数学解决问题论文篇1
一、对「问题的理解
对「问题的理解与关于甚么是「问题解决的分析直接相关，讨论和研究「问题解决的一个主要困难就在于对甚么是真正的「问题缺少明晰的一致意见。
当代美国著名数学家哈尔莫斯(p.R.Halmos)曾说：「问题是数学的心脏。美籍匈牙利著名数学教育家波利亚(G.polya)在《数学的发现》一书中曾给出问题明确含义，并从数学角度对问题作了分类。他指出，所谓「问题就是意味着要去寻找适当的行动，以达到一个可见而不立即可及的目标。《牛顿大词典》对「问题的解释是：指那些并非可以立即求解或较困难的问题(question)，那种需要探索、思考和讨论的问题，那种需要积极思维活动的问题。
在1988年的第六屇国际数学教育大会上，「问题解决、模型化及应用课题组提交的课题报告中，对「问题给出了更为明确而富有启发意义的界定，指出一个问题是对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的待解问题情境。该课题组主席奈斯(m.niss)还进一步把「数学问题解决中的「问题具体分为两类：一类是非常规的数学问题；另一类是数学应用问题。这种界定现已经逐渐为人们所接受。
我国的张奠宙、刘鸿坤教授在他们的《数学教育学》里的"数学教育中的问题解决"中，对甚么是问题及问题与习题的区别作了很好的探讨，根据他们的思想观点，我们可对「问题作以下几个方面的理解和认识。
*问题是一种情境状态。这种状态会与学生已有的认知结构之间产生内部矛盾冲突，在当前状态下还没有易于理解的、没有完全确定的解答方法或法则。换句话说，所谓有问题的状态，即这个人面临着他们不认识的东西，对于这种东西又不能仅仅应用某种典范的解法去解答，因为一个问题一旦可以使使用以前的算法轻易地解答出来，那么它就不是一个问题了。
*问题解决中的「问题，并不包括常规数学问题，而是指非常规数学问题和数学的应用问题。这里的常规数学问题，就是指课本中既已唯一确定的方法或可以遵循的一般规则、原理，而解法程序和每一步骤也都是完全确定的数学问题。
*问题是相对的。问题因人因时而宜，对于一个人可能是问题，而对于另一个人只不过是习题或练习，而对于第三个人，却可能是所然无味了。另一方面，随着人们的数学知识的增长、能力的提高，原先是问题的东西，现在却可能变成常规的问题，或者说已经构不成问题了。例如，学生在学习因式分解之前，对于「求方程﹕x3-6x2+5x=0的解，构成问题，而在学习了因式分解之后，已熟练地掌握了abc=0;则a=0或b=0或c=0，那么，此时前述求方程的根已对他不构成问题了，而当前状态下对于「求方程x3-6x2-4x=6的根则构成一个问题。
*问题情境状态下，要对学生本人构成问题，必须满足三个条件:(1)可接受性。指学生能够接受这个问题，还可表现出学生对该问题的兴趣。(2)障碍性。即学生当时很难看出问题的解法、程序和答案，表现出对问题的反应和处理的习惯模式的失败。(3)探索性。该问题又能促使学生深入地研究和进一步的思考，展开各种探究活动，寻求新的解题途径，探求新的处理方法。
*问题解决中的「问题与「习题或「练习是有区别的，其重要区别在于:(1)性质不同。中学数学课本中的「习题或者「练习属于「常规问题，教师在课堂中已经提供了典范解法，而学生只不过是这种典范解法的翻版应用，一般不需要学生较高的思考。因此，实际上学生只不过是在学习一种算法，或一种技术，一种应用于同一类「问题的技术，一种只要避免了无意识的错误就能保证成功的技术。(2)服务的目的不同。尽管有些困难的习题对大部份学生实际上也可能是真正的问题，但数学课本中的习题是为日常训练技巧等设计的，而真正的问题则适合于学习发现和探索的技巧，适合于进行数学原始发现以及学习如何思考。因此，练习技巧与解真正问题所要达到的学习目的不大相同，也正因为它们各自服务于一种目的，所以中学教学课本中的「习题、「练习不应该从课本中被除去，而应该被保留。然而，解决了这些常规问题后，并不意味着已经掌握了「问题解决。
二、一个好问题的「标准
以问题解决作为数学教育的中心事实上集中体现了数学观和数学思想的重要变化，也即意味着数学教育的一个根本性的变革，正是在这样的意义上，著名数学教育家伦伯格指出：解决非单纯练习题式的问题正是美国数学教育改革的一个中心论题。
那么，从数学教育的角度看，究竟甚么是一个"好"的问题，它的标准该是甚么?一般来说，一个好问题标准应体现在以下三个方面：
其一、一个好问题应该具有较强的探究性。
这就是说，好问题能启迪思维，激发和调动探究意识，展现思维过程。如同波利亚所指出的「我们这里所指的问题，不仅是寻常的，它们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神。这里的「探究性(或创造精神)的要求应当是与学生实际水平相适应的，既然我们的数学教育是面向大多数学生的，因此，对于大多数学生而言，具有探索性或创造性的问题，正是数学上「普遍的高标准-这又并非是「高不可及的，而是可通过努力得到解决的。从这个意义上来说，我们这里说的好问题并不是指问题应有较高的难度，这一点与现在数学奥林匹克竞赛中所选用的大部份试题是有区别的。在竞赛中，「问题解决在很大程度上所发挥的只是一种「筛子的作用，这是与以「问题解决作为数学教育的中心环节和根本目标有区分的。
