探索勾股定理篇1
关键词：勾股定理；探索；应用
一、教学目标
（1）知识与技能目标：用数格子（或割、补等）的方法体验勾股定理的探索过程，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
（2）过程与方法目标：在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学过程，并体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法。
（3）情感态度与价值观目标：在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理的由来，激励学生发奋学习。
二、教学重点及难点
重点：经历探索及验证勾股定理的过程，并能用它来解决一些简单的实际问题。
难点：用面积法探索勾股定理。
三、教学过程
（一）创设情境，提出问题
工人师傅用长为4米的直梯将一幅宣传横幅挂在墙上高3.4米的位置，如果梯子的底部离墙的距离是1.2米，请问工人师傅能不能完成任务？
设计意图：这样的设计是以实际问题为切入点引入新课，反映了数学来源于实际生活，产生于人的需要，也体现了知识的发生过程，解决问题的过程也是一个“数学化”的过程，从而引出本节课探究的主题。
（二）分类探究，发现定理
1.探究铺垫
观察下图，你知道正方形C的面积是多少吗？说说你的方法。
设计意图：学生通过合作交流，尝试探索方格中不同边长的正方形的面积求法，这样设计有利于降低新课的探究难度，为突破难点打下基础。
2.问题探究
例1：边数为整数的直角三角形
类型一：等腰直角三角形。
观察下图，你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
学生通过观察，归纳发现：
结论1：以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
类型二：一般的直角三角形
由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？
观察下图，你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
结论2：“以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
做一做：
（1）你能用直角三角形的边长，b，c来表示上图中正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
（3）分别以3cm，4cm为直角边作出直角三角形，并测量斜边的长度，（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？
结论3：直角三角形两直角边的平方和，等于以斜边的平方。
设计意图：由直角三角形三边长为边的三个正方形的面积关系，发现直角三角形三边的平方关系，初步得到勾股定理的内容.同时，引导学生具体画出一个直角三角形，通过计算，进一步验证勾股定理。
例2：边数不为整数的直角三角形
运用几何画板进一步验证上面的结论，改变直角三角形的三边的长度，学生发现结论仍然成立。
设计意图：由于边数为整数直角三角形的三边的平方关系，对于一般的直角三角形是否也成立？在这里，让学生画图探讨较为困难，因而利用几何画板进一步验证前面得到的结论，在此基a上，进一步探讨出本节课的重点----勾股定理。通过边数为整数和不为整数两方面的分类探究，充分地让学生经历了探索勾股定理的过程，得出的结论也更具有一般性，较好的突出了重点，突破了难点。
例3：勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用[a，b，c]分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么[a2+b2=c2]。
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名。（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）
设计意图：通过介绍勾股定理由来的历史，激发学生热爱祖国，激励学生发奋学习。
（三）回归生活，应用新知
解决情境问题。
设计意图：让学生解决开头情景中的问题，前呼后应，增强学生学数学、用数学的意识，增加学以致用的乐趣和信心。
（四）知识拓展，巩固深化
1.情境题：
小明妈妈买了一部29in（74cm）的电视机，小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58cm长和46cm宽，他觉得一定是售货员搞错了，你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
设计意图：增加学生的生活常识，也体现了数学知识源于生活，并用于生活。
2.探索题：
做一个长，宽，高分别为50厘米，40厘米，30厘米的木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学过的知识说明。
设计意图：提升难度，学生通过交流讨论的方式，拓展学生的思维、发展空间想象能力。
（五）课堂小结，概括要点
教师提问：
1.这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
2.对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流。
在学生自由发言的基础上，师生共同总结：
1.知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用[a，b，c]分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么[a2+b2=c2]。
2.思想：分类讨论、特殊―一般―特殊、形结合思想。
设计意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动，培养学生语言表达和交流的能力。
（六）布置作业，思维延伸
1.教科书习题1.1。
2.思考：是不是任意的三角形的三边长都满足[a2+b2=c2]？若不是，你能探究出它们满足什么关系吗？和同学们交流。
设计意图：巩固基础知识；引发思考，强化认识勾股定理适用的条件。对于锐角三角形和钝角三角形，引导学生利用本节课的方法得出相应的结论，将本节课的研究方法延伸到课外。
参考文献：
[1]陈光林.《勾股定理》学习指南[J].中学生数理化（八年级数学）（北师大版），2007（Z2）.
探索勾股定理篇2
关键词：技术装备；情境；效率；信心；探究意识
探究是学生了解和认识世界的重要途径，强调探究的过程，让学生通过探究去参与、体验和掌握探究学习的方法，比获取探究的结果更加重要。因此，新课标的课程改革把倡导探究性学习放在突出的地位。下面就我在网络环境下进行教学时如何提升学生的探究能力谈几点做法：
1应用多媒体创设探究情境，激发学生的学习兴趣
多媒体相对传统的教学手段来讲在情景的创设方面具有自身的优势，课堂中我们能利用它创设一种情境，让学生自己发现问题，发现疑点，引起他们渴求知道答案的迫切心情和继续学习动机，激发他们的探究欲望，使枯燥的学习变得轻松愉快。如我在进行《勾股定理》教学时，针对勾股定理这部分知识我设定了如下情境：先用多媒体播放了一段某商场发生火灾的视频，然后提出问题如果发生火灾的地点距地面4m高，梯子要架在离大楼3m远的位置，消防员拿来6m的梯子能够进入到着火的位置吗？这样为学生创设了一个现实生活中的情景，这就是已知直角三角形两直角边用勾股定理求斜边的问题，学生应用原有的知识无法快速的解决这个问题，激发了学生解决这个问题的欲望，使学生带着问题进入到这节课的学习探究活动中。
2应用直观有效的课件帮助学生提高探究的效率
