3）=p（a4）=p（a5）=，这道题目的解答也说明了这样一个问题：无放回抽签不分先后，各个人抽到好签的可能性是一样的，不必为轮到后面而不高兴，关键的问题是操作规则要公正。也许会问前面的人好签抽走了，最后面的人还会有吗？那么要是前面的人没有全部抽走好签，最后面的人不是肯定能抽到好签吗？以上两种情况都属于条件概率。
如果没有这个乘法公式，计算p（a1a2）难度就大得多了，得考虑两个“好签”给5个人中的两个人抓到共有几种方法？是用排列数计算呢，还是用组合数计算呢？每种方法是否等可能的？要仔细分析一下，最后得：p（a1a2）===。
再次，条件概率公式为全概率公式的计算奠定了基础，从而解决了事件概率的计算问题。
一般教材都给出条件概率p（a/b）中p（b）必须大于0，那么当p（b）=0时，p（a/b）是否有意义呢？
显然条件概率公式是不能用了，当a、b所在的事件空间ω中的基本事件个数为有限个时，由p（b）=0，可得b所包含的有利事件个数为0个，由p（a/b）的含义得a的有利事件个数也为0个，所以，这时规定p（a/b）=0较妥当。而当ω为无限集时，情况比较复杂。现举例如下：
当a、b所代表的事件互不影响时（具体情况时容易判断的），规定p（a/b）=p（a）；当b?奂a时，b发生可推出a发生，这时p（a/b）=1；当a、b是互斥事件时，b发生时，推出a不发生，得p（a/b）=0；当b为不可能事件时，讨论p（a/b）实际上是无意义的，在不可能事件b发生条件下a发生的概率，这句话本身就是相悖的，但为统一起来，可定义p（a/b）=0；当a、b是互不包含事件时，情况比较怎复杂，视具体情况而定。
例5：质点m随机地均等抛掷到?-1，+1?区间上，记a=｛质点落在?0，1?区间上｝，b=｛质点恰好落在点处｝，b1=｛质点落在-1，0，，1这四点处｝，b2=｛质点落在?0，1?区间上的有理数点处｝，则p（a/b）=1，p（b/b1）=，p（b1/b2）=0。
参考文献：
[1]杨义群.初等概率教学中定义条件概率的二个问题探讨[j].教学与研究（中学数学）,1984,（4）:3.
[2]谢国瑞.概率论与数理统计[m].北京:高等教育出版社,2002.
概率积分法的基本原理篇4
一、调整教学内容
教学内容应该改变以往“重概率、轻统计”和“重运算技巧、轻数学思想”的传统教学思想，删减其中一些复杂的计算，加强统计中基本理论和基本数学方法的教学。减少概率论课时，加大统计内容，增加统计课时。
1.概率方面，古典概型概率、期望与方差等内容在中学接触过，学生接受较快故可以弱化;减少概率论课时，将重点放在条件概率、乘积公式、全概率公式与贝叶斯公式上，加强随机变量的内容。
2.统计方面，突出“厚基础”“重应用”的特色，增加统计课时，强调假设检验和回归分析等原理的分析与实际应用，着重培养学生应用统计中的基本原理去解决实际问题的能力。
二、改进教学方法
概率论与数理统计是一门在解决实际问题的过程中发展起来的学科，概率论与数理统计的思想方法、原理、公式的引入，最能激发学生的兴趣，并印象深刻的是从贴近生活的问题及案例引入。教师在授课过程中可从每个概念的直观背景入手，精心选择一些跟我们的生活密切相关而又有趣的实例，从而激发学生的兴趣．调动他们学习的积极性和主动性。
1.概率论部分的教学。(1)概率论内容的学习中，学生一般不能很好地理解全概率公式与贝叶斯公式的原理。举例:某大学学生对概率论与数理统计课程的兴趣程度可分为四个层次:很感兴趣，较感兴趣，一般，没有兴趣。最近的一项调研统计表明此四个层次的学生数之比为:1∶3∶4∶2。而这在四类同学中该课程一次性能通过的可能性分别为:0．98，0．88，0．50，0．20。1)考试在即，在即将参加此门课程考试的学生中任抓一学生考察，试问该生此次考试该门课程一次性通过的可能性为多大?2)考试结束，阅卷老师发现某名学生顺利通过此次考试，试问该生对此课程兴趣层次是属于一般的可能性有多大?身边的例子激起了学生的兴趣，通过1)的解答很快让学生理解全概率公式，通过2)的分析让学生理解贝叶斯公式的原理。(2)大数定理的教学。大数定理是概率论中非常重要的定理，在教学中如果仅仅将定理的内容告诉学生，很多学生不能理解。讲课时举例子:在装有7白球与3黑球的盒子里任意抽取一个记下结果再放回去，当抽取白球时计1，抽到黑球时计0，不停地重复下去，就得到一组由1、0构成的数字，如一人抽取得到:10010111010111000101111111100000001010010111011000从数据中你看不出任何特征与规律，换一个人来重复这一试验，他也会得到这样一串由1、0构成的数据，同样杂乱无章，但结果与第一人的结果不同。虽然如此，当做的试验次数越来越多时，这一串串杂乱的数中1所占的比例随做的试验次数的增加愈来愈稳定到一个值上，这个值就是盒子内白球的比率7/10。比率的稳定性只有在数串长度足够大(实验的次数足够多)时才能表现出来，这就是大数定理这个名称的由来。历史上概率论方面重要的学者雅各布•伯努利证明了在一定条件下“当试验次数愈来愈大时，频率愈来愈接近于概率”，这个结论称为伯努利大数定理。此定理的意义在于对经验规律的合理性给出了一个理论上的解释。在现实生活中，很难甚至于不可能达到伯努利大数定理中的理想化条件，但大部分的情况下与之非常接近，因此伯努利证明的结论“基本上”能适应。
2．统计部分的教学。学生经常觉得统计部分的参数估计、假设检验、回归分析等内容杂、头绪乱。在教学过程中，可以引入案例，对每一个案例进行分析:(1)要解决什么问题?(2)有些什么方法，而这些方法的基本思想是什么?合理性?(3)运用这些方法解决问题的基本步骤是什么?(4)如何将这些方法运用于实际问题中?这样能使学生理清思路，从整体上把握统计的基本思想，如假设检验可以用食品生产线上的产品质量检验的案例分析;回归分析可以用资源评估的案例来分析等。
概率积分法的基本原理篇5
概率论与数理统计是高等学校理工科各专业的一门重要的基础理论课，是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。由于随机现象的普遍性、研究方法的独特性和教学内容的实用性,这门处理随机现象的数量关系与数量规律性的课程越来越受到重视。作为一名高校教师，如何引导学生学好这门课程，提高课程教学质量就显得非常重要了，众多同行结合自己的教学实践经验进行了有益的探讨[1-9]。作者根据自己多年的教学实践经验，谈谈自己对该课程的一些内容的理解及教学体会。
2.教学体会
2.1古典概率