其二、一个好问题，应该具有一定的启发性和可发展空间。
一个好问题的启发性不仅指问题的解答中包含着重要的数学原理，对于这些问题或者能启发学生寻找应该能够识别的模式，或者通过基本技巧的某种运用很快地得到解决。同时，「问题解决还能够促进学生对于数学基本知识和技能的掌握，有利于学生掌握有关的数学知识和思想方法，这就与所谓的「偏题、「怪题划清了界线。
一个好问题的可发展空间是说问题并不一定在找到解答时就会结束，所寻求的解答可能暗示着对原问题的各部份作种种变化，由此可以引出新的问题和进一步的结论。问题的发展性可以把问题延伸、拓广、扩充到一般情形或其他特殊情形，它将给学生一个充分自由思考、充分展现自己思维的空间。
其三、一个好问题应该具有一定的「开放性。
好问题的「开放性，首先表现在问题来源的「开放。问题应具有一定的现实意义，与现实社会、生活实际有着直接关系，这种对社会、生活的「开放，能够使学生体现出数学的价值和开展「问题解决的意义。同时，问题的「开放性，还包括问题具有多种不同的解法，或者多种可能的解答，打破「每一问题都有唯一的标准解答和「问题中所给的信息都有用的传统观念，这对于学生的思想解放和创新能力的发挥具有极为重要的意义。
三、「问题解决见解种种
从国际上看，对「问题解决长期以来有着不同的理解，因而赋予「问题解决以多种含义，总括起来有以下6种：
1、把「问题解决作为一种教学目的。
例如美国的贝格(Begle)教授认为：「教授数学的真正理由是因为数学有着广泛的应用，教授数学要有利于解决各种问题，「学习怎样解决问题是学习数学的目的。e.a.Silver教授也认为本世纪80年代以来，世界上几乎所有的国家都把提高学生的问题解决的能力作为数学教学的主要目的之一。当「问题解决被认为是数学教学的一个目的时，它就独立于特殊的问题，独立于一般过程和方法以及数学的具体内容，此时，这种观点将影响到数学课程的设计和确定，并对课堂教学实践有重要的指导作用。
2、把「问题解决作为一个数学基本技能。
例如美国教育咨询委员会(naCome)认为「问题解决是一种数学基本技能，他们对如何定义和评价这项技能进行了许多探索和研究。当「问题解决被视为一个基本技能时，它远非一个单一的技巧，而是若干个技巧的一个整体，需要人们从具体内容、问题的形式、构造数学模型、设计求解模列的方法等等综合考虑。
3、把「问题解决作为一种教学形式。
例如英国的柯可可劳夫特(Cockcroft)等人认为，应当在教学形式中增加讨论、研究问题解决和探索等形式，他还指出在英国，教师们还远远没有把「问题解决的活动形式作为教学的类型。
4、把「问题解决作为一种过程。
例如《21世纪的数学纲要》中提出「问题解决是学生应用以前获得的知识投入到新或不熟悉的情境中的一个过程。美国的雷布朗斯认为：「个体已经形成的有关过程的认识结构被用来处理个体所面临的问题?此种解释，可以使一个人使用原先所掌握的知识、技巧以及对问题的理解来适应一种不熟悉状况所需要的这样一种手段，它着重考虑学生用以解决问题的方法、策略和猜想。
5、把「问题解决作为法则。
例如在《国际教育辞典》中指出，「问题解决的特性是用新颖的方法组合两个或更多的法则去解决一个问题。
6、把「问题解决作为能力。
例如1982年英国的《Cockcroftreport》认为那种把数学用之于各种情况的能力，称之为「问题解决。
综合以上各种观点，虽然对「问题解决的描述不同，形式不一，但是，它们所强调的有着共同的东西，即「问题解决不应该仅仅理解为一种具体教学形式或技能，它应贯穿在整个教学教育之中。「问题解决的教学目的是很明确的，那就是要帮助学生提高解决实际问题能力，而且「问题解决的过程是一个创造性的活动，因而是数学教学中最重要的一种活动?以下是从文献中对「问题解决的六个不同的概念：
(1)解决教科书中标题文字题，有也叫做练习题；
(2)解决非常规的问题；
(3)逻辑问题和「游戏；
(4)构造性问题；
(5)计算机模拟题；
(6)「现实生活情境题。
在「问题解决中，相当一部份是实际生活中例子。从构造数学模型、设计求解模型的方法，再到检验与回顾等整个过程要由学生去发现、去设计、去创新、去完成，这是「问题解决与创造性思维密切联系之所在。数学教师应创造更有利于问题解决的条件，在为所有年级编制出好的问题并传授解决问题的技能、技巧的同时，尽力为学生的创造性思维提供良好的课堂环境与机会、乃至服务。
四、数学问题解决的心理分析
1、从学习心理学看「问题解决
从学习心理学角度来看，问题解决一般理解为一种认知操作过程或心理活动过程。所谓「问题解决指的是一系列有目的指向认知操作过程，是以思考为内涵、以问题为目标定向的心理活动过程。具体来说，问题解决是指人们面临新的问题情境、新课题，发现它与主客观需要的矛盾而自己缺少现成对策时，所引起的寻求处理问题办法的一种心理活动过程。问题解决是一种带有创造性的高级心理活动，其核心是思考与探索。认知心理学家认为，问题解决有两种基本类型：一是需要产生新的程序的问题解决，属于创造性问题解决；一是运用已知或现成程序的问题解决，是常规性问题解决。数学中的问题解决一般属于创造性问题解决，不仅需要构建适当的程序达到问题的目标，而且更侧重于探索达到目标的过程。