一个精心准备的课件能最大程度的辅助教师教学，提高探究的效率，解决传统教学难以解决的障碍，运用直观有效的教学课件进行辅助教学能解决传统教学中承载信息的种类和能力十分有限的问题；能对课堂中学生难以理解的内容进行启发性地展示；对普通媒体难以呈现的内容可以进行直观地展示使学生加强理论与现实之间的联系，帮助他们理解和掌握知识。教会学生如何去有效的学习，比教师向学生灌输知识更有效，学会学习即是要学会学习的方法，这样才能成为学习的主人，使学习更有效率。自主探究式课堂教学是以尊重、信任和发挥学生的能动性为前提，以学生发展为本，在课堂教学中让学生掌握学习的主动权，用能充分发挥学生的主体作用直观的课件组织教学，即让学生积极主动地参与到教学过程中去，也符合教师应利用一切可以利用的教学手段为学生的“学”服务这一理念，让学生充当教学活动中探究学习的主角。
教学课件的精心准备是提高探究效率的有力保障，在进行《勾股定理》这一节课我在网络的环境下开展了课堂教学，我把勾股定理史话、证明的方法、应用知识解决实际问题等内容的网络链接加入我的课件中，让学生在网络环境下去了解探索，对勾股定理的证明我在课件中安排了用4个全等的直角三角形拼接正方形的动画，直观的动画方法更利于学生接受，学生通过与小组成员的合作交流探索出了以下的证明方法：
通过对面积的表达很容易的得出了a2+b2=c2，通过勾股史话的了解对学生进行了爱国主义教育，应用多媒体课件的辅助教学提高了学生活动的目的性、针对性和实效性，提高了探究的效率。也帮助学生提升了自己的探究能力。
3课上及时反馈与评价，增强学生自主探究的信心
运用现代教育技术优化数学课堂教学，使师生之间的反馈评价变得更加及时有效，在教学中教师必须遵循学生认识事物的规律，学生的思维特点是以具体形象思维为主，多媒体手段是为学生的鲜明形象思维向抽象思维转化而架设的通道，教师在运用电教媒体教学时，应尽量给学生提供一些自主探索的机会，让学生在自主探索的过程中，逐步形成对数学知识的理解，培养学生的自主探索的能力，并对探索的结果进行及时的反馈，以便于教师及时对学生的探究情况作评价，教师的评价要注重学生的心理感受和情感体验，从更适合学生心理的角度进行学习评价。如我在进行《勾股定理》的教学时，我课件中设置了通过学习你发现了什么规律、你掌握了什么知识等问题，通过计算机网络及时的反馈给我，我及时的给予学生鼓励性的评价，这样能在学生内心深处形成一股强大的心理推动力使他们更乐于探索，更乐于表达自己的观点，对于对知识表述的不太准确的学生我采取亲近式评价，保护学生的自尊心，充分肯定学生的进步和发展，同时指出在哪些方面具有潜能，哪些方面存在不足。这样有利于培养在课堂上独立探究的勇气，使学生树立学习数学的信心，明确自己努力的方向。在这个过程中他们获得的是成功的体验，以及争取更大进步的动力。
4充分利用网络资源进行合作探究意识的培养
网络的飞速发展普及，为现代的网络环境下的课堂教学提供了可能，在网络环境下的小组合作探究学习是我们提倡的学习方法之一，在现代的教学模式下如何吸引每一个学生参与到教学活动之中是每位教育工作者应着力解决的问题，教师要引导学生通过网络进行各种形式的协作学习，充分利用网络资源，发挥自己的聪明才智和想象，总结解决的办法，通过电子邮件、实时聊天工具或发表帖子交流，以收集信息。
如在网络环境下进行《勾股定理》这节课教学时，我将学生分组，让学生通过网络收集与勾股定理相关的信息，由学生汇总信息，最后由小组成员向全体同学做出书面汇报。通过这一过程，小组间的团结协作能力进一步增强，课堂上学生积极参与到合作探究中来，全体同学基本上对勾股定理及其应用等相关知识都有了比较好的掌握和理解。
5精心设计探究性数学问题作业，培养学生的自主探究能力
精心设计一些探究性数学问题的作业，让学生利用课余时间主动发现知识、运用知识解决数学问题从而培养学生的自主探究能力，数学课外活动是教材的扩展和延伸，也为学生在课后了解数学、研究数学提供了资源，在学习了勾股定理以后，结合《勾股定理》这节数学课我设计了“关于勾股定理的研究”这一课外活动，布置以下问题让学生课后探究。
（1）搜集（包括上网、查资料等等）验证勾股定理的各种方法，选择你喜欢的拼图验证方法，自主探究这些拼图的特点；
（2）你能找到哪些勾股数组的表达方式；
（3）由a2+b2=c2得到aBC是直角，且∠C是直角；那么从a2+b2c2中，你又能得到什么结论呢？
（4）由a2+b2=c2存在整数解（3、4、5；5、12、13等等），你能猜想an+bn=Cn（n>2的整数）是否存在整数解呢？（费马大定理）
探索勾股定理篇3
一、定理引入
课堂教学开展之初，应利用一些生动有趣的故事引入，让学生对所学知识产生兴趣.
在教学勾股定理时，我用《九章算术》中的一题引入：如图1，有个一丈见方的水池，在这个池中生长着一株植物，植物形似芦苇，恰好伸出水面一尺长，假如把这株植物弯向岸边，直到其与地面相连时，可否得出这一池水的深度，以及这株植物的长度？
图1在方案设计时融入故事和趣味问题，主要的意图是通过这些妙趣横生的情境来激发学生的想象力，让他们对学习勾股定理产生兴趣，从而调动起他们的探究热情.
图2二、定理探索
定理的探索是一个发现的过程，主要分为以下两步.
1.直角三角形的三边数量关系的猜想
结合图2，若图中小方格的单位面积为1.问题（1）：如何求出三个正方形的面积？问题（2）：三个正方形的面积之间有什么等量关系？问题（3）：你能否得出直角三角形三边的数量关系？
2.猜想验证
首先作出八个全等的直角三角形，它们的两个直角边和斜边分别设定为a、b、c，再作三个正方形，它们的边长分别为a、b、c.然后按照图3所示，将它们拼成两个大的正方形.我们从两个大正方形中可以发现，它们的边长均为a+b，因此可以断定它们的面积等同.即.
图3通过上述验证探索我们可以得知，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（即勾股定理）.
三、定理应用
在验证完上述定理之后，还需要针对学生掌握的情况进行解题尝试，让学生可以进一步应用定理.以上述《九章算术》的习题为例，让学生尝试求出池水的深度以及这株植物的长度.
因为学生此时已经大致了解了勾股定理，因此在理解题意的基础上，可以整理出aB2=aC2+BC2，再将有关代数式代入等式中，通过解方程可以得出水深12尺，这株植物的长度为13尺.
四、定理证明
图4当学生完成了对勾股定理的猜测、验证和应用后，最后还要对勾股定理进行证明.对此，我们将学生分为几个小组，让学生组内合作进行定理的证明.当然，勾股定理的证明方法有很多，所以针对不同的小组，让他们采用不同的方法加以证明.就拿拼图法来说，除了像图3那种方法外，也可以用图4来证明.
这一部分的操作意图是为了让学生之间的互动交流得以加强，使他们对勾股定理的原理和认知能够得到全面的巩固.
五、习题巩固
针对学生对勾股定理的掌握情况，教师安排一些有针对性的习题进行一系列的巩固练习，这在强化学生应用能力的同时，也加深了他们对该定理的认知，从而让知识变得真实易懂，融入自身.
探索勾股定理篇4
1由中国结到勾股定理的证明方法
中国的文化既悠久又丰富，中国的民间艺术丰富，其中中国结就是中国民间艺术的智慧结晶.中国结从头到尾都是用一根丝线编结而成，每一个基本结又根据其形、意命名.把不同的结饰互相结合在一起，或用其它具有吉祥图案的饰物搭配组合，就形成了造型独特、绚丽多彩、寓意深刻、内涵丰富的中国传统吉祥装饰物品.勾股定理的发现可以从中国传统的吉祥装饰物品中体现出来，同样这种数学元素也反映在非洲的装饰品中[1]，如此一来，这一素材又反映了数学多元文化的特点.具体地，图1展现了“结”的前后表面形状，图2是“结”形状的轮廓，包括可以看见的线条以及不可见的线条，由此可以看出中间是一个近似的正方形.
如果按照这个中国结的编织图形（图3）进行分割，通过截取变化（图4）便能得到并证明结论：SC=Sa+SB.（图5）
2由纸风车到勾股定理的证明方法
纸风车是一种来自民间的折纸艺术，做法简单，制作后的纸风车形状具有数学对称美，而其形状又成为了证明勾股定理的良好素材.通过观察可以看出纸风车的形状成中心对称，将纸风车中的结点连接，大正方形被分割成一个小正方形和四个全等的四边形（图6）.将图6中的几何图形进行如图7的拼接，可以巧妙地证明勾股定理.