古典概率以等可能性为基础，其内容涉及该课程的许多基本概念。而对概念的理解掌握程度直接关系到整个课程的教学质量。因此，在这一部分一定要注意概念之间的辨析。通过对概念的剖析及对比，使学生对概念有准确深入的理解。如随机事件的互不相容和相互独立，关于二者的辨析参见文献[1]。再比如古典概率计算中样本空间的构造与选取，众所周知，样本空间的构造与选取在古典概率计算中是非常重要的。但对初学者来说，构造样本空间是并非易事，就是学生经常说的“不会设事件”，其实就是搞不清随机试验的样本空间。设随机试验为“把一枚均匀硬币连续抛3次”，若试验目的是观察硬币出现正反面的情况，则样本空间为Ω={HHH,HtH,HHt,Htt,tHH,tHt,ttH,ttt}，这里H，t分别表示出现正面、反面。如果试验目的观察出现正面的次数，则样本空间为Ω={0,1,2,3}。可见，对同一个试验，由于试验目的不同，则样本空间也不同。这说明样本空间不仅依赖于试验本身，也依赖试验目的。除此之外，在古典概率的计算中，学生经常搞不清楚应该用排列数还是用组合数来计算样本空间中的样本点数。文献[2，3]对此进行了深入讨论。在古典概率的教学中，要注意指出在科学面前，我们的直觉有时是靠不住的。比如抛一枚均匀硬币，连抛5次均出现正面，问学生第6次出现正面和反面哪个的可能性更大？很多学生会认为出现反面的可能性会大一些，但事实上是一样的。这是因为各次抛硬币是相互独立的，前面5次的结果不影响第6次的结果。
2.2随机变量
现行教材一般把随机变量分为离散型和连续型。分布函数是刻画随机变量分布规律的一个重要工具。而对离散性随机变量，由于其取值为有限或可列个，所以要知道它的分布规律，只要知道其所有可能的取值及取每一个值的概率（也就是离散性随机变量的分布律）即可。但对于连续性随机变量，由于其取值无法逐个罗列出来，也就不能用分布律来刻画其分布规律，但我们可以用概率密度函数来刻画其分布规律。分布函数与分布律和概率密度函数之间的关系为F(x)=xi≤xΣpi，或F(x)=x-∞乙f(x)dx。显然，离散型随机变量的分布函数等于满足条件的概率求和，而连续型随机变量的分布函数等于概率密度函数在(-∞,x)上的积分。因为定积分的本质就是一类和的极限，因此离散的是求和，对应到连续的自然就是积分。有了这样的观点，学生在以后的学习过程中，理解掌握了离散型随机变量的相关概念(比如期望和方差)之后，就能更深刻地理解连续型随机变量对应的相关概念。对于连续性随机变量取任何指定实数值的概率均为0这一点，尽管我们可以通过连续型随机变量分布函数的连续性给出严格的推导，但学生在理解上还是存在困难。以均匀分布为例，学生经常会问，既然随机变量一定会在落在[a,b]内，即p{a≤X≤b}=1，但对坌c∈[a,b]，又有p{X=c}=0，这岂不是矛盾！当然，要真正解释清楚这一点，需要测度论有关知识，而工科学生是不具备这一点的。对于学生的这一疑惑，作者给学生是这样解释的。首先问学生，实数轴上一个点的长度是多少，学生会回答，点没有长度。告诉学生，这就是所谓的公理，就是一些大家公认正确的不加证明而承认的命题，任何一门数学学科总是建立在一定的公理体系的基础之上。正是由于点是没有长度的这一公理假设，导致这一看似矛盾但却合情合理的结果。解释清楚这一点之后，进一步强调对均匀分布均匀性的理解，不是随机变量落在[a,b]内每个点处的可能性相同，而是落在[a,b]内任何位置的长度相等的小区间内的概率相同。
2.3小概率事件及实际推断原理
首先是对小概率事件的界定，究竟一个事件的概率小到什么程度就可以认为是小概率事件？通常概率小于0.05的事件就认为是小概率事件。但一定要让学生明白，关于这一点没有绝对的标准，应该根据问题的实际背景确定。本课程多处用到实际推断原理，需要注意的是实际推断原理在不同地方有不同的理解。在概率论部分通常表现为“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生”。当然同时要告诉学生，在多次重复试验中，小概率事件是不可忽视的。因为随着试验次数的增加，小概率事件至少发生一次的概率在增加。事实上，若设事件a在一次试验中发生的概率为p，p>0，那么在n次独立重复试验中，a至少发生一次的概率为1-(1-p)n。显然，无论p多么小，只要p>0，则有limn∞(1-(1-p)n)=1。而在极大似然估计中，实际推断原理表现为“在一次试验中就已经发生的事件应该是概率最大的事件”，所以在进行参数估计时，就以支持这一原理的参数值作为参数的估计值，也就是使似然函数（即样本的联合分布律或联合概率密度函数）取得最大值的参数值作为参数的估计值。
2.4概率论与数理统计的关系
概率论与数理统计虽然都研究随机现象，但侧重点不同：在概率论部分，我们总假设基本事件的概率是已知的，然后由此计算一些更为复杂的事件的概率。而数理统计是根据抽样的结果，对总体的性质进行推断（如参数估计、假设检验）。应该说，数理统计更贴近实际，但同时应强调，数理统计以概率论为基础。以产品质检为例来说明，在概率论部分，我们总是假设知道了产品的次品率或产品总数和次品数，然而如果真的是这样的话，就不存在产品的质检问题了，实际中恰恰是因为我们不知道产品的次品率，通过对产品进行抽检（即抽样），根据抽检结果对整批产品的次品率进行估计或对关于产品次品率的某种假设进行检验，这正是数理统计所要解决的问题。
2.5假设检验
假设检验的基本思想是运用实际推断原理的带有概率性质的反证法。即针对原假设H0，选取一个合适的分布已知的统计量，在原假设为真的条件下，构造一个概率为α(通常取0.05，0.1，0.01等一些比较小的正实数)的小概率事件，如果抽样结果支持小概率事件发生，这就与“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生”的实际推断原理矛盾，由于这一矛盾是在原假设为真的条件下得出的，所以根据反证法原理，我们有理由认为原假设不真，从而拒绝原假设。当然，如果抽样结果不支持小概率事件发生，我们没有理由拒绝原假设，就接受原假设。应该说，假设检验问题中的假设可以各种各样，但进行假设检验的基本思想却都是一样的。需要注意的是，假设检验中用到的反证法，不同于通常意义下的反证法，通常意义下的反证法最后得到的是形式逻辑里的绝对矛盾，而假设检验中只是因为小概率事件在一次试验中发生了，不符合实际推断原理。事实上，所谓小概率事件只是在一次试验中发生的可能性很小而已，但并不是不可能事件。换句话说，在原假设为真时，小概率事件还是有可能发生的。所以，这里的矛盾并不是一种绝对矛盾。从而根据这一矛盾做出拒绝原假设的结论就不一定正确，也就是说我们完全有可能在原假设为真时拒绝了原假设，到此，就自然引出了假设检验中的拒真错误（第一类错误）。同样的道理，在假设检验中我们也有可能犯采伪错误(第二类错误)。
概率积分法的基本原理篇6
1高中物理核心概念教学的重要性
1.1夯实基础知识
核心概念是物理学习和研究的基础，教师通过加强核心概念教学，能够帮助学生牢固掌握物理基础知识以及公式、原理和定理的应用法则，为他们的物理学习和实践奠定坚实的基础.
1.2完善知识结构
核心概念是物理知识的概括与总结，教师通过加强核心概念教学，能够帮助学生实现认知水平由感性向理性、由直观向抽象、由分散向系统的转变，使他们更好的理清物理知识脉络，完善物理知识结构.
1.3提高学习效率
通过核心概念教学，能够帮助学生发现物理现象和物理原理之间的内在联系，实现物理知识的联想与迁移，达到举一反三、事半功倍的学习效果.