问题解决有两种形式的探索途径：试误式和顿悟式。试误式是对头脑中出现的解决问题的各种途径进行尝试筛选，直至发现问题解决的合理途径。顿悟式是在长期不懈地思考而又不得其解时，受某种情境或因素的启发，突然发现解决的方法和途径或方式。对中学生而言，这两种探形式都是问题解决不可缺少策略。
2、数学问题解决心理过程
现代学习心理学探究表明，问题分为三种状态，即初始状态、中间状态和目的状态。问题解决就是从问题的初始状态开始，寻求适当的途径和方法达到目的状态的过程。因此，问题解决实质上是运用已有的知识经验，通过思考探索新情境中问题结果和达到问题的目的状态的过程。
以数学对象和数学课题为研究客体的问题解决叫做数学问题解决。一般来说，数学问题解决是在一定的问题情境中开始。所谓问题情境，是指问题的刺激模式，即问题是以甚么样的形态、方式组成和出现的，其内涵包括三个方面：第一、个体试图达到某一目标；第二、个体与目标之间存在一定的距离，它将引起学生内部的认知矛盾冲突；第三、能激起个体积极心理状态，即产生思考、探索和达到目标的心向，从而刺激学生积极主动的思维活动。因此，数学问题解决是从问题情境开始，运用已有的知识经验，克服认知矛盾冲突，积极主动地寻求和达到问题结果的过程。著名数学教育家波利亚在《怎样解题》一书中指出：「数学问题解决过程必须经过下列四个步骤，即理解问题、明确任务；拟定求解计划；实现求解计划；检验和回顾。根据上述分析，数学问题解决过程可用框图示如下：以上关于问题解决的过程讨论，数学问题解决在一定的问题情境中开始，要求教师根据问题的性质、学生的认识规律和学生所学知识的内部联系，创造一种教学中问题情境，以引起学生内部的认知矛盾冲突，激发起学生积极、主动的思维活动，再经过教师启发和帮助，通过学生主动地分析、探索并提出解决问题方法、检验这种方法等思维活动，从而达到掌握知识、发展能力的教学目的。
主要参考文献
(1)张奠宙等:《教学教育学》，江西教育出版社，1991年
(2)李铭心:《数学教育学》，青岛海洋大学出版社，1994年
数学解决问题论文篇2
关键词：《解决问题的策略——一一列举》教学设计
苏教版小学数学第九册p63～64例1、例2及练一练。
2、教材结构、地位及作用：
本课教学用“一一列举”的策略解决一些简单的实际问题。这部分内容是在学生已经学习过用列表和画图的策略解决问题的基础上进行教学的。因此本部分内容可分为两层来安排教学。第一层：认识列举法。第二层：学会列举。即：例1作为本单元教学的起始，让学生初步体会按一定顺序列举是解决问题的一种有效方法。然后通过例2的教学，进一步突出用“一一列举”的策略解决问题时需要不重复、不遗漏地进行思考。最后让学生利用学到的知识独立解决问题，帮助他们巩固认识、加深体会。通过这部分内容的学习，一方面可以使学生增强分析问题的条理性和严密性，另一方面可以使学生增强根据需要解决的问题的特点灵活选用策略的意识，提高分析问题、解决问题的能力。
二、学情分析
本节课的教学对象是五年级学生。在知识储备上，在学习本单元内容以前，学生已经学习了用画图、列表等策略解决简单的实际问题，并在学习和运用这些策略的过程中，感受了策略对于解决问题的价值，逐步形成了一定的策略意识。在思维方式上，五年级学生已经具备了一定的整理信息、分析问题和解决问题的思想方法与经验，具有一定的抽象逻辑思维能力小学数学论文，但抽象思维一般都还处于无序状态，通过学习，使学生的无序思维有序化、数学化、规范化。
三、设计理念
1、贴近生活，激发兴趣。《数学课程标准》指出：“数学学习，要紧密地联系学生的实际和生活环境，从学生的经验和已有的知识出发。”对于小学生而言，与他们直接相关的、发生在他们身边的、可以直接触摸到的或者间接看见、听说的事物，是他们最感兴趣的。设计中，我在不改变教材的设计意图的同时，对教材进行适当的加工，真正把教材与学生的生活实际和学生的生活需求联系起来，有效地增强学生对数学的兴趣。
2、自主参与，亲历过程。美国著名心理学家布鲁纳说：“学习者不应该是信息的被动接受者，而应是知识获取过程的主动参与者。”数学知识只有通过学生亲身的主动参与、主动探索，才能转化为学生自己的知识。数学课程标准中强调学生亲历知识的形成过程，把“动手操作、自主探究、合作交流”作为学生学习的主要方式。本节课教学设计，我力求“以学生自主发展为本”，关注学生学习结果，更关注他们的学习过程，关注他们的学习，更关注他们的情感体验。
3、尊重差异，分层施教。“由于学生所处的文化坏境、家庭背景和自身的思维方式的不同，学生的数学活动应当是一个生动活泼的、主动的、富有个性的过程。”本节课的设计，我对学生的学情进行了大胆的预设，根据预设的情况，灵活选择了不同的教学策略，努力让不同层次的学生，都有参与的机会，发展他们的个性小学数学论文，使“不同的人在数学上有不同的发展”。
四、目标预设
根据教材内容、学生的年龄特点和认知规律，以及新课标的要求，我预设了以下几个方面的教学目标：
知识与技能：使学生经历用“一一列举”的策略解决简单实际问题的过程，能通过不遗漏、不重复的列举找到符合要求的所有答案。