3文化素材的教学应用
多元文化数学的进一步挖掘会使数学的教与学变得更加丰富多彩[2]，从教学的角度思考勾股定理的教学，将上述的文化素材切入勾股定理的学习，将数学融入文化，并从学生认知规律出发设计一堂生动有趣的数学文化课堂.具体而言，上述文化素材可以通过两种方式加以应用.
一是在形成了有关勾股定理的猜想之后，展现中国结与纸风车等文化素材，通过数学化，将生活形状抽象为几何图形，然后再利用拼图游戏来直观化地验证勾股定理.这样做的目的有三.首先，适应学生的几何认知水平.荷兰学者范希尔夫妇经过理论和实践两方面的长期探索，指出学生的几何思维存在5个水平：直观（Visualization）、分析（analysis）、推理（inference）、演绎（Deduction）、严谨（Rigor）[3].初中学生的逻辑思维能力还不是太强，因此需要通过直观、操作等手段帮助学生理解抽象的几何关系与演绎逻辑.而借助中国结、纸风车等为载体抽象出来的几何图形，通过拼图能直观地验证勾股定理，这对于数学学习基础尤其是抽象思维能力较弱的学生而言是极为重要的，降低了思维难度，但同时又提高了学生的参与度、兴趣与信心.其次，密切数学与生活的关联.在很长一段时间里，学生学校的数学学习与其生活是相互割裂的.这样的学习也造成了很大的教育问题，即学生的数学学习未能被正当地赋值，甚至有人还提出数学无用论.因此，在教学中需要借助学生生活中常见的素材，并由此学习这些素材中蕴含的数学元素与数学关系，这也即是“数学生活化”的教学设计逻辑[4].这即是指，教师首先确立的是“勾股定理”这一数学维度上的学习目标，然后寻找到如中国结、纸风车等生活中常见的素材，并使之融入到教学之中，以实现“数学生活化”.再次，为了学生文化浸润式的学习.除了密切学生的现实生活与数学之间的关联之外，还要让学生体会到数学的文化厚重感.即借助富有中国传统特色的中国结、流传历史悠久的纸风车来学习数学，能让学生产生历史厚重感.
二是在学生已经学习了勾股定理之后，向学生展现中国结和纸风车图片，要求学生抽象出其中的数学元素，并由此探索这些数学元素之间的数学关系.与前一种将文化素材作为验证勾股定理的载体不同，这里将其后置到定理学习之后作为拓展性的问题让学生探索.这种用法的价值除了具有前述“密切数学与生活之间的关系”、“为了学生文化浸润式的学习”等两个方面之外，还有以下意义.首先，为了知识的巩固与活化.学生在学习了勾股定理之后，除了常规的练习之外，事实上更重要的是要将知识迁移到类似的但又不那么封闭与明确的情境之中.后者不仅在于巩固知识，同时也使知识得到活化.因为，无论是中国结还是纸风车，都需要学生作一定程度的数学化，并将不熟悉的问题化归为刚刚学习的勾股定理相关的问题，显然这就不仅仅是知识的巩固了.其次，从教育目标的角度来看，这种做法还期待培养学生“生活数学化”的能力.关于数学价值，不同的人也许有着不同的理解.但显见的是，在数学上研究越深入的人越能认识到数学的内在价值.造成这种现象的一个重要原因在于，数学的价值有时是非常内隐的，甚至很难为人所感知的.如果在教学中不去挖掘数学的内在价值，有时就会产生误导，甚至会认为数学只是用于计算.也正因如此，我们强调这些文化素材在数学教学中加以应用，就是希望所培养的学生能逐渐拥有用数学思考问题的意识和习惯，拥有用数学更好地组织生活的能力.就本案例而言，中国结与纸风车都是我们文化生活中所常见的，但我们更习惯于用工艺品（或艺术品）的角度来理解，而很少会从数学的角度研究这类物品.但事实是，当我们用数学的角度来理解生活中的这些事和物的时候，往往能带来惊喜：原来我们身边处处有数学.再次，有助于培养学生的数学学习习惯.过去我们所理解的数学学习习惯往往指的是学生伏在案头学习数学的习惯.我们认为，数学学习习惯除了上述方面外，一个更高的层次是学生随时而自然地会想着用数学的角度思考问题.后者当然是理想的状态，但教学中的有意识培养也能帮助学生朝着这个方向前进.其中一个重要的培养策略就是让学生尝试探索也许表面上与数学风马牛不相及的素材中的数学元素，除了中国结、纸风车，还有包括建筑物等素材.需要进一步说明的是，与前一种用法相比，这种用法对学生的数学要求也更高，当然所培养的探索能力也会更强一些.
总之，数学文化的观念已引起人们越来越多的关注，关于数学文化与数学课程教学的整合也是研究的热点问题之一.但关于富含数学元素的民俗文化的挖掘与教育学转换还比较有限，本文也是在这一方向上的一种努力.
参考文献
[1]张维忠.数学教育中的数学文化[m].上海：上海教育出版社，2011：233.
[2]唐恒钧，张维忠.民俗数学及其教育学转化-基于非洲民俗数学的讨论[J].民族教育研究，2014（2）：115-119.
探索勾股定理篇5
一、勾股定理的证明
例1一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图1,火柴盒的一个侧面aBCD倒下到aB'C'D'的位置,连接CC',设aB=a,BC=b,aC=c,请利用四边形BCC'D'的面积证明勾股定理:a2+b2=c2.
证明:四边形BCC'D'为直角梯形,
S梯形BCC'D'=(BC+C'D')•BD'=.
RtaBC≌RtaB'C',∠BaC=∠B'aC'.
∠CaC'=∠CaB'+∠B'aC'=∠CaB'+∠BaC=90?
S梯形BCC'D'=SaBC+SCaC'+SD'aC'
=ab+c2+ab=.
=.a2+b2=c2.
说明:在近几年的中考试题中,考查勾股定理证明的试题有增强的趋势,主要是利用图形面积之间的关系证明勾股定理,一方面增进了同学们对证明勾股定理的数学史的了解,另一方面这类试题对培养同学们的探索精神也大有裨益.
二、勾股定理在计算中的应用
例2如图2,在aBC中,∠CaB=120B=4,aC=2,aDBC,D是垂足.求aD的长.
解:过C作CeBe交Ba的延长线于e,
aC=2,ae=1.
在RtaCe中,由勾股定理得:
Ce2=aC2-ae2=3,Ce=,
在RtBCe中,由勾股定理得:BC2=Ce2+Be2=28,
BC=2.SaBCa=aB说明:当所给的图形有直角三角形时,我们可想到勾股定理的应用.
三、勾股定理的实际应用
例3如图3,一架长5米的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯子底端距墙底3米.如果梯子的顶端沿墙下滑1米,梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗?用所学知识,论证你的结论.
解:是.证明如下:
在RtaCB中,BC=3,aB=5,
根据勾股定理得aC==4米.
DC=4-1=3米.
在RtDCe中,DC=3,De=5,
根据勾股定理得Ce==4米.
Be=Ce-CB=1.即梯子底端也滑动了1米.
说明:在用勾股定理解决实际问题时,关键是根据题意画出图形,把实际问题抽象成数学模型,然后运用勾股定理等解决,必要时还要用到方程(组)的方法求解.