2高中物理核心概念教学的方法
2.1实施趣味教学营造良好氛围
在传统高中物理课堂上，教师往往采取“填鸭式”教学，导致核心概念知识讲解死板抽象，课堂气氛沉闷压抑，学生缺乏学习的积极性.针对这种情况，教师应该尝试开展趣味教学，从学生的兴趣入手，激发他们的学习热情，营造良好学习氛围.例如，在讲解“牛顿第三定律”的时候，教师没有采取生搬硬套、死记硬背的讲解模式，而是给学生播放了一段反映“牛顿第三定律”的动画视频，并让学生通过观察和分析视频内容体会作用力与反作用力之间的关系，变机械讲解为趣味教学，激发学生的学习兴趣，增加教学的趣味性和实效性.
2.2实施启发教学引发学生思考
为了响应新课标的号召，也为了满足新课改的需求，高中物理核心概念教学要本着启发性的原则，使学生通过动眼、动口、动手、动脑来获取知识，使学生在思考与实践中体验知识、建构知识、应用知识，实现知识与能力的协调发展.例如，在讲解“动量守恒定律”的时候，教师如果直接给出“动量守恒”的概念及条件，则很难调动学生学习与思考的积极性，无法通过启发引导的方式帮助学生学习知识、锻炼能力.相反，如果教师组织学生开展物理实验，并让学生根据实验现象和数据来进行小组讨论，共同总结“动量守恒”的概念及条件，则不仅可以激发学生参与核心概念学习的积极性，还能够培养学生的逻辑思维能力和合作学习能力，提高核心概念教学效率的同时，促进学生综合能力的发展.
2.3实施迁移教学发现内在联系
高中物理的不同模块之间看似彼此独立，实则有着密切的内在联系.在核心概念教学中，教师应该实施迁移教学，帮助学生发现不同模块的核心概念和普通概念之间的内在联系，在帮助学生完善知识结构、理清知识脉络的同时，实现知识迁移，利用已有的知识帮助学生学习和理解新的核心概念，使学生发现和总结物理学习的方法和规律.例如，在讲解“动量守恒定律”的概念的时候，教师可以引入之前学过的“机械能守恒定律”和“能量守恒定律”的概念，并引导学生将三者进行对比分析，总结三者之间的区别与联系.通过实施迁移教学，在帮助学生理解和接受新知识的同时，也巩固和复习旧知识，更重要的是，通过知识迁移帮助学生发现不同的核心概念之间的内在联系，帮助学生发现物理学习的奥妙与规律.
2.4实施生活教学拓宽学习渠道
概率积分法的基本原理篇7
关键词：微积分学；物理学；经济学；应用；变量
一、微积分学的建立
讨论和研究微积分学，就需要先了解一下微积分学的建立及其发展历程。最早追溯到十七世纪，科学家们就已经将微积分这个概念定位成一门专业学科，因此我们认为微积分学成立于十七世纪。再往前推算和追溯，古希腊的阿基米德曾在三世纪利用类似于近代积分学的思维去研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积等诸多数学问题，获得了比较客观真实的科学结论。中国的思想家庄子有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的说法，而数学家刘徽则在割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割。”的经典论证，这些都被后人视为古代著名的微分和极限概念。再说十七世纪的微积分学科，当时数学界有诸多的科学问题亟需解决，大致包括四类主要类型的课题：第一类是求即时速度的问题，这一问题直接出现于研究运动的过程中；第二类是求曲线的切线问题，通过函数表达式的系数来求得坐标系中的相应函数曲线的切线问题；第三类，就是最值问题，具体包括最大值和最小值两种；第四类问题主要是求曲线的长度、曲线围成部分的面积或体积、两个物体之间的引力问题、以及物体的重心问题等，这类问题相对比较多且复杂，因此归为一类。在当时，科学界出现了法国费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格和英国巴罗、瓦里士以及德国开普勒、意大利卡瓦列利等著名的数学家、天文学家、物理学家，这些人都不同程度地为解决上述四大类的问题作出了大量的研究工作，这些人都提出了大量的有建树意义的理论，为微积分学的创立做出了卓越的特殊贡献。到了十九世纪初期，法国科学家柯西组织相关人员认真研究了微积分理论知识，建立了极限理论学说，之后在德国数学家维尔斯特拉斯的贡献下，将极限理论演化为微积分学，奠定了微积分学的坚实基础。无论是欧氏几何，还是上古和中世纪代数学，都被认为是一种常量数学，而只有微积分学才算是真正意义上的变量数学，这也是数学发展中的一次重大革命。
二、微积分学的基本内容及其发展阶段
微积分学就是微分学和积分学的总称和概括。世界上一切的客观事物都在始终运动和变化，因此万物都是一个变量概念，人们在解决诸多问题和现象时都需要用运动观点和手段进行分析。微积分学是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支，主要出现在高等数学领域。数学家们在研究函数时发现，有时需要从量的方面来研究事物运动的变化规律，这就是今天我们所研究的微积分学的基本方法和思路。数学上称这种方法叫做数学分析。数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，这是数学分析的广义概念。现在一般习惯于把数学分析和微积分这两个概念等同起来，于是数学分析就变成了微积分的同义词，函数论的概念变得相对次要。顾名思义，微积分学括微分学和积分学两大部分。其中，微分学的主要内容包括极限理论、导数、微分等；积分学的主要内容包括定积分、不定积分等。微积分学的发展离不开微积分的应用，其最初应用是牛顿在物理学的推理论证，当时牛顿应用微积分学及微分方程等知识，由万有引力定律导出了开普勒行星运动的三大定律，并运用至今。此后，微积分学的推广和应用极大的推动了数学系统的发展和变迁。同时，其发展又进一步推动了化学、力学、物理学、天文学、生物学、工程学、以及经济学等一系列自然科学、社会科学和应用科学的发展和进步。微积分学的创立和发展，极大地推动了世界数学的进步，逐渐解决了很多曾经无法解释的数学问题，因此在各类自然科学、社会科学以及应用科学的分支学科中倍受青睐，自身在其应用过程中也得到了进一步的提升和完善。高等数学的主要分支就是微积分学，而且，微积分学不仅仅是局限于在解决力学变速问题中发挥作用，还涉及到诸多的其他学科领域，推动了整个数学界以及科学界的发展进步。微积分学的产生分为三个基本阶段：第一阶段，极限概念；第二阶段，求积的无限小方法；第三阶段，积分与微分的互逆关系。其中，第一、第二阶段是由欧洲的大批数学家积年累月铸就成的基本理论和数学方法；第三阶段是由莱布尼兹和牛顿共同完成的。
三、微积分学知识体系论述及其应用领域
高等数学中，实数、函数和极限等知识是建立微积分学的基础，这些基本的数学概念和微分学、积分学等共同构成了完善系统的微积分学体系。追溯其源头，微分学知识最早源于对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题，积分学概念则起源于求某些面积、体积或者弧长等问题，其核心思想就在于运用微元法和无限逼近理论解决变量问题，通过上述手段不断地将变量问题分割成常量问题进行处理。在这里，重点介绍一下微分与积分的关系：积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。积分是微分的逆运算，若知道了函数的导函数，就能够反求原函数。在微积分学的应用方面，积分的作用不仅仅局限于此，已经被大量地应用于求和问题，以及求曲边三角形的面积等问题。一个实变函数[f（x）+C]'=f（x）在区间[a，b]上的定积分是一个实数，其数值等于该函数的一个原函数的b值减去a值。积分则从不同的问题角度分支出来两个数学概念：定积分和不定积分，其中不定积分是为了解决求导和微分的逆运算应运而生。例如：已知定义在区间i上的函数f（x），求一条曲线y=F（x），使其在任意点的切线斜率均为F'（x）=f（x）。函数f（x）的不定积分是f（x）的全体原函数。总体而言，微积分学能够并且已经运用于求平面图形的面积、求平面曲线的弧长、求立体的体积、求旋转体的体积、以及求旋转体的侧面积等问题的应用中。本文不再重复举例和分析，这里重点介绍一下微积分学在物理学和经济学领域中的应用。