过程与方法：使学生在对解决简单实际问题过程的反思和交流中，感受“一一列举”策略的特点和价值，进一步发展思维的条理性和严密性。
情感、态度与价值观：使学生进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，并获得解决问题的成功经验，提高学好数学的信心。
基于以上教学目标，我拟定本节课的教学重难点是：
教学重点：
感受“一一列举”的特点和价值，能用“一一列举”的策略解决实际问题。
教学难点：
能有条理地一一列举，发展思维的条理性和严密性。
五、教、学具准备：
多媒体课件、小棒、表格。
六、教学流程及设计意图：
设计思路：本节课的教学力求紧密联系学生的生活经验，让学生充分参与知识的探索过程，引导学生充分体验策略的价值，促使学生富有个性地学习。设计思路是：创设情境，感知策略——合作探究，体验策略——比较反思，感悟策略——运用拓展，形成策略——总结反思，内化策略。
（一）创设情境，感知策略
1、问题引入：用1、2、3这几个数字可以组成多少个不同的三位数？
2、揭示课题：
师：刚才同学们把组成的三位数按照一定的顺序一个不漏地列举出来，这在数学上叫一一列举。(板书：一一列举)一一列举也是我们解决数学问题常用的一种策略。
【设计意图：导学的艺术在于唤醒。学生虽然是第一次正式学习用一一列举的策略解决问题，但在他们的知识经验中已模糊地经历过类似的方法，只是还没有建立起一种完整的数学模型。所以在课的引入部分，创设用不同数字组成三位数的问题情境唤醒了他们头脑里已有的知识经验，为下面的探究过程做好心理准备和认知铺垫。】
（二）合作探究，体验策略
第一层：教学例1（简单列举）
1、情景创设，呈现问题。
出示情境图，王大叔：“我用18根1米长的栅栏围成一个长方形花圃。”
提问：从这句话中你获得了哪些数学信息？
引导学生明确：花圃是长方形的小学数学论文，周长是18米。
呈现问题：有多少种不同的围法？
【设计意图：将教材中的“围羊圈”改成“围花圃”更贴近学生的生活实际，让学生感受到数学就在身边，体验学习数学的价值。】
2、动手操作，交流围法。
提出要求：周长是18米的长方形花圃可以怎样围呢？请同学们用自己喜欢的方法试一试。（提示：可以围一围、画一画、想一想、算一算。）
学生动手操作，教师巡视，并与生交流。
提问：你是怎样围的？围成的长方形花圃的长和宽各是多少？
学生汇报，课件相机出示围成的4种不同的长方形。
【设计意图：“教学有法，教无定法，贵在得法。”通过学生的自主操作，一方面使学生明确围成的长方形的周长与它的长和宽的关系，另一方面也使学生实实在在地感受到：要找出所有不同的围法，需要有条理地一一列举。】
3、填表列举，解决问题。
谈话：长方形的周长是18米，说明长与宽的和是多少？（9米）
师：你能把这些围法一个不漏地列举出来并填写在表中吗？
长方形的长（米）
长方形的宽（米）
数学解决问题论文篇3
1．1心理学中的研究在普通心理学中，人们为了研究思维，着重研究解决问题过程中的思维．随着心理学的发展，尤其是认知心理学的产生，问题解决成其为一个十分热门的重要课题［1］．心理学中研究问题解决，目的在于揭示问题解决过程中所反映的心理规律．其内容主要包括：问题解决的实质及心理机制；问题解决的一般心理过程；问题解决的策略；影响问题解决的各种心理因素；问题解决的理论体系．
1．2教育学中的研究本世纪初，美国教育家杜威，把关于“思维就是问题解决”的结论应用于教育学之中，在《我们怎样思维》（1905）一书中引入了“问题解决”，提出“通过问题解决进行学习”、“做中学”的教学思想．当然这只是问题教学的雏型，比较完整的要算马赫穆托夫（前苏联教育科学院院土）的问题教学理论［2］．这个理论的产生是基于为了实现当代科技革命给前苏联学校提出的培养目标——培养每个学生的独立认识能力和创造能力．马氏的问题教学理论内容比较丰富，主要包括：问题教学的理论基础（认识论，逻辑——心理学），基本范畴（问题与问话，问题与任务，学习性问题与科学性问题，问题的提出和解决），基本含意，原则体系，实施方法、特点、功能、效果等．
1．3数学中的研究由于“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满了生命力；而问题的缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止”．（希尔伯特语）所以，可以说数学的发展（或发明发现）过程就是不断提出问题并不断解决问题的过程．于是有志于反思发明发现过程的数学家们就致力于数学问题解决的研究（详见系列文献［3］、［4］、［5］、［6］、［7］）．
1．4数学教育学中的研究数学教育的一个重要目的就是要提高学生的解题能力，所以解题研究是解题教学和提高学生解题能力的基础．数学教育中的解题研究，最富有成效、也是最有影响的莫过于波利亚的数学解题理论．《怎样解题》（1944）、《数学与猜想》（1954）、《数学的发现》（1961）三本名著的出版和发行，引起了世界许多国家数学教育工作者的极大关注，至今乃至今后仍将产生深远的影响．不过，目前人们所谈及的数学问题解决研究，主要指80年代以后的研究，这一研究发端于1980年美国数学教师联合会研制的《关于行动的课程》，并逐步发展成为80年代以来世界各国数学教育改革和研究的一个共同关心的中心课题．难怪有人把“以问题解决为主导”的数学教育称之为本世纪数学教育改革的第三次浪潮［8］．本文涉及的主要是80年代以来人们对数学问题解决的认识及其研究．