四、与勾股定理有关的探索题
例4图4中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成,其序号依次为①、②、③、④、⑤、…,则第n个等腰直角三角形的斜边长为_____________.
解:观察图形可知①对应斜边长为,②对应斜边长为,③对应的斜边长为,……,第n个对应斜边长为.
五、勾股定理逆定理的应用
例5已知a,b,c为aBC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断aBC的形状.
解:a2c2-b2c2=a4-b4,
c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).
(1)当a2-b2≠0时,化简后得c2=a2+b2,
aBC是直角三角形.
(2)当a2-b2=0时,a=b,aBC是等腰三角形.
说明:本题结合因式分解的知识,综合考查了提公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的逆定理,同时还考查了等式的性质2:在等式两边不能同时除以一个可能为0的数,这往往是我们最容易忽视的地方,应引起大家的注意.
六、与勾股定理有关的创新题
例6在直线l上依次摆放着七个正方形(如图5所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=________.
分析:根据已知条件可知aC=eC,∠aBC=∠CDe=90CB+∠eCD=90伞CD+∠CeD=90浴CB=∠CeD,这样可得aBC≌CDe,所以BC=eD,
在RtaBC中,由勾股定理,得aC2=aB2+BC2=aB2+De2,
由S1=aB2,S2=De2,aC2=1,所以S1+S2=1.
探索勾股定理篇6
关键词：数学课堂；教学；培养；学习能力
数学学习中有许多的定义、定理、公式需要记忆，所以要让学生知道这些定义、定理、公式不能死记硬背，应在理解的基础上去记忆。要理解它们的实质，理清定理、公式成立的条件、前提，要在多加练习的基础上多总结归纳，不能只满足于会做一道题，更重要的是掌握解题的方法，思考探求有没有更好的解题技巧。
下面以“勾股定理”一节的课堂教学为例，探讨在数学课堂教学中如何培养学生的学习能力。
一、趣味情景激思
首先，在讲授本课前要求学生要进行课前10分钟的预习，在学生初步对所学知识有一大体了解后，教师不急于切入本课知识点的讲解，而是先来举例，通过举出有关本课知识内容的例子来激发学生学习本课的兴趣。
教师在黑板上画图后，简述问题如下：学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走捷径，在花圃内走出了一条路，他们仅仅少走了4步路（假设2步为1米），却踩伤了花草，这部分同学受到了老师和同学们的批评。大家谈谈自己的看法？提出问题后，教师让同学们踊跃发言，有的同学说：“两点之间，线段最短，我直接从a到B这可要少走不少路呢”，另一个同学则说：“你只少走了4步路，却破坏了学校的花草，这样是不对的”，在学生一番争论之后，教师摆手示意学生安静下来。教师为了更加激发学生学习本节知识的兴趣，再来讲述一相关实例：UFo（不明飞行物）是外星人的宇宙飞船吗？地球以外是否还存在的其他生命呢？这些谜团，还有待科学家去探测解决，如果真有外星人，我们人类可以采用哪种方式与他们交流呢？彼此该如何沟通呢？我们能与外星人和睦共处吗？人类一次次登上月球已不再是神话故事，这些成功尝试都与数学知识有着密切的联系。我国数学家华罗庚认为，如果要与外星人交流信息，不妨把我国古代的“青朱出入图”送去，于是教师在黑板上画出此图，看后都莫名其妙时，教师提问：这幅图反映的是什么内容呢？这时学生已经被老师所举以上两个例子和图例提出的问题产生了一连串的疑惑和不解，此时教师告诉大家本节将会帮助学生解决这些问题，此言一出，学生的学习兴趣立刻被激发起来，教师由此顺理成章地再提出本节知识的重点和难点。这就是课堂教学中常采用的激趣教育法和疑惑探究法，运用这两种教学方法可以充分激发学生学习数学知识的兴趣，激发学生探索新知识的求知欲和培养他们独立思考的能力。
二、教师对本节知识进行概览
直角三角形是一种比较特殊的三角形，它有许多特殊的性质，勾股定理及其逆定理是重要的性质之一，利用勾股定理及其逆定理可以解决许多日常生活中的实际问题，本节的重点是：探索、验证、理解勾股定理及其逆定理；熟练掌握，灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题。
三、教师进一步提出探索勾股定理的方法
1.根据勾股定理，在三角形aBC中，∠C=90°，则a2+b2=c2。在此关系式中涉及三个量，利用方程的思想，可知二求一。
2.若题中未涉及直角三角形，但出现了平方和的形式，一般需要构造直角三角形，运用勾股定理的知识解决。
3.注重数形结合的思想，解决实际问题。在考试中要灵活运用勾股定理及其逆定理，平时在课下要多做多练，特别要关注一些实际问题的解决方法。
4.勾股定理的内容（重点）
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。在三角形aBC中，∠C=90°，则a2+b2=c2，其中a、b表示直角三角形的两条直角边，c表示斜边。勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系。
注意点：勾股定理是直角三角形的特殊性质，应用勾股定理的前提条件是直角三角形；古代中国把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦；应用勾股定理在直角三角形中由两边长可求出第三边长，在计算时要找准斜边。
5.验证勾股定理（难点）
验证勾股定理有许多方法，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可利用拼图来证明，其中拼图法是常用的方法之一。利用拼图法验证勾股定理关键是计算图形的面积，计算图形的面积可把整体看成一个正方形面积或几个图形面积和的形式，要根据题目的要求选取一种合适的计算方法。
这节课的最后，教师给学生举出有关勾股定理应用的经典例题，让学生在课堂上先进行思考，再进行讨论，找同学说出自己的做题思路，这样既可检验学生对知识的理解和接受程度，又可活跃课堂气氛，同时可以培养学生独立思考问题的能力，整节课学生都在紧跟教师的思路思考问题，使自己的思维始终保持在一个高度活跃期。
探索勾股定理篇7
［摘
要］ 本文针对上海教育出版社出版的九年义务教育数学八年级第二学期课本，着重讲解了勾股定理的教学设计，通过这一教学设计与反思，强调了教师在教学的过程中要强调学生的主动性，培养学生各方面的能力.
［关键词］ 教学；勾股定理；设计；反思
■ 教材简析
（使用教材：上海教育出版社出版九年义务教育课本数学（试用本）八年级第二学期）
勾股定理是平面几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，在生产、生活实际中用途很大. 它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛应用.
勾股定理的发现、验证和应用蕴涵着丰富的文化价值. 本节课是在学生已具备了直角三角形的有关知识，积累了一定的观察、操作等活动经验，具有一定的说理能力和初步推理能力的基础上学习的. 本节课可通过丰富的拼图实践活动，让学生经历验证勾股定理的过程，感受解决问题的方法的开放性，激发数学探究兴趣，享受数学思维的快乐，对培养学生良好的思维品质起重要作用.
■ 设计理念
现代教学论认为数学课应该加强学生的数学活动，学生是活动的主人. 如果学生能在活动中把概念、定理、性质、公式等，通过自己的努力去发现和创造出来，这就是我们课堂教学中追求的最高境界，也是课程改革的迫切要求. 心理学家皮亚杰曾说过：“一切真理都要让学生自己去获取，由他重新发现，而不是草率地传授给他. ”
可是，长期以来，我们的数学课堂教学过于重视结论，而轻视了过程. 为了应付考试，为了使学生对公式、定理应用达到所谓的“熟能生巧”，教学中不惜花大量的时间采用“题海战术”进行强化. 在数学概念、公式、定理的教学中往往采用的所谓“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用“程式”的解题机器，这样的学生面临新问题时就会束手无策.