自然界中的物理现象及其发展变化规律的研究都以最简单的规律和现象为依据和基础，比方说，我们习惯从匀速、匀变速直线运动开始研究质点运动学，以点电荷为基础研究带电体产生的电场物质。巧妙地利用微积分学知识将现实中的复杂问题分割成为小空间、小时间范围内的局部问题，通过化整为零的手法，把局部范围分割到无限小，再将这些无限小的局部问题近似处理为可研究的简单问题，最后将这些诸多的局部范围内的结果累加起来，就是问题的结果。物理学作为一门专门研究世界规律的自然科学，深受理工科学生的喜爱。随着物理学知识的不断深化和拓展，以及所研究事物的层次的不断深入，物理学中所运用和涉及的微积分思维也越来越多，例如在考虑物体的运动时，由于其速度在不断的改变，因此很难求其在某一点的即时速度。数学家们就利用微积分思想，将非匀速运动转化为由一段一段匀速运动构成的片段，再进行常规计算，既解决了实际问题，又节省了大量的时间。物理现象及其规律的研究都是以最简单的现象和规律为基础的，例如质点运动学是从匀速、匀变速直线运动开始，带电体产生的电场是以点电荷为基础。实际中的复杂问题，则可以化整为零，把它分割成在小时间、小空间范围内的局部问题，只要局部范围被分割到无限小，小到这些局部问题可近似处理为简单的可研究的问题，把局部范围内的结果累加起来，就是问题的结果。
微积分学应用于经济学领域，具体在于研究在经济学领域中出现的一些常见的函数关系，因此就必须了解和掌握一些经济分析中常见常用的函数。导数又称导函数，它直观地反映了函数自变量在变化过程中相应函数值发生变化的快慢程度，即变化率这一概念。其定义是：函数y=f（x）在某一点x0的导数表达式为：函数y=f（x）在某一区间内的每一个点都可导，则称y=f（x）在该区间范围内可导，因此记f（x）为y=f（x）在该区间内的可导函数，简称导数。经济学引入导数概念，推广使用其边际和弹性理论知识，促使经济学受到了很大的发展和变革，人们可以定量分析很多之前无法分析和解决的经济学问题。利用经济学中的边际经济变量，解决边际效用、边际收益、边际利润、边际替代等经济学问题。总之，导数在经济学中的应用十分广泛，因为在经济学中很多函数里面都有导数存在，进而进行某些定量分析，计算得出最优化的结果。根据导数的性质，能够分析一些经济学函数图像的走向问题，查找其曲线变化的原因。函数极限概念的发展，促进了很多微积分学知识的发展，解决了一系列的经济学问题。在日常经济活动中，积分应用十分广泛，比如求总值（例如求总成本和总利润等数值），包括其他变量时间累计的总量等。这些经济活动内容涉及到很多个领域，而且其函数的表达方式都各不相同，但是这些表达式的基本原理都大致相同。最后，介绍一个关于增长率的例子。假设变量y是时间t的函数y=f（t），则比值为函数f（t）在时间区间上的相对改变量；若函数f（t）可微，则定义极限为函数f（t）在时间点t的瞬时增长率。对于指数函数而言，该函数在任何时间点t上都以常数比率r增长。运用微积分学解决企业经济学问题时，企业资金、投资、收入、人口、劳动力等变量都是时间t的函数，若这些变量在一个较长的时间内以常数比率增长，都可以用微积分关系式来描述和表达。而此时，指数函数中的“r”在经济学中就一般的解释为在任意时刻点t的增长率；当函数中的r取负值时，亦即瞬时增长率为负值，则将r称为衰减率（与增长率相对），例如贴现问题就是负增长问题。
四、微积分学的重要意义
微积分的诞生是世界数学科学发展的一个里程碑。解析几何的诞生是对旧数学的总结，促使几何与代数两门学科融为一体，进而引发出变量的概念。变量，为研究运动问题提供了基础和思路。微积分学的建立集结了先前诸多科学前辈们的心血和经验，代表着人类一步一步顽强地认识客观事物的历史过程，同时也是认了理性思维的伟大结晶和果实。微积分推动了人类把握运动和过程，造就了工业革命和大工业生产等著名变革，实现了现代化社会和航天飞机、宇宙飞船等现代交通工具的发展进步，毫无疑问，微积分的发现是世界近代科学的开端。
参考文献
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概率积分法的基本原理篇8
关键词：土壤污染调查；地统计条件模拟；污染概率；局部空间变异；污染区范围；布点优化；
作者简介：谢云峰(1981—)，男，副研究员(博士)；e-mail：xieyf@craes.org.cn；
1引言(introduction)
土壤采样调查是获取土壤污染物空间分布信息最重要的手段，采样调查结果的精度直接影响污染风险评价结果的准确性和风险管理决策的合理性.土壤污染调查包括土壤样点布设、样品采集、污染物含量分析等环节.实际工作中，通常认为污染物分析方法的准确性是影响污染物调查准确性的最主要因素(Crumblingetal.，2001)，而忽略了土壤采样布点方案的重要性.大量研究表明，污染物在土壤中的空间分布表现出明显的空间变异性，人类活动影响越大的区域，局部变异程度越大(thompson，1996；丛鑫等，2009；杜平等，2006；张娟等，2014；郑一等，2003).针对空间变异性较大的环境要素，样点布设方案是影响调查结果准确性最主要的因素之一.Jenkins等(1997)对土壤中三硝基甲苯污染的调查结果表明，至少95%的变异度(统计方差)是由采样位置导致，而含量分析(室内分析和现场分析)手段对变异度的贡献不超过5%.其他类似研究也表明，土壤采样导致的不确定对污染物含量测定不确定性的贡献超过50%(argyrakietal.，1997；theocharopoulosetal.，2001；Jenkinsetal.，1999).因此，科学合理的土壤采样布点方案对保障污染调查结果的精度非常重要.现有的土壤污染调查布点方法主要包括判断性采样和非判断性采样(姜成晟等，2009)，其中，判断性采样主要根据已有先验知识设计采样布点方案，并在潜在的高污染风险区域加大采样密度(UKenvironmentagency，2000)；当缺乏场地污染物分布的背景信息时，就只能采取非判断性采样方法，如随机采样、均匀网格布点采样等(thompsonetal.，1995；USepa，1989).传统的土壤污染调查布点方法主要用于对污染物总体(平均含量)的最佳估计(Brusetal.，1999)，样本量主要取决于污染物含量的空间变异程度.土壤污染治理过程中，污染调查主要关注目标污染物的超标程度及污染区范围.因此，以总体估计为目标的传统土壤污染调查布点方法对土壤污染范围的估计精度通常不能满足修复决策的需求(刘庚等，2013；谢云峰等，2010).近年来，应用地统计学方法来提高土壤污染调查精度已成为研究热点之一(D'or，2005；Demougeot-Renardetal.，2004；Juangetal.，2005；VanGroenigenetal.，1999；Vantoorenetal.，1997)，该方法基于土壤污染物空间分布的自相关性，优化土壤调查布点空间布局，可提高土壤污染调查效率(Burgessetal.，1981；Demougeot-Renardetal.，2004；englundetal.，1993；阎波杰等，2008；赵倩倩等，2012).虽然基于地统计学和条件模拟方法的样点布设方法效率最高(Jonesetal.，2003)，但在土壤污染调查过程中却很少用于土壤污染调查布点优化(Verstraeteetal.，2008).