2．1背景简要回顾继“新数运动”和“回到基幢之后，1980年美国数学教师联合会给第四届国际数学教育大会提交了一份纲领性报告：《关于行动的议程——关于80年代中学数学的建议》．这份文件明确地指出，“问题解决是80年代学校数学的核心”（第一条），“数学课程应当围绕问题解决来组织”，“数学教师应当创造一种使问题解决得以蓬勃发展的课堂环境”，“在问题解决方面的成绩如何，将是衡量数学教育成败的有效标准”．由此在世界各国掀起了以数学问题解决为主题的一系列数学教育改革和研究的热潮．应该说，20年来的改革和研究，成果令人鼓舞．人们经常例举的、把“问题解决”放到重要地位的报告（或文件、教材、文献）主要有：（美）《普及科学——美国2061计划（数学报告）》（1989），（英）《Cockeroft报告》（1982），（美）《everyCounts》（1989），《面向21世纪的中国数学教育》（严士健主偏，江苏教育出版社，1994）、《21世纪中国数学教育展望（Ⅰ）、（Ⅱ）》（21Cme课题组，北京师范大学出版社，1992，1995）；继1980年第四届国际数学教育大会之后的第五、六、七、八届，都把问题解决列为一个专题；美国《中小学校数学课程与评估标准》（1989）、英国《国家数学课程标准》（1989）、日本《小学算术、中学数学指导要领》（1989）等各国数学课程教学指导性文件以及“芝加哥大学中学数学教学设计”（UCSmp）等中学数学教材，无一不把培养问题解决能力作为重要的目的．
在国际数学问题解决潮流传入我国之后，我国数学教育工作者纷纷对此积极倡导和探索．张乃达先生在文［9］中，从我国的实际出发，指出“数学教育应该以解题为中心”，“解题教学正是达到教学目的的最好手段”；张奠宙先生在总结我国数学教育历史经验的基础上，认为“以问题解决为主导”是改革我国数学教育的突破口［10］；张国杰先生也提出问题解决将对数学教育与数学学习、对改善数学差生、对中考高考试题的改革等显示出它应有的威力［11］．
2．2研究范围及其主要内容综观国际数学问题解决与教学的研究和实践，其研究范围和内容概括起来主要包括四个方面：（1）问题系统研究；（2）问题解决系统研究；（3）问题（解决）教学系统研究；（4）问题教学的理论基础和研究方法研究．（详见文［12］）
2．3研究中的几个误区（1）对“问题”、“数学问题”的理解有偏差．显而易见，“问题”与“例题”、“习题”是不同的，那么“问题解决（教学）”包不包含“例题教学”、“习题教学”？实际上人们在大量研究中没有加以区分，显得比较混乱．
（2）对“数学问题”的分类比较混乱．为研究方便，对“数学问题”进行适当分类十分必要．然而由于分类标准难于确立，致使许多分类并不符合分类规则．比如，就有人对“常规”与“非常规”、“开放性题”提出质疑［13］．
（3）正是由于人们对“数学问题”的含义及分类认识不确定，也就必然导致对“问题解决”的理解存在偏差［14］．按照认知心理学的观点［15］，问题解决既包括创造性问题解决，也包括常规性问题解决，显然这是两种不同的形式，而人们在研究中也没有加以区分．
（4）“重视解题一直是我国中学数学的传统，仅据1991年我国有代表性的三种中学数学杂志的统计，全年发表的665篇文章中，属于数学试题和解题研究的文章有546篇之多，占文章总数的82．1％，每年公开发表的有关解题研究的文章，据不完全统计，其数量在5000篇以上”［16］．然而，如果我们认真审视一下这些研究，它对提高学生的解题能力、对促进数学教学改革，究竟有多大的作用和影响，结果将是十分令人失望的．
3．1对数学问题的界定关于“数学问题”的界定，文［17］将其各种定义概括为四种类型：（1）数学问题是一种需要行动的情况（代表人物：波利亚、贝尔等）；（2）数学问题是一种题系统（奥加涅相，戴再平等）；（3）数学问题是一种情境（曹才翰等）；（4）数学问题是一种集合（斯托利亚尔等）．文［17］的作者还提出了自己的观点．通常人们采用的数学问题的定义是：对人具有智力挑战特征的，没有现成方法、程序或算法可以解决的问题［18］．
另外，人们为了全面地刻画“数学问题”，通常用它的特点（或条件）来做补充．较为普遍的提法是［19］：接受性、障碍性和探究性．其他的提法可参见［17］、［20］．
3．2关于数学问题的分类如果从教学的目标和要求这个角度，任子朝先生把数学问题分为五类［21］：（1）识别练习问题；（2）算法练习问题；（3）应用问题；（4）开拓—探究问题；（5）问题情景．
如果从题的构成（通常分为三要素：初始状态a、解题过程B、最终状态C）来看，可以把数学题分为三种类型（七种形式）［22］：标准题（aBC）、封闭型变式题（aBz，ayC，xBC）以及开放型变式题（ayz，xBz，xyC）．其中x、y、z是对应于a、B、C的未知成分．
通常人们将数学问题分为两大类：数学自身的问题和数学应用题，而数学自身的问题又包括常规问题和非常规问题．