数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体. 新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验. 我意识到：在数学教学中，要让“教”和“学”和谐统一，形成感性到理性的认知过程，促进学生的全面发展. 教师的“教”应体现在创设情境、激发兴趣、组织探索、引导发现上，学生的“学”则应体现在操作讨论、探究发现、归纳结论上.
基于以上认识，在设计本节课时，我所考虑的不是简单地告诉学生勾股定理的内容，而是创设一些数学情境，让学生自己去发现定理、证明定理. 从发现定理的过程中让学生体会到：定理并不是凭空产生的，发现定理并不都是高不可攀的事情，通过我们的努力，也可以做一些好似数学家才能完成的事. 在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到了充分发挥，能极大地激发他们的学习兴趣，提高他们提出问题、解决问题的能力，同时培养他们的创新能力，这正是新课程所倡导的教学理念.
■ 教学目标
通过本节课的学习，力求达到：
1. 理解和掌握勾股定理的内容及简单的应用.
2. 通过学生的动手操作及探求勾股定理的发现、证明过程，初步体会用面积法解决几何问题的基本策略，了解从特殊到一般的推理方法及数形结合的数学思想方法，初步培养学生探究问题的能力，增强逻辑思维能力.
3. 通过介绍我国古代学者发现及应用勾股定理的成就，感受祖国文化的悠久，激发学生的民族自豪感和爱国热情.
4. 通过活动讨论，增强合作意识，初步培养探索的精神，并体验探索成功的乐趣.
■ 教学重点、难点
重点：勾股定理的内容及简单的应用.
难点：勾股定理的拼图证明.
■ 教学过程
（一）创设情境？摇 导入新课
【电脑演示】
情境1？摇1995年希腊发行的一张邮票（图1）和icm2002年国际数学家大会会标（图2），并出示问题：为何以这个图案发行邮票？以这个图案作为会标？
■
情境2
学校操场上，呈现升旗仪式场面照片，最后定格在旗杆照片，并出示问题：如何测算出学校操场上旗杆的高？
【设计意图：设疑激趣，明确目标】
新课标强调数学应返璞归真. 在教学过程中，要贯彻“生活即数学，生活即教材”的理念. 从生活中引出问题，从问题中引出课题. 通过创设恰当的情境，培养学生用数学的意识，教会学生观察生活，领悟生活中的数学因素.
问题是思维的出发点，通过有意识地设置问题情境，提出思考要求，能激发学生强烈的好奇心和求知欲.
（二）师生互动？摇 探究新知
【电脑演示】
实验猜想：给出三个具体的直角三角形.？摇用一把尺度量各直角三角形的三边，得到下列数据：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17.？摇？摇
引导学生对数据进行分析，猜想三边关系. 由32+42=52，52+122=132，82+152=172的关系式，学生可能会得出：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.
进一步引导学生：由特殊到一般的推理只是一种猜想，是否正确还须通过证明.
提出问题：对于一般的直角三角形，是否都有a2+b2=c2（其中a，b为直角边，c为斜边）？
【设计意图：探索发现，揭示新知】
从具体的图形入手，通过测量出具体的数据，经过计算、观察，发现结论，进而提出猜想，这种处理方法，一方面，符合学生的认知规律和心理发展规律，另一方面，也符合知识的发生、发展规律，有利于让学生经历知识的形成过程，有利于加深学生对数学学习的体验.
1.？摇证法探究
给出一套拼板（如图3，四个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形） ，请学生从中选出几个，拼成组合图形，要求学生设法利用组合图形的面积来证明上述结论，即证明a2+b2=c2（其中a，b为直角边，c为斜边）.
■
采用小组合作探究的方式，给学生充分的时间进行拼图、思考、交流. 教师巡视，适时介入小组讨论. 当有小组找到解决方法后，请该组派一位同学代表上讲台，展示拼图方法，交流证法. 然后，教师借助电脑进行动态演示. 学生可能会通过以下几种组合图形的面积得到结论.
方法1
如图4，由afe≌deh推出∠afe=∠deh. 又因为∠afe+∠aef = 90°，所以∠deh +∠aef = 90°. 于是可得∠feh = 90°. 同理可得∠fgh =∠ghe =∠efg =90
°，所以s四边形efgh？摇= c2. 而s正方形abcd=s四边形efgh+4saef，即（a+b）2=c2+4×■ab，a2+2ab+b2=c2+2ab，所以a2+b2=c2.
方法2
与方法1的证法类似. 如图5，因为（b－a）2+4×■ab=c2，即b2－2ab+a2+2ab=c2，所以b2+a2=c2. （介绍赵爽弦图及“演段算法”）
■
方法3
如图6，因为■（a+b）（a+b）=2×■ab+■c2，所以a2+2ab+b2=2ab+c2，即a2+b2=c2. （介绍此证法与美国第二十任总统珈菲尔德的证法一致）
■
【设计意图：激活思维，加深体验】
《数学课程标准》指出：“数学教学活动必须向学生提供充分从事数学活动的机会. ”这就是指，学生在教师的引导下参与教学活动，体验、发现、归纳，即在教师的引导下发挥学生的主观能动性，体验数学的再创造过程. 这里设计拼图活动就是基于上述思考.
利用拼图证明勾股定理是一种开放性的探究活动，其起点低，层次多，目前已发现的证法有四百多种，学生易于下手，每个学生都有解决问题的机会，它促进学生智力因素与非智力因素的同步发展，激发学生的创造意识.
2. 定理推出
【板书勾股定理，介绍勾股定理，揭示课题引入时的问题】
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
【设计意图：数学文化，德育渗透】
我国古代的学者，对勾股定理的研究有许多重要成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理（比西方要早500多年），而且使用了许多巧妙的方法证明了它，尤其在勾股定理的应用方面，对其他国家数学的影响很大，这些都是我国人民对人类的重大贡献. 通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成就，有利于激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，有利于培养他们的民族自豪感，并激励学生奋发图强，努力学习. 寓思想教育于学科教学中，这也是新课程所追求的.
3. 简单应用
【电脑演示】
例1 在等腰三角形abc中，ab=ac=13 cm，bc=10 cm（如图7），求abc的面积 .
■
（教师板书解题过程，解题过程略）
例2？摇 有一旗杆，升旗用的绳子沿旗杆放下时，绳子下端有一部分在地面上，将地面上的这部分拉直后，量得绳子的下端点到旗杆底端的距离为0.2米，再将绳子拉直且下端点放在地上，此时量得绳子的下端点到旗杆底端的距离为2.2米. 问旗杆高度是多少？
【设计意图：内化新知，反馈调控】
这一环节是学生巩固知识、形成技能、发展智力的重要阶段. 例1是勾股定理的简单应用，通过例1的学习有利于学生加深对勾股定理的理解与掌握，强化基本技能，落实本节课的教学重点. 例2是一道实际素材背景的应用题，并与课题引入时的“情境2”首尾相顾，前后呼应，形成一个整体. 学生应用所学的知识，很快就能解决“课题引入”时的问题，不仅可以让学生经历勾股定理的应用过程，还可以让学生体验成功的喜悦，增强学习数学的愿望与信心.