为了获得准确的土壤中污染物空间分布信息，土壤污染调查通常包括污染初步调查、污染详查等多个阶段.初步调查的主要目的是识别土壤主要污染物及潜在污染区域，通常样本量较少.污染详查是在初步调查基础上，在潜在的污染区域增加样点，确定污染区的范围及其污染程度.土壤污染调查方案的误差主要包括污染区被低估和清洁区被高估(marchantetal.，2013；Ramseyetal.，2002)，其中，前者会导致污染区面临的污染风险不能得到有效控制，后者会导致不必要的修复投入.为了获取准确的污染区信息，通常需要增加样本量，但这会导致采样分析成本的增加.高效的采样方案是将采样调查成本与调查不确定性导致的经济损失的总成本降到最低(Ramseyetal.，2002).采样方案优化的目的就是要寻求降低污染修复不确定性的最佳样本量(Demougeot-Renardetal.，2004).土壤污染物的空间分布受污染来源、环境条件、污染物性质等因素的综合影响，其在空间上表现出不同程度的空间相关性和变异性，对土壤污染物空间变异性的描述准确与否是影响调查结果的关键.本研究结合土壤污染调查的特定需求，提出基于污染概率和污染物局部空间变异特征的土壤污染调查加密布点方法，以提高土壤污染调查方法对污染区范围和污染程度的估计精度，并为土壤污染调查提供方法学支持.
2土壤污染调查加密布点方法(Samplingdesignoptimizationprocedurefordetailedsoilpollutioninvestigation)
土壤污染调查结果的不确定性主要出现在污染物含量过渡区域(刘庚等，2013；谢云峰等，2010；Xieetal.，2011)，为此，该研究针对污染调查结果的不确定性，提出土壤污染调查加密布点的工作流程和方法(见图1).土壤污染调查加密布点的2个核心问题分别为确定需要加密布点区域和样点布设方法.
2.1加密布点区域的确定方法
由于土壤污染治理仅关注污染物含量超过相关环境标准或修复目标值的区域，因此，提高污染区范围的估计精度就显得尤为重要，加密布点法正是基于这一需求而提出.由于初步调查阶段已经获得了一定的污染物分布信息，所以在加密详查阶段只需要针对污染分布信息不确定性较大的区域进行补充调查即可，其中，不确定性区域是指污染物空间分布精度低于修复决策需求精度的区域.
为了定量评估土壤污染调查的不确定性，该研究引入土壤污染概率方法.基于初步调查数据，利用概率制图方法预测土壤污染物超过环境标准或修复目标值的概率，常用的概率制图方法有地统计条件模拟方法、指示克里格方法等.其中，地统计条件模拟方法包括多种模拟算法，如序贯高斯模拟、序贯指示模拟等.污染概率的取值范围为0~1，概率值越高，可优先判定为污染土壤；相反，污染概率值越低，可优先判定为清洁土壤.概率制图结果中，概率值介于高值和低值之间者即为不确定性区域，需要进一步补充调查确认.假定某污染土壤地统计条件模拟的污染概率阈值范围为0.1~0.8，设定污染概率阈值和清洁概率阈值分别为0.5和0.3，则污染概率为0.5~0.8者为污染区域，0.1~0.3者为清洁区域，0.3~0.5者即是需要加密调查的区域.
不确定性区域污染概率值较低的可能原因为：①区域内污染物含量较低；②区域属污染区域，并且样本量较少.为了进一步探究其具体原因，该研究引入局部变异特征方法.基于初步调查数据，分析土壤污染物含量的局部变异特征(包括变异系数、方差、自相关性等)，如果局部变异性较大，表明土壤中污染物含量空间分布差异较大；反之，则表明污染物含量空间分布差异较小.对于局部变异性较大者，通常是污染物含量高值区向低值区的过渡区域，也是调查结果不确定性较大的区域；对于变异性较小者，通常是高值集中或低值集中的区域，调查结果的可靠性较高.因此，根据土壤污染物的局部变异系数，将土壤污染调查结果划分为不确定性区域和确定性区域.假定某污染土壤局部变异系数为20%~200%，设定变异系数阈值为100%，则变异系数为100%~200%者为不确定性区域；低于100%者为确定性区域.
综合污染概率和局部空间变异系数确定的污染调查不确定性区域，即为污染调查加密布点的目标区域.
2.2不确定性区域样点布设方法
不确定性区域样点布设包括加密样点的数量和样点的空间位置.其中，加密样点数量主要与不确定性程度相关，不确定性较大的区域，加密布设的样本量也较大；样点的空间位置主要与污染物含量空间变化趋势相关，主要利用趋势分析方法分析土壤污染物空间变化规律，沿着土壤污染物含量变化的方向布设加密样点.
本研究提出的污染调查加密布点方法的主要目的是为提高污染区范围的估计精度.在初步调查结果的基础上，结合污染概率和局部变异系数方法确定加密布点的目标区域，再根据土壤污染物含量分布的空间变异性及其变化趋势，确定加密样点的布设方案.该方法可优化加密布点的位置，降低加密布点的数量，提高加密布点的效果，从而在保证调查精度的前提下，降低调查成本.
3加密布点方法案例验证(Validationofthesamplingdesignoptimizationprocedurefordetailedsoilpollutioninvestigation)
3.1案例区概况
案例数据来源于某重金属污染场地，场地面积约14.50km2.按照200m间隔进行均匀采样，在部分高污染区域适当增加样本量，共采集359个土壤样品.土壤污染调查结果表明，土壤重金属Cu、pb、as、Cd等污染物都存在不同程度的污染.以该场地土壤Cd污染为例，开展土壤污染调查详查加密布点优化方法研究.
3.2样点加密布点方案
案例验证研究过程中并不实际开展土壤污染初步调查布点取样，以及初步调查结果分析和详查加密布点工作.而是利用案例场地已有的359个调查数据，采用空间抽样的思路，模拟开展土壤污染初步调查和加密详查布点过程.具体操作步骤为：首先基于案例数据的359个样点数据，进行模拟的土壤污染初步调查.根据图1的工作流程可知，土壤污染物空间变异特征研究和土壤污染不确定性区域确定是土壤详查加密布点的2个最重要的环节.地统计学的半方差分析方法是最常用的空间变异特征研究手段之一，为了获取比较准确的土壤污染物的空间分布规律，需要有足够的样本量.因此，在初步调查阶段，将研究区域划分为10×10的网格，落在网格内的土壤样点作为初步调查样点，当网格内有多个土壤样点时，随机选取其中一个，由此共获得土壤初步调查样点97个，样点间平均距离约为386m.在初步调查的97个样点数据的基础上，利用本研究提出的加密布点方法进行加密布点.具体步骤为：基于初步调查数据，利用地统计学方法分析场地土壤Cd含量(w(Cd))的空间分布规律.利用条件模拟方法预测该场地土壤Cd污染概率(图2a).基于污染概率预测结果，设定污染概率阈值(pt)和清洁概率阈值(Ct)，污染区域确定方法如式(1)所示.土壤Cd污染概率阈值和清洁概率阈值分别设定为0.8和0.2，基于污染概率划定的不确定性区域见图2b；在此基础上，结合土壤污染局部变异特征(图2c)，将局部变异性大于变异系数阈值(CVt)的区域划定为不确定性区域(图2d)，变异系数阈值设定为局部变异系数最大值的75%(式(2)).综合污染概率和局部变异系数的结果，即为土壤污染详查布点的优先区域，根据土壤污染物空间结构分析结果，沿着污染物含量变化的方向确定加密样点的位置(图3a).由于该研究是模拟研究，如果在最佳的采样位置没有样点数据，就选择邻近样点作补充，土壤详查加密样点为57个，布点方案见图3b.将加密布点后的污染调查结果与案例场地359个数据获得的结果进行对比，评价加密布点的效果.