3．3“好问题”的特征“在数学的任何一个分支里都有好问题，并且好问题到处可以找到”，“没有‘好问题’我们就创造不出数学”．但何谓“好问题”，可能确实难以下一定义，“不过一个好问题总应当具有一些特征”，比如，“（1）问题的解答中包含着明显的数学概念和技能；（2）问题能够推广或扩充到各种情形；（3）问题有多种解法”．［23］另外许多文献（如［19］、［24］）中都涉及到“好问题”的七个特征．
3．4对习题的研究习题作为教科书的一个重要组成部分，人们也在研究，国内最有代表性的成果是文［25］；而且还在探索习题的改革，提出要不要在教材中编入开放题？开放题有哪些类型和特点？怎样编制开放题？又如何安排习题才有利于促进学生的发展？参见文［26］、［27］．
3．5对数学应用题的研究来自工农业生产和日常生活中、有实际背景的数学问题，在国外一直受到青睐．近年来也成为我国中学关注的热点之一．由张奠宙先生主持编写、华东师大出版社出版的《中学数学应用丛书》（已出版三本），在全国反响较大．《中学数学教学参考》等刊物每年也要登载一定数量的数学应用题及其研究成果，比如，文［28］把数学应用题区分为四个不同的层次；文［29］从数学本质的角度提出了数学应用的两个层次．
4．1对问题解决的理解在数学教育中，通常对问题解决的解释有五种［21］：（1）是一种教学目的；（2）是一个过程；（3）是一种数学活动；（4）是一种数学能力；（5）是一种教学形式．然而心理学中对此有这样三种不同的观点：（1）是指向某些目标的一系列智力运算；（2）是一种特殊类型的学习；（3）作为学习的反面．还有人从哲学的角度提出了问题解决的质和本质的概念［30］．
数学解决问题论文篇4
关键词：构造；转化；变换
中图分类号：G622文献标识码：B文章编号：1002-7661（2016）08-018-01
解决数学问题时，常规的思考方法是由已知到未知的定向思考。但有些问题按照这样的思维方式来寻求解决问题的途径却比较困难，甚至无从着手。这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考，找到一条绕过障碍的新途径。构造法就是这样的手段之一。
构造法的含义很广：一般认为，在解题过程中，为了实现条件向结论的转化，利用问题的特殊性设计一个新的关系结构系统去实现原问题的解决，这种思维活动的特点在于“构造”，所以称为构造思想。应用构造思想去发现数学理论和解决数学问题的具体方法称为构造法。构造法作为一种数学方法，它不同于一般的逻辑方法，需要一步一步地导求必要条件，直至推断出结论。它属于非常规思维，其本质特征是“构造”。用构造法解决问题，无一定之规，表现出思维的试探性，不规则性和创造性。构造解决问题的活动是一种构造性的思维活动。其关键是借助对问题特征的敏锐观察，展开丰富的联想，构造出满足问题条件的数学对象，使问题巧妙地获得解决。
一、构造函数法：
这种方法就是构造出与原命题相符合且关系密切的函数，从函数的角度观察、分析、解释命题，沟通命题中条件与结论的内在联系，从而使命题（或问题）得以解决。
例1、已知，求证：。
思路：因为与的和为，其积为1。根据这两数的结构形式，可构造函数：，与是=0的二根。
欲证原结论，只须证即可。
二、构造恒等式：
在解某些数学问题时，需要构造一个恒等式作铺垫，架起通向解题终点的“桥梁”。使问题迅速得以解决。
例2、已知，求分式的值。
思路：待求值式实际上已暗示我们，应设法构造一个恒等式，使之能利用已有的结论：
三、构造数列：
在处理与自然数n有关的命题时，可根据题目提供的特征，通过替换，设想并构造出一个与欲解（证）问题有关的数列，并对该数列的特征进行分析，常常可以由此探寻出解决问题的途径。
例3、求证：
思路：这种类型的问题通常用数学归纳法来证，下面试用构造数列的方法来解。
由以上讨论的几种方法及例题可以看出，应用构造法时应注意以下几点：
1、构造法是一种通过构造新的数学对象使原问题得以转化，从而解决问题的一种方法，所以，构造物的结构形式应尽可能的简单，以便于问题的解决，通过构造物这一媒介，应尽可能地使复杂问题简单化。
2、构造方法解决问题的过程比较直观，构造物必须是熟悉的，通过熟悉的构造物将难以入手的问题转化为熟悉的问题。
3、构造法解决问题具有很大的灵活性，针对某一问题如何进行构造，必须有很扎实的数学基础知识和数学经验。
参考文献：
[1]陈晨.构造法证不等式的思考途径[J].数学教学与研究2001.3
[2]石珂.构造图形解竞赛题[J]数学通讯.2001.9
数学解决问题论文篇5
关键词：高中数学参数苏教版
对于参数含义的理解，并没有一个固定的、标准的概念。通常来说，参数是一个变量，当我们解决生活当中某个实际问题时，可以利用函数加以计算解决，我们可以假设一些变量来描述事物之间的变化，则引入的变量可以理解为参变量或参数。这样的参数不会改变函数的性质，只是能够较为方便地帮助我们利用函数来研究实际问题。
参数问题广泛应用于高中数学教学的各个问题当中。在高考数学试卷中，不管是全国统一试卷，还是地方自主命题的高考数学试卷，对参数考查的题量越来越多。其类型通常分为两种：第一种是给定预设的结论，然后根据此结论去计算参数的取值范围；第二种为给定参数的取值范围，然后去计算可能出现的结论。那么，该用什么样的方法解决参数问题呢？笔者在本文根据自己的教学经验，浅谈参数问题的解决方法。