（三）自主小结？摇 深化提高
【以学生为主，教师与学生一起进行归纳小结，同时，电脑演示四个“一”】
一个定理……
一次探索……？摇？摇
一个思想……？摇？摇
一份自豪……
【设计意图：回顾整理，总结提升】
小结是对一节课的回顾与整理，也是落实学生主体地位的一个重要环节. 在教师的引导下，可让学生自己进行总结或师生合作，体现教学的民主性. 这样，不仅有利于培养学生的归纳、概括能力，帮助学生理清知识脉络，将所学的知识纳入知识体系，形成良好的认知结构，深化本节课所学的内容，还有利于引导学生反思学习过程，认识自我、增强信心、巩固兴趣，让学生在愉悦的、学有收获的心境下结束本节课的学习.
（四）分层作业？摇 发展个性
必做题：教材p56练习1、2、3；练习册a册第23页 25.4（1）.
选做题：你能否将图8（两个正方形拼成的）剪两刀，拼成一个大正方形，使它的边长正好等于以a，b为直角边的直角三角形的斜边的长度？
■
【设计意图：学以致用，巩固提高】
通过作业，深化新知，可以检验学生掌握知识的情况，发现和弥补“教”与“学”中的遗憾与不足. 作业采取“必做题”与“选做题”的处理，为不同程度的学生提供了更为广阔的探求空间. 一方面，尊重了学生的个体差异，有利于满足学生多样化的学习需求，“让不同的人在数学上得到不同的发展”，充分落实因材施教的原则；另一方面，选做题具有前瞻性，可引导学生自学探究，将学习由课堂延续到课外.
■ 设计说明
1． 本节课教学设计力求以学生发展为本，以探究活动为核心，师生转换角色，营造良好的学习氛围，培养学生的探索精神，充分调动学生的积极性.
2. 学起于思，思起于疑，无疑则无知. 教育家托尔斯泰说过：“成功的教学所需要的不是强制，而是唤起学生强烈的求知欲望，激发学习的兴趣”，因此，新课引入时，充分利用多媒体教学的直观性，创设问题情境，能引发学生的思考和探究热情，能自然导入新课.
3． “平面几何在中学数学教学中的真正价值在于它的训练性，即教育学生探索几何事实的过程远比其获得的几何事实有价值得多. ”本节课从直角三角形三边关系的猜测，面积方法的证明，到勾股定理的应用，始终为学生提供自主、合作探究的平台，始终以激励学生自主探索为主，教师辅以适时的引导. 学生通过动手操作，探索解决问题的多种途径，能激发学习数学的兴趣，培养探索几何事实的能力.
4. 数学蕴藏着丰富的文化内涵. 本节课设计了数学家的介绍，力求挖掘数学的文化宝藏，学生在生动的爱国主义教育中提高了文化修养.？摇
5. 勾股定理的应用方面，本节课设计了两个例题. 一个是课本中的一个练习，让学生掌握简单的应用；另一个问题来源于学生熟悉的学校操场，是学生身边的问题，学习将实际问题转化为数学问题. 安排这两个例题可以有效地帮助学生巩固知识，培养学生学数学、爱数学、用数学的意识.
6.？摇教学流程：
■
■ 教学思考
1. 数学教学过程是教师引导学生进行数学活动的过程
《数学课程标准》特别指出：“数学教学是数学活动的教学. 学生要在教师的指导下，积极主动地掌握数学知识、技能，发展能力，形成积极主动的学习态度，同时使身心获得健康. ”数学教学过程是数学活动的教学，主要体现在：首先，数学活动是学生通过实践、思考、探索、交流、掌握和运用数学知识的活动. 简单地说，整个教学过程应该充分发挥学生的动手、动脑进行数学思维. 为了使学生的数学活动能够顺利进行，教师要创设学习环境，为
学生提供进行数学活动的机会，并在学习活动过程中给予适当地指导. 其次，数学活动是学生在教师引导下自我建构数学知识的活动，即在数学活动过程中，学生与教材、学生与教师之间产生交互作用，自我建构数学知识结构，形成技能和能力，发展情感态度和思维品质. 教师要意识到学生是数学知识主动探索的“建构者”，决不是被动的接受者. 教师教学工作的目的就是引导学生进行有效地建构数学知识的活动.
2. 数学知识的“过程教学”与“结论教学”相统一
《数学课程标准》把对知识的“过程教学”作为课程目标的重要组成部分，从而突出了数学知识探究过程教学的重要地位. 传统的数学教学只注重数学知识结论的教学，学生学到的是一些现成的数学概念、公式、法则，及一些枯燥的数学符号，而对这些概念、公式、法则等的形成过程却很少过问. 这种教学把数学知识形成的生动过程变成了呆板的知识记忆，一切都是现成的，它排斥了学生的思考和个性，这实际上是对学生智慧和思维个性的扼杀、压制. 当然，对数学知识结论的学习也是必要的，因为这些数学知识结论（概念、原理体系）表征了数学探索的结果，是学生进行数学思考以及学习更高一级知识的基础. 但数学教学更为关键的是使学生在掌握知识结论的过程中学会数学思维和数学思想，会用数学思想解决问题. 因而，数学课堂教学既要求注重知识结论，又要求重视知识的形成过程. 根据数学的特点，在教学中注重知识探究过程的教学有着很重要的教育价值. 不仅仅是因为数学概念、原理、公式等体系依赖于探究过程，更主要的是数学知识的探究过程体现了数学多样化的思维和认识方式，并且包含了一系列的质疑、判断、选择、比较、分析、综合、概括等多种认知活动. 学生正是在知识的学习过程中培养了运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，进而解决日常生活问题的能力，增强了运用数学的意识，了解了数学的价值，增强了学好数学的信心，也通过探索知识过程的经历和获得知识的体验，进一步培养了学生的数学解决能力和创新精神. 所以，在教学活动中应尽可能地为学生创造自主探索的机会，使学生在自主探索的过程中真正理解一个数学问题是怎样提出来的，一个数学概念是如何形成的，一个结论是怎样探索和猜测到的以及是如何应用的.
3. 数学教学要从学生出发，以学生为本，关注学生创新思维的发展和学习价值观的形成
教师的教学是为了学生的发展，学生才是教师的“本”. 特别是数学学习，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性、广泛的应用性，每个学生在数学学习过程中都会表现出各自特有的学习方式和理解方式，那么教师的教学就不仅仅是按照课本进行知识点的讲解、习题的操练，更多的应该是从学生实际出发，注意其在数学学习中正确数学观的确立与数学能力的形成. 具体的教学设计方式可以是就同一问题情境提出不同层次的问题或开放性问题，以便使不同的学生都能得到不同的发展；课堂例题、习题以及课后练习的设计编排要突出层次性，可以设置巩固性、拓展性、探索性等多种层次，在全体学生获得必要发展的前提下，让不同的学生获得不同的体验与发展.
培养学生的创新精神是新课程改革的核心目标之一. 创新的心理基础是创新思维. 关注学生的创新思维已成为全世界课程改革的特点，教师要关注学生在学习过程中有价值的思考，鼓励学生创新. 数学学习的过程是前人发现的一个“再发现”过程，学生在“再发现”的过程中被指引的是一条优化的道路，然而发现过程中必然会出现新的元素，所以教师在教学过程中不能单纯地强调学生在“再发现”中所达到的结果，还要关注和肯定学生在各自的“发现”中所展现的创新思维.