式中，Rp为污染概率分区，Z(x)为条件模拟预测的土壤污染物含量，Zc为土壤污染评价标准，pt为污染概率阈值，Ct为清洁概率阈值，Rcv为污染变异系数分区，CVx为局部变异系数，CVt为变异系数阈值.
3.3数据处理方法
利用GS+7.0软件进行土壤污染物含量的空间结构特征分析.样点污染物含量局部变异特征是在样点VoRonoi图的基础上，借助arcGiS10.1的Geostatisticalanalyst工具，计算每个样点及其邻近样点的变异系数.采样网格、初步调查样点设计及所有空间制图均在arcGiS10.1软件中实现.土壤污染物含量条件模拟及污染概率计算在GSLiB(GeostatisticalSoftwareLibrary)中实现(Journeletal.，1998).地统计学条件模拟方法较多，该研究采用最常用的算法之一序贯高斯模拟方法(SequentialGaussianSimulation，SGS)(谢云峰等，2015)，该方法算法简单、灵活、计算方便，其基本思路为：根据现有样点数据计算待模拟点污染物浓度的条件概率分布，从该分布中随机取值作为模拟实现；将得到的每一个模拟值，连原始样点数据一起作为条件数据，进入下一个点的模拟.
3.4结果与讨论
3.4.1土壤Cd统计特征的估计精度
由表1可见，土壤Cd污染初步调查样点(97个)与污染详查样点加密后(154个)的统计特征很相似，平均值差异仅为0.01mg·kg-1.加密详查后样本的变异系数降低.与总体样本相比，初步调查和加密详查这2个阶段采样的Cd平均值都偏高，误差为5.40%.变异系数较总体分别降低2.79%和6.71%.初步调查平均值的估计精度较高，而加密详查并没有进一步提高平均值的估计精度.在污染详查阶段，由于在土壤污染空间变异较大的区域增加了样点，因此，其变异系数降低.
3.4.2土壤污染区面积的估计精度
土壤污染调查重点关注的是污染信息的识别精度.初步调查和加密详查阶段，根据样点w(Cd)超标率(表2)估算的污染区面积所占比例分别为68.04%和70.13%，比所有样本的估算结果分别高3.14%和5.23%.污染概率预测结果表明，当污染概率阈值为0.8时，污染概率预测的污染区面积所占比例在53.58%~57.84%之间，比样点超标率估计结果低7.06%~16.39%.基于超标率估算污染区面积，意味着当某个采样网格内的土壤样点污染物含量超标时，则判定该网格超标.样点加密详查后，增加的样点都位于污染概率较高的区域，因此，总体样点中污染区域样点的比例增加，导致污染面积估计结果增大.
初步调查和加密详查这2个阶段估计的污染区面积非常接近，样点加密后污染概率预测的污染区面积仅增加0.16%，初步调查与加密详查估算的面积均小于总体样本的估计结果，污染面积低估4.10%.为了评价污染区范围空间位置的预测精度，将不同采样阶段预测的污染区范围与总体样本预测的结果进行空间差值运算，并根据差值结果将污染区空间位置预测精度分为相同、低估和高估3种情况.相同表示污染程度预测结果一致，低估表示污染区被预测为清洁区，高估表示清洁区被预测为污染区(图4).从污染区的空间位置精度来看，初步调查污染区面积预测的准确度为79.35%，分别有12.45%的区域污染程度被低估，8.20%的区域污染程度被高估.加密详查后，污染区面积预测的准确度提高到86.10%，污染程度被低估和被高估的面积分别降至9.00%和4.90%.
土壤Cd平均值估计结果表明，在初步调查阶段，其估计精度就已达到94.00%以上，而污染区的估计精度仅为79.35%.表明在土壤污染调查过程中，平均值或土壤污染统计特征的估计精度，并不能反映污染区范围的估计精度.土壤污染治理过程中，污染区空间分布信息比平均值更重要，直接影响到修复成本的估计.本研究提出的土壤污染详查加密布点方法，在保证土壤污染总体平均含量估计精度的前提下，显著提高了污染区面积的估计精度；加密详查后，污染区面积的估计误差为4.10%，空间位置精度为86.10%，比初步调查精度提高了6.75%；土壤污染调查的样本量显著降低，初步调查和加密详查的样本量仅为总体的42.90%.
本研究的样点优化思路是在不确定性较大的区域内增加样点，不确定性区域的界定标准为条件模拟的污染概率和局部变异系数.从图2可知，不确定性区域主要分布在污染区边缘，在这些区域增加样点密度，能显著提高污染区空间位置精度.初步调查过程中，污染程度被低估时，污染区域被误判为清洁区域(见图4左下角和左上角的绿色区域)；样点优化过程中，清洁区域不会补充调查样点，因此，优化后的结果仍然是被低估.污染程度被低估与初步调查布点、污染概率阈值选择有关.由于没有污染物分布相关的背景信息，网格随机采样布点法对总体平均含量和变异程度的预测精度较高，对局部污染信息的预测精度较低.在初步调查前，收集场地污染源排放、土地利用方式、土壤理化性质、水文地质条件等影响污染物空间分布的相关信息，辅助调查样点设计，可以提高对污染区识别的精度(Falketal.，2011).污染概率阈值选择对加密点的空间分布有较大影响，如果选择的污染概率阈值过低，就会导致被高估的区域不能被识别；概率阈值过高，则会导致不确定性区域增大，需加密的样本过多，从而降低加密效率.本研究为了获取较大的不确定性区域，选择了较高的污染概率阈值和较低的清洁概率阈值，用于检验样点优化方案的效率.在具体应用中，应结合研究区的特点和调查目标，选择适宜的污染概率阈值，进一步提高样点优化方案的效率.加密详查样点优化过程中，基于污染概率和局部变异系数筛选出不确定性较大的区域，该研究并没有在这些区域增加样点，而是根据已有的样点数据，基于距离邻近原则，用邻近样点替代最佳位置的样点.增加的样点在空间位置上并不是最优化的，这可能会降低样点优化的效率.实际应用中在最佳的空间位置补充样点，应该会取得更好的调查效果.
本研究提出的加密布点方法的核心是在污染预测结果不确定性的区域，根据污染物空间分布规律补充调查样点.如图1所示，在污染物空间分布、污染概率预测、预测结果不确定性评价等阶段都应用了地统计学方法.根据地统计学方法的基本假设，应用该方法时要求污染物空间分布具有显著的空间自相关性.大量的研究结果表明，重金属、多环芳烃等污染物在土壤中的空间分布都表现出明显的空间相关性(胡克林，2004；郑一等，2003).因此，地统计学方法是适用的.对某些污染物，如化工场地的氯代烃污染等，这类污染物主要是通过泄漏释放到土壤中，然后通过土壤孔隙进一步向下迁移.在水平空间上，存在泄漏的区域就会检出污染物，没有泄漏的区域就不存在污染(韩春梅等，2009)，因此，这类污染物在空间上自相关性较差，本研究提出的加密布点方法就不适用.土壤中污染物空间分布受污染源分布及释放特征、区域环境条件、污染物性质及环境行为特点等多种因素的综合影响，在不同尺度上会表现出不同的空间分布规律.针对具体区域开展污染调查时，需综合考虑污染物空间分布的影响因素，同时可借鉴前期研究和其它类似研究的成果，初步分析土壤中污染物的空间分布特征，在此基础上，进行初步调查布点.基于初步调查结果，应用地统计学方法研究污染物空间分布规律，如果污染物具有较好的空间自相关性，就可以采用本研究的方法进行加密布点优化，否则，本研究的方法就不适用.加密布点是在初步调查结果的基础上，通过辨识污染物的空间分布规律，结合污染调查的要求，开展详查布点优化.因此，初步调查的可靠性会直接影响加密布点的效果.地统计学应用半方差分析研究污染物的空间自相关性.相关研究表明，样点数量和空间分布会直接影响半方差分析结果的准确性(Goovaerts，1999).从样点数量来看，由于污染物类型、研究区域条件的差异，不同研究的结论不太一致，通常认为样点数小于60时，难以获得较准确的半方差(秦耀东，1998).在具体应用时，可根据半方差函数的拟合效果，评估样点数是否足够.从样点空间分布来看，为评估污染物在不同距离和不同方向上的空间分异规律，初步调查样点应尽可能在研究区域内均匀分布，在不同距离和方向上都有足够的样点数用于分析污染物的空间分布规律，可帮助提高加密布点优化的效率.