一、分类讨论法
分类讨论是解决一个比较复杂或者带有不确定性的问题的方法，这时需要把问题划分为几种可能性，然后针对每一种出现的可能性给出不同的解答。使用分类讨论法解决参数问题时，通常会对问题中所包含的条件、概念进行仔细的分析，然后根据解决问题的需要，把问题进行科学的分类，逐步加以讨论，得出正确的结论。如下题：动点a到原点o的距离为a，到直线L的距离为b（b=x-2），并且a+b=4，求点a的轨迹方程。根据题目当中的已知条件，我们很快就能列出方程：设点a所在的坐标为（x，y），根据a+b=4的题意可得出方程+=4。在@个题目中，必然会出现绝对值的参数值，为此我们要对所取得的值进行分类讨论，它有可能会大于零，也可能会小于零。当>0时，则x>2，当≤0时，则x≤2。分而讨论之，得结果如下：当―1≤x
二、数字与图形结合法
使用数字与图形结合法解决参数问题时，先得有坐标系的概念，然后弄明白方程与图形的对应关系，在应用时将方程的表达式和方程所表示的图形结合起来。我国著名数学家华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，由些可见数形结合在解决数学问题的重要性，它是研究数学问题的重要方法，可以把很多抽象的概念和复杂的问题形象化和简单化，从而使学生能够轻松地发现最佳的解题途径，减少大量的计算过程和解题过程。如下题：当方程x2+2bx+3b=0时，求得未知数x的取值范围为-1至3之间，求b的取值范围。这属于第一种类型的参数问题。在这个题目当中，方程的根的情况已基本上得以确定，所以应该把该方程所对应的函数的示意图画出来，通过图形来思考数字，把图形中所蕴含的不等式或不等式组找出来，就可以求出参数的取值范围。该题目的图形如下：
解题过程为：把方程x2+2bx+3b=0转换为函数f（x）=x2+2bx+3b，在该函数的图形中，一定会和x轴形成交点，如果要想使处于-1和3之间的根成立，当f（-1）>0，f（3）>0，并且=f（-b）
三、分类和数形结合法
在解决参数问题时，当遇到需要进行分类的参数时，如果能够把分类讨论法与数形结合法揉合在一起，分析所要解决的问题，则必然使参数问题更加形象化，学生在答题时就能够一目了然，尽快找到解题思路，采用最佳的解题方案，得到满意的答案。如下题：设函数f（x）=|x-1|+|x-2|，求：1、画出函数y=f（x）的图像；2、若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）（a≠0，a，bR）恒成立，求实数x的取值范围。此题目包含了两种类型的参数题型（根据此结论去计算参数的取值范围和给定参数的取值范围，然后去计算可能出现的结论）在解答第一小题时，首先要根据|x-1|和|x-2|对x的值进行分类讨论，才能确定函数y=f（x）的图像。解题步骤如下：当x≥2时，f（x）=2x-3；当1
在解答第二小题时，可以根据此图像的启发，解不等式2≥|x-1|+|x-2|，就可以得出x的取值范围1/2≤x≤5/2（前面的计算步骤省略）。
结语：参数问题在高中数学中的使用范围比较广泛，所以其在高中数学教学中的地位很重要，为此，高中数学老师要指导学生参悟此问题的解题方法，多做多练，提高学生的数学能力。
参考文献：
1.施远.高中数学参数方程的教学研究[D].信阳师范学院，2015.
数学解决问题论文篇6
关键词：分类讨论思想初中数学运用
中图分类号：G633.6文献标识码：C文章编号：1672-1578（2016）12-0073-01
1分类讨论思想在初中数学教学中的意义
分类讨论思想是一种抽象的思想，是一类解决数学问题的思维方式。它主要是将整体的数学概念转换为零散的小部分，全方位的解决各种数学问题，之后，又将零散的部分有条理地整合起来，得出有效可靠的总结。分类讨论思想符合学生初中阶段思维发展的特点，有效地帮助学生整理解决数学问题的思路，提高学生思考问题的思维能力、创新能力以及动手实践能力。分类讨论思想遵循“每级分类按同一标准进行、分类应逐级进行、同级互斥不得越级”的原则，通俗的说，就是数学题目中明确的对象要与讨论标准一致，要一步一步进行分类，要有层次地解决多次分类问题及相互矛盾的问题。在遵循原则的情况下，用分类讨论思想解决数学问题就具有一定的科学性，达到的发展能力效果也会更好。
2分类讨论的具体步骤
在用分类讨论思想解决初中数学问题时，不仅要遵循以上三原则，保证解题流程的科学性、严谨性、全面性，还要依据分类讨论的具体步骤操作。分类讨论的主要有“1、明确分类对象；2、明确分类标准；3、逐类分类、分级得到阶段性结果；4、用该级标准进行检验筛选结果；5、归纳作出结论。”这5个具体操作步骤。具体地说，在做初中数学题之前，首先看清题目具体的要求，然后确定分类讨论目标并对其进行分类讨论，其次，对一些复杂的问题进行全面性研究并筛选出进一步分类讨论结果，接着，要对分类讨论的结果进行反复归纳总结，最后，综合得出所要结果。这几个步骤概括的说无非就是一个从确定分类讨论目标及标准到分析筛选问题结果，再到综合归纳总结出结果的过程。在遵循原则的前提下又根据具体步骤操作，数学问题才能更好地、更科学地、更全面地得到解决。