探索勾股定理篇8
关键词：认知结构；情境设计；创新意识
中图分类号：G632文献标识码：B文章编号：1002-7661（2013）10-132-01
说到数学，人们往往会把它和“枯燥”一词联系在一起，不光是学生，很多成人也是这样认为的。有人说“兴趣是最好的老师。”所以要想让学生学好数学，激发他们对数学的学习兴趣是首当其冲的任务。在教学中我发现，课堂前五分钟时间把握得好不好直接关系到一堂课的教学效果。所以这就对课堂情境的设计要求比较高，而数学教学应根据学生的数学基础和思维能力，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性的学习。新课程标准认为，数学教学是对数学思维过程的教学，学生学习数学的过程是构建数学模型的过程。
问题是数学的核心，是创造思维的源泉。在教学中，我们应有意识地创设发现问题的情境，这是发展思维的关键一环，也是培养学生创新能力的最好途径。
一、创设情境，培养学生的学习兴趣。
学生有了学习兴趣，他们的思维就会保持在积极的探索状态之中，有了兴趣他们会把学习作为自己内心的需要，而不是把学习当作一种负担。在教学中，我们应有意识地创设问题情境，激发学生求知的欲望。
1、利用数学小故事，吸引学生的注意力，激发他们对数学的学习兴趣
例如，在讲“鸡兔同笼”问题时，引入古人解决这道题的方法，“金鸡独立，兔子站起”，吸引学生的好奇心，体会数学的乐趣。
2、利用数学小实验，制作一些简易的几何模型，可以激发学生的学习兴趣，提高学生的动手操作能力，引发学生的好奇心和求知的欲望，并培养学生的思维能力和空间观念。
例如，在讲三角形内角和定理时，可以这样设置问题：
①拿出课前剪好的aBC纸片，剪下∠a、∠B和∠C拼在一起，观察它们组成什么角？
②由此你能猜出什么？
③在拼图中，你受到哪些启发？（指如何添加辅助线来证明）
这样创设情境，使学生认识到∠a+∠B+∠C=180o，从而对三角形内角和定理有一个感性认识，同时通过拼角找出定理的证明方法，学生在动脑、动手、动眼、动口的实践中，培养了观察能力，提高了学习兴趣。
3、利用新旧知识的冲突，激发学生的探索欲望。例如，在“正弦和余弦”概念教学时，设计如下两个问题：
①在RtaBC中，已知斜边和一直角边，怎样求另一直角边？
②在RtaBC中，已知∠a和斜边aB，怎样求∠a的对边BC？
由问题①学生自然会想到勾股定理，而问题②利用勾股定理则无法解决，从而产生认知上的冲突──怎样解决这类问题呢？学生的探求新知识的欲望便会油然而生，产生学习兴趣。
4、利用学生在生活中熟知的，常见的实际问题来激发学生的探索欲望。例如在讲授“数据的波动”时，设计如下例子：
我们为了从甲乙两名运动员中选取一人参加跳高比赛，两人在相同条件下各跳8次，成绩如下表：
甲：1.701.651.681.691.721.731.681.67
乙：1.601.731.721.611.621.711.701.75
怎样比较两人的成绩高低，选谁参加比赛？我可以经过科学的数据处理，选出一名运动员参加比赛，取得了较好的成绩。大家猜想一下我是怎样计算的呢？
学生此时思维活跃起来，对探求新知识兴趣也提高了，师生很顺利地完成此节内容，同时也加深了学生对数学知识来源于生活又应用于生活的认识。
二、创设情境，鼓励学生主动参与，在亲历数学建构过程中培养学生的创新意识。
记得有人说过“知识的获取是一个主动的过程，学习者不应该是信息的被动接受者，而应是知识获取的主动参与者。”在课堂教学中创造条件，创设情境，让学生自己去探索、去发现，亲历数学构建过程，掌握认识事物，发现真理的方式方法，从而培养学生的创新意识。
在讲勾股数时，可以出示了这样几组勾股数，让学生讨论这些勾股数的特征：
3，4，5；5，12，13；
7，24，25；9，40，41……
探索勾股定理篇9
【关键词】高中数学类比推理课例分析
【中图分类号】G【文献标识码】a
【文章编号】0450-9889（2016）11B-0097-02
“先行组织者”是美国教育心理学家奥苏贝尔在1960年提出的一个教育心理学的重要概念，“先行组织者”就是为同化当前知识与原有的认知结构而先于学习任务本身呈现的一种引导性的材料，它在教学中起到相当重要的桥梁作用。2003年教育部制订的《普通高中数学课程标准（实验）》明确指出，倡导积极主动、勇于探究的学习方式。将“先行组织者”教学策略应用于数学教学中，适合学生认知结构的特点，有助于教师设计教学内容、安排教学顺序，有助于学生的自主学习、记忆保持、迁移运用。这一种教学策略，能够提高学生分析问题的能力和解决问题的能力，从而形成高效课堂。本课例是将“先行组织者”教学策略应用于n堂教学的实践，现将具体的教学过程呈现如下。
【学习目标】
1.了解类比推理的数学方法含义，以及这种思维方法的过程和特点；
2.运用类比方法进行简单推理，做出数学猜想；
3.培养学生的数学归纳能力，提高学生的创新探索意识；
4.培养学生严谨、创新的数学思维习惯和锲而不舍的钻研精神。
【重点难点】
重点：了解类比推理的含义以及数学中类比思维的过程、特点，能利用类比进行简单的数学推理。
难点：运用“观察―类比―猜想―证明”探求数学结论。
【课堂片段实录】
任务1：问题导思
阅读教材（普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1-2），p25―27，在理解的基础上，完成下列知识点的填空。
1.鲁班由带齿的草发明锯；人们从蜻蜓的飞行过程发现直升飞机的飞行原理，仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇，在教学中由指数函数性质探索发现对数函数的性质。以上都是类比思维，即类比推理。
由两类对象具有某些________和其中一类对象的某些________，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）。简言之，类比推理是________的推理。
2.初中在平面几何中学习的勾股定理：如图1所示，在RtaBC中，a，b，c为角a，B，C所对的边，则用勾股定理表示为________。
任务2：合作探究
例1观察下列等式：
大家观察这组式子，他们有什么不同之处？从中可以发现什么规律？由此，你能归纳出RtaBC中三个内角的一个性质吗？这个性质是不是与勾股定理有几分相似呢？你进而能证明所得到的结论吗？
【设计意图】以学生熟悉的两个式子为“先行组织者”，引入课题，通过探索和发现，激发学生学习的兴趣。创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学情境，让学生带着问题通过自主学习、课堂讨论、相互合作等方式，使学生在解决问题的过程中不知不觉地实现知识的传递、迁移和融合。
学生小组讨论、展示。
a组的观点是：由诱导公式得，从而得到在RtaBC中有；
B组的观点是：因为，进而得到在RtaBC中有。
教师：上面得到的结论与勾股定理在形式上是否相似？你能运用勾股定理来证明这个结论吗？
【设计意图】从归纳推理过渡到类比推理。
进入小组讨论。
C组展示做法：由平面内直角三角形的勾股定理：，得，从而得到。