4结论(Conclusions)
1)土壤污染调查布点方法对土壤污染物含量的估计精度较高，案例场地土壤中Cd平均值的预测误差为5.40%，变异系数的预测误差为6.71%.
概率积分法的基本原理篇9
关键词：航空发动机；磨粒；D-S证据理论；信息融合
中图分类号：te622.13文献标识码：a
1基于磨粒分类的信息诊断标准
磨粒识别系统所输出的分析结果主要是磨粒分类统计矩阵，这些信息与航空发动机的磨损故障的失效类型与损伤模式有着内在的联系，要应用其进行实际的磨损故障诊断，必须结合实际的监测诊断试验给出相应的磨损故障诊断标准。
发动机磨粒的数量描述区间，具体如表1，采用相对量化描述，它是以磨粒数量百分比为单位。对于严重滑动磨粒、疲劳剥块磨粒和层状磨粒来说，用该类磨粒总面积占视场中所有磨粒总面积的百分比作为其描述值比较客观，而对于其他类型磨粒来说，用磨粒个数百分比作为相对量化描述值比较合适。
依据同类设备的磨损故障通用诊断标准，同时参照大量现有的研究成果，通过多年的发动机磨损状态监测与故障诊断领域的研究和积累，逐步建立了某型发动机各类磨粒的监测诊断标准，具体如表2。各种界限值并不是一成不变的，要根据实际情况进行动态修正。
3某型发动机磨粒诊断信息的基元决策概率
下面以某型发动机监控取样为例，经分析所得严重滑动磨粒、切削磨粒、疲劳剥块磨粒、层状磨粒、球状磨粒、红色氧化物和黑色氧化物7种磨粒的相对量化值向量为X={0.07,0.04,0,0.08,0.02,0,0}。
根据铁谱分析磨粒诊断工作的要求，建立诊断决策框架为U＝{无故障，有故障，无法诊断}，为叙述简便以U={h1,h2,∧}表示，相应的诊断基元决策概率分别为mi(h1)、mi(h2)和mi(∧)，其中i分别代表铁谱分析中的各类磨粒。
进行铁谱磨粒各类诊断信息融合之前，必须首先判断某类磨粒相对含量测量值不超过异常值，若有某类磨粒相对含量测量值小于警告值时，其原始基元决策概率取值原则为：无故障时基元决策概率值为0.8，有故障和不能判断的基元决策概率各为0.1。
第一步，通过铁谱分析所得的7种重要磨粒的相对含量测量值向量为X＝{0.07,0.04,0,0.08,0.02,0,0}，则有严重滑动磨粒x1=0.07。
第二步，设定严重滑动磨粒相对量化值分布范围的基准值为μ＝0，良好范围上限值为x′＝0.03，异常范围下限值，即警告范围上限值x″＝0.18，并取定无法判断中心值x[tX-*4]=(x′+x″)/2＝0.11，可以凭经验取定相应的基元决策概率值，如表3。
第三步，针对测量得到的严重滑动磨粒相对含量值x1=0.07，应用最小区间线性差值方法,计算得到相应的原始基元决策概率值m′1(h1)、m′1(h2)、m′1(∧)。
最小区间线性差值法，即在基元决策概率值表中可能的取值为区间终点的所属最小区间内对所对应的点线性差值，这样可充分减少原始基元决策概率值估值误差。由此可知它们计算公式分别如下所示：
对于表4所示的磨粒相对含量值诊断基元决策概率值，可以应用D-S证据融合方法，反复进行证据信息融合，最终得到铁谱分析磨粒相对含量数据的融合诊断结果为：m(h1)＝0.9994、m(h2)＝0.00045和m(∧)＝0.00017。从上述融合诊断结果可以看出，该发动机当前的磨损状态良好，偏于安全。
参考文献：
［1］吴振锋．基于磨粒分析和信息融合的发动机磨损故障诊断技术研究［D］．南京：南京航空航天大学，2001.［2］李艳军，左洪福，吴振锋,等．基于D-S证据理论的磨粒识别［J］．航空动力学报,2003,18(1)：114-117.
概率积分法的基本原理篇10
一、教学观念现代化
实践证明：教学观念直接影响课堂教学效率，教学观念不解决，再好的教材，再完善的教学方法，使用起来也会“走样"。
传统的教学观认为：教学就是教师教，学生学，教师讲，把学生当作消极、被动地接受知识的容器。现代的教学观认为：教学就是教师有效、合理地组织学生的学习活动，使所有的学生都能学好，学得主动、生动活泼。要提高数学课堂教学效率，必须转变传统的教学观念，建立符合现代教学观的崭新体系，努力做到“五个转变"和确立“四种教学观"。
“五个转变"是指：①由单纯的“应试教育"转变为全面的素质教育；②由“填鸭式"的教学方法转变为启发式的教学方法；③由局限于课堂的封闭教学转变为课堂内外相结合的开放性教学；④由单纯传授知识的教学转变为既传授知识，又发展能力的教学；⑤由教学方法的“一刀切"转变为因材施教。
“四种教学观"是指在数学教学过程中要确立如下四种观念：①整体观。即是用整体观点指导课堂教学，从整体上进行数学教学改革，充分发挥课堂教学中各种因素（教师、学生、教材等）的积极性，使它合理组合，和谐发展，实现课堂教学整体优化；②重学观。就是要求教者重视学法指导，积极地把“教"的过程转化为“学"的过程；③发展观。不但要引导学生有效地学习，更重要的要培养能力，发展智力；④愉快观。要把愉快因素带进课堂，让学生在轻松愉快的课堂氛围中获取知识。
二、数学目标明确化
教学目标是教学大纲的具体化，是教材所包含的知识因素和能力训练的具体要求，是评估教学质量的依据。教学目标决定着教学活动的方向，决定着教学内容、方法、途径的选择，决定着教学效率的提高。
在数学课堂教学中，如果目标制定明确，便能发挥如下功能：对指引师生的教与学，有定向功能；对教改程序的有效进行，有控制功能；对知识与能力的双向发展，有协调功能；对减轻学生因题海战术而盲目训练所造成的负担，有效率功能；对教改工作的科学评价和管理，有竞争功能；对统一标准大面积提高教学质量，有稳定功能。
由此可见，要提高数学课堂教学效率，就应制定完整、明确的课堂教学目标，注意根据教材内容定出基础知识、基本能力、思想感情教育等项的达标要求。例如教学《分数的初步认识》，可制定如下教学目标：①基础知识方面：结合直观图形理解几分之一的含义；认识分数各部分的名称，掌握分数的读法和写法；②基本能力方面：能应用分数表示图形里的阴影部分，能在图中画出阴影部分来表示分数，在数线上标出一定的分数；③思想情感教育方面：培养起学生学数学的兴趣、自觉性和克服困难的意志。并且把这些相互促进、相互制约的各项要求组成一个整体，做到在教基础知识的同时培养能力，发展智力。这样就能使学生在知识、能力、思想情感教育三个方面得到协调发展，全西完成课堂教学任务，收到良好的教学效果。
三、教学方法科学化
教学方法是师生为达到教学目的、实现教学目标而相互结合的活动方式，其中包括教师的教法和学生的学法，而学生的学法实际上是教师指导下的学习方法。