教师小结：大家能从勾股定理出发，用归纳、类比的方法找到相关的性质。其实与勾股定理类似的还有许多数学性质，例如设a边上的高为ha，b边上的高为hb，c边上的高为hc，是否成立？
小组讨论后，用特例说明，令a=3，b=4，c=5，则ha=4，hb=3，，故结论明显不成立。
D小组认为：通过实验，等式可能成立，大家可以尝试利用勾股定理作出说明。
于是，又进入讨论环节，最终给出了这个性质的证明。
【设计意图】教师将“先行组织者”设计为勾股定理，设问采用渐进分化策略，降低思维难度，让学生体会归纳推理的一般步骤，进而让学生知道归纳推理能够起到提供研究方向的作用，给出探索的路径。学生积极主动地参与课堂活动（例如小组讨论的形式），体验归纳推理获得数学结论的过程，了解归纳推理的含义，明确归纳推理的一般步骤。
【平行训练】
（1）如图2左图所示，设长方形的长和宽分别为x和y，则其对角线l的长为：l=________。
（2）如图2右图所示，设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则其体对角线l的长为：l=________。
【设计意图】基础训练，检查教学效果。练习题由浅入深，螺旋上升，逐步提高学生的思维能力。
通过讨论得到答案（1）；（2）。
由平行练习得到启发，我们可以将勾股定理从平面几何图形拓展到立体几何图形。
例2（普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1-2，p26例4改编）如图3，在正方形中用直线截得一个RtaBC，同样在正方体中用平面截得一个三个侧面两两垂直的四面体。类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想。
【设计意图】让学生通过观察、感知、分析和归纳，完成由易到难、由浅入深、由已知到未知、由特殊到一般的思维飞跃。思维提示：直角三角形中，∠C=90°，3条边的长度为a，b，c，其中2条直角边a，b和1条斜边c在3个侧面两两垂直的四面体中，∠aDB=∠aDC=∠BDC=90°，4个面的面积，，和，其中3个“直角面”，，和1个“斜面”拓展：三角形到四面体的类比。
e小组用比的思想方法得到猜想：
教师：这个结论正确吗？请同学们证明。
通过学习讨论，学生展示了这个性质的证明方法。
【课后评析】
在《普通高中数学课程标准》中，课程基本理念倡导自主学习、探索学习，指出“高中数学课程应返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展背景、过程和本质，使学生理解数学概念产生的背景和逐步形成的过程，体会其中的思想，体验寻找真理和发展真理的方法”。数学既是演绎的科学，也是归纳的科学，因此，数学已形成一整套结论的体系，而且结论的发现过程也成为我们教学的主要内容。归纳推理是“推理与证明”一章中的重要组成部分，具有探索、发现和猜测部分数学结论的作用，有利于学生创新意识的培养，在实际生活中用途很大。类比推理这节课是以新课标为依据，结合学校科研课题“在新课改背景下高中数学教学中先行组织者策略的实践与探索”进行课堂教学设计。
在中学数学教学过程中，我们常常会遇到似曾相识的问题，如果把似曾相识的问题进行对比和比较，或许会发现许多意外的结果和方法。这种“把类似进行比较、联想，由一个数学对象已知的特殊性质迁移到另一个数学对象上去，从而获得另一个数学对象的性质”的思维方法就是类比法。本节课通过归纳的方法引出问题，用类比的方法去发现新的数学性质，再用演绎的方法去证明。所提供的问题情境，需要探索性思维和整体性思维。通过学生的观察和类比，寻找论证方法，给学生提供施展才华、发展智慧的机会。
教学设计是以学生认知结构中“原有观念”――勾股定理作为“先行组织者”，用类比的方法去同化和迁移，学习类似的新的数学知识。例如，在同一平面内的类比，通过勾股定理的形式“”，类比得到内角的关系“”以及三边上高的关系“”。又如，从平面到空间的类比，利用长方形的对角线的长“”，推广到长方体对角线的长“”；由直角三角形三边的性质“”，拓展到四面体四个面的性质“”。每一次类比或推广，都是通过学生认知结构中已有的有关观念去同化和发现新知。
探索勾股定理篇10
一、利用情境，激发学生的学习兴趣
兴趣是最好的老师，学生有了学习兴趣，他们的思维就会保持在积极的探索状态之中，有了兴趣他们就把学习作为自己内心的需要，而不是把学习当做一种负担。教学中我们应做到：
（1）利用新旧知识的冲突，激发学生的探索欲望。
例如，在“正弦和余弦”概念教学时，设计如下两个问题：
①RtaBC中，已知斜边和一直角边，怎样求另一直角边？
②在RtaBC中，已知∠a和斜边aB，怎样求∠a的对边BC？
问题①学生自然会想到勾股定理，而问题；②利用勾股定理则无法解决，从而产生认知上的冲突──怎样解决这类问题呢？学生的探求新知识的欲望便会油然而生，产生学习兴趣。
（2）利用生活中熟知的常见的实际问题激发学生的探索欲望。
如在教“统计初步”时，设计以下例子：
孙老师为了从甲乙两名运动员中选取一人参加比赛，两人在相同条件下各跳10次，成绩如下表：
甲：5．75．85．65．85．65．55．96．05．75．4
乙：5．95．55．75．85．75．65．85．65．75．7
怎样比较两人的成绩高低，选谁参加比赛？孙老师经过科学的数据处理，选出一名运动员参加比赛，取得了较好的成绩。他是怎样计算的呢？
学生此时思维活跃起来，对探求新知识兴趣盎然，师生很顺利地完成此节内容，同时也加深了学生对数学知识来源于生活又应用于生活的认识。
二、利用情境，鼓励学生主动参与
美国教育家布鲁纳认为：“知识的获取是一个主动的过程，学习者不应该是信息的被动接受者，而应是知识获取的主动参与者。”教师应在课堂教学中创造条件，创设情境，让学生自己去探索、去发现，亲历数学构建过程，掌握认识事物，发现真理的方式方法，从而培养学生的创新意识。
例如教师可以出示以下几组勾股数，请同学们讨论这些勾股数的特征：
3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41……
开始学生们只注意到：每组勾股数的前一个数都是奇数，后两个数是一奇一偶，之后陷入僵局。教师启发道：一奇一偶之间有什么联系？学生们发现是连续数。忽然一名学生发现后两数之和恰是一个完全平方数，稍一顿，即抬头，急切地说：“这两个数的和恰是一个完全平方数，这个完全平方数就是前一个数的平方……”这样，在思考，观察中发现规律，灵感一触即发。学生们找到了勾股数的特征：即大于1的奇数的平方分成两个连续的自然数，此奇数与这两个连续自然数成勾股数。
三、利用情境，引导学生探究数学规律，解决数学问题
教学中，我打破常规，对例题进行精心的设计，大胆创设问题情景，引导学生探究数学规律，解决数学问题。
在“请你来帮忙”的数学练习中：花园工人想知道矩形花园aBCD的两条道路aC、BD的长度，两路aC、BD相交于点o，可他测量出了ao的长为20米正要接着量，他正在读八年级的儿子小明回来了，对他说：“不用量了，两条路的长都是40米。”他百思不得其解，不知道儿子说的对不对，你能帮他判断吗？说说你判断的理由。