教法制约学法，并给课堂教学效率带来重要影响。因此，教师选择教学方法要科学、合理，注意体现如下四个原则：启发性原则、生动性原则、自主性原则和因材施教原则。启发性原则是指方法要善于激发学生学习主动性，启发学生积极思维；生动性原则是指方法要富有艺术性，具有强烈的吸引力和感染力；自主性原则是指方法要让学生主动参与，充分体现学生的主体地位；因材施教原则是指方法要处理好全体和个别的关系。
课堂教学方法多种多样，不同的内容、不同的课型，教法就不同。目前，一节课中只采用一种教法的极少，同时单一地运用某一教法，也不利于学生智能的发展。因此，在数学教学中要将各种教法进行最佳组合，做到灵活多样、富有情趣，具有实效，并能体现时代的特点和教者的风格。只有这样才能使教学方法科学化，提高教学效率。
四、教学手段多样化
教学手段是实现教学目标的主要措施。传统的数学教学，从概念到概念，教师单靠粉笔和黑板讲解，势必影响大面积提高小学数学教学质量和学生的素质提高。因此，要提高课堂教学效率，必须注意教学手段的多样化。
多媒体教学体现了教学手段的多样化。因为它合理地继承了传统的教学媒体（如课本、教师课堂语言、板书、卡片、小黑板等），恰当地引进了现代化教学媒体（如幻灯、投影、录音、电视、磁性黑板、电脑图象等），使二者综合设计、有机结合，既能准确地传导信息，又能及时地反馈调节，构成优化组合的媒体群。
这样能使学生视、听触角同时并用，吸收率高，获得的知识灵活、扎实，从而提高了课堂教学效率。
五、课堂结构高效化
现代教学论认为：应变“教"的课堂结构为“学"的课堂结构，变课堂为学堂。据报载，美国中小学校的许多教师每节课只讲10分钟，剩下的时间让学生相互交流、提问、消化，教师引导、释疑、解惑。无独有偶，国内已有很多学校要求教师一节课最多只讲15分钟，其余的时间让学生“自由选择"，教学效果也很不错。不同的课型有各自的基本结构模式，同一课型的结构模式，也会因教学指导思想的不同、客观教学条件的变化而变化。
课堂结构高效化并不一定是大容量、快节奏和高要求，一个有活力的、高效化的课堂结构，必须具备如下六个因素：构成一个“环环紧扣、层层入深、步步有新、相互促进"的有机整体；教师对教学内容的处理与学生原有的认识结构相适应；学生主动、积极参与的程度；学生当堂练习的数量和质量；课堂信息反馈畅通的程度，能否做到及时反愧及时调节；充分有效地利用课堂教学时间。
六、基本训练序列化
小学数学课堂教学中一条成功的经验是加强双基（基础知识教学、基本能力训练），什么时候加强双基，教学质量就高；什么时候削弱双基，教学质量就下降。加强基本能力的训练应注意如下问题：①首先应确定哪些是基本训练的内容，然后根据各年级的教学要求，由浅入深地安排，形成一个符合小学数学特点和儿童特点的基本训练序列；②训练的时间多长，数量多少，都要根据教材内容和学生的实际来确定，以便在不增加学生学习时间的条件下，取得最好的训练效果；③习题的编排应做到低起点、小步子、快节奏、大容量，使每个学生都能得到成功的喜悦；④应针对学生存在的问题，精心选编习题。例如：为引人新课，选编知识衔接题；为巩固概念，选编基础变式题；为纠正差错，选编判断题、选择题；为拓宽思路，选编多变、多解题，等等，从而实现训练目标。
以上六项基本要求，体现了小学数学的学科特点，改变了传统的教学观念，集中了行之有效的教学经验。实践证明，教学过程中如果能实施这六条基本要求，就能优化课堂教学，取得显著的教学效果。
提高数学记忆效果十法
许多数学知识，不仅需要学生理解，更要让学生记住它。那么，怎样才能提高学生记忆数学知识的效果呢？下面介绍十种方法。
（一）归类记忆法
就是根据识记材料的性质、特征及其内在联系，进行归纳分类，以便帮助学生记忆。比如，学完计量单位后，可以把学过的所有内容归纳为五类：长度单位；面积单位；体积和容积单位；重量单位；时间单位。前四类包括公、市制和换算，第五类包括世纪、年、月、日、分、秒及其进率。这样归类，能够把纷纭复杂的事物系统化、条理化，易于记忆。
（二）谐音记忆法
这种记忆法即是利用某些识记材料的谐音来进行记忆，使学生印象深刻，不易遗忘。
（三）比较记忆法
有些数学知识之间是很容易混淆的，可以应用一些概念的对立关系，抓住概念中关键地方进行比较，便可帮助学生区别和记忆。
（四）歌诀记忆法
就是把要记忆的数学知识编成歌谣、口诀或顺口溜，从而便于记忆。比如，识记分数乘、除法法则，就可编出这样四句歌诀：“分数相乘很分明，分子分母各相乘，分数除法不一样，除数颠倒再相乘。"采用这种方法来记忆，学生不仅容易记，而且记得牢。
（五）理解记忆法
理解是一种有效的最基本的记忆方法，丰富的数学知识，靠死记硬背是容易忘记的，只有深刻理解了才能记牢。因此，对概念、性质的概括、法则的得出、公式的推导等过程都必须一清二楚。比如，各种面积公式，其中长方形面积公式是最基本的，其他图形的面积公式都可以从长方形的面积公式中推导出来。学生理解了推导的过程和关系，就容易记住各种图形的面积公式了。
（六）规律记忆法
即根据事物的内在联系，找出规律性的东西来进行记忆。比如，识记公制长度单位、面积单位、体现单位的化法和聚法。化法和聚法是互逆联系，即高级单位的数值×进率：低级单位的数值，低级单位的数值＋进率＝高级单位的数值。掌握了这两条规律，化聚问题就迎刃而解了。规律记忆，需要学生开动脑筋对所学的有关材料进行加工和组织，因而记忆牢固。
（七）列表记忆法
就是把某些容易混淆的识记材料列成表格，达到记忆之目的。这种方法具有明显性、直观性和对比性。比如，要识记质数、质因数、互质数这三个概念的区别，就可列成表来帮助学生记忆。
（八）重点记忆法
随着年龄的增长，所学的数学知识也越来越多，学生要想全面记住，既浪费时间且记忆效果不佳。因此，要让学生学会记忆重点内容，学生在记住了重点内容的基础上，再通过推导、联想等方法便可记住其他内容了。比如，学习常见的数量关系：工作效率×工作时间＝工作量。工作量÷工作效率＝工作时间；工作量＋工作时间＝工作效率。这三者关系中只要记住了第一个数量关系，后面两个数量关系就可根据乘法和除法的关系推导出来。这样去记，减轻了学生记忆的负担，提高了记忆的效率。
（九）联想记忆法
就是通过一件熟悉的事物想到与它有联系的另一件事物来进行记忆。比如，从整数加、减法的法则联想到小数加、减法的法则，由加法交换律、结合律联想到乘法的交换律、结合律和分配律。联想可以打开学生记忆的闸门，是一种行之有效的记忆方法。