3分类讨论思想在初中数学中的运用分析
3.1初中数学函数中分类讨论思想的运用
函数在数学中是最为重要的一块，因此，初中教师更应把握这点，巩固并发展学生在函数这方面的思维。函数通常有一次函数、二次函数、反比例函数等之分，学生通过分类讨论思想就能很好地解决这一类问题。如例题，某年杭州市生产运营水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和家庭用水各多少立方米？这道题可用方程来解决，但本题的目的是培养学生的思维定性，所以应该用方程函数相结合的方法解决这一题。首先设生产经营用水x亿立方米，居民家庭用水y亿立方米，再根据题意列出方程：x+y=5.8，y=5.8-x；y=3x+0.6.接着通过作出量个一次函数的图像并曲其图像的交点，最后得出结论。
3.2初中数学几何中分类讨论思想的运用
分类讨论思想在有关几何题目解决方面是很常见的，在学习三角形与特殊三角形定义及联系方面得知三角形的任意俩边之和大于第三边，等腰三角形有两边的长短相等、等边三角形三边的长短都相等的概念。如例题，已知三角形aBC周长为20厘米，aB=aC，其中一边边长是另一边边长的2倍，BC长多少？从这道题的已知条件可知，该题讨论的是有关等腰三角形三边关系的内容，这时学生应该回想教师课上所讲的相关知识，明白等腰三角形就是特殊的三角形，三角形的定义在等腰三角形上同样适用，然后开始分析题目。该题的解题思路有俩种情况，一种是aB=aC=2BC，即等腰三角形的俩等边是第三边的2倍，那么可以得出BC=4cm，aB=aC=8cm，可构成等腰三角形；另一种是BC=2aB=2aC，即等腰三角形的第三边是俩等边的2倍，那么可以得出BC=10cm，aB=aC=5cm，无法构成等腰三角形，因此答案只有第一种情况成立，4，4，8能构成等腰三角形的三边。
3.3初中数学方程中分类讨论思想的运用
在初中数学学习方面，学生对方程比较难把握，不知如何在具体情况下利用方程解决数学问题，教师应在一旁主动分析并引导学生采用多角度、更全面地分析解决数学问题，学生也应有效采用分类讨论的思想科学、严谨地解决方成问题，从而解决数学问题。如例题，试比较1+a与1-a的大小。这道题可采用作差法来解题，两个数量的大小可以通过它们的差来判断。此时分为三个情况，第一种情况：当a大于0，2a大于0，即（1+a）-（1-a）大于0，1+a大于1-a。第二种情况：当a=0时，2a=0，即（1+a）-（1-a）=0，1+a=1-a。第三种情况：当a小于0时，2a小于0，即（1+a）-（1-a）小于0，1+a小于1-a。最终结果就分以上三种。可见，分类讨论思想在初中数学中涉及很多方面，不管是函数、几何、还是方程等方面都需要它。
4结语
总而言之，分类讨论思想是一种抽象思维，是学生在初中学习数学阶段最应运用和发展的思维方式，它能提高学生解决数学问题的思维能力、创新能力以及实践能力，提高课堂效率以及听课质量，促进学生全方面的进步。
参考文献：
[1]宋凤英.分类讨论思想――解数学问题重要思想之三[J].数学大世界（初中版），2013（04）.
数学解决问题论文篇7
关键词：初中数学；三角形；分类讨论思想
一、问题提出
分类讨论思想的基本要求首先是不重复、不遗漏，分类讨论思想可以培养学生思维的连贯性和有序性，培养学生完整细致地分析问题的习惯和探索问题的能力，提高学生严谨的思维。通过研究发现，学生碰到这类问题常常不知道如何切入，更不知道要分类讨论解答，还有一类学生清楚分类讨论，但是分类不完整，其次分类完整的学生在计算的过程中也会出现一些小问题，而能完整解答的微乎其微。因此，教师教学中对这种解题思路方法的渗透显得尤为重要，学生要从平时的教学中积累和提炼、总结归纳。最后达到运用非常熟练，这将是一个漫长的吸收内化的过程。几何中的三角形中涉及分类讨论思想的题型有等腰三角形、直角三角形、相似三角形等；等腰三角形经常按顶角和低角分类、按底边或腰进行分类。直角三角形一般情况是按直角顶点分类。相似三角形中，当出现“aBC与DeF相似”或“以点a、B、C为顶点的三角形相似于DeF”时，由于点的对应关系不确定，通过分类讨论才能更清晰、更完整地解答。
二、核心概念
所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。分类思想可不像一般的数学知识那样，通过几节课的教学就可让学生掌握应用。而是要根据学生的年龄特征，学生在学习各阶段的认知水平，逐步渗透，螺旋上升，不断地丰富自身的内涵，从而达到利用数学分类讨论方法来解决问题的目的。分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性，对培养初中生全面、周密地分析问题和解决问题的能力起到了十分关键的作用。在初中数学教学中我们要时刻渗透分类思想，引导学生多利用分类讨论方法解决问题。
三、分类讨论思想解题的思维过程分析
在运用分类的思想进行解题时，其思维过程通常可以分为：（1）要明确是否需要分类讨论；（2）确定分类的对象；（3）确定分类的标准；（4）逐类逐级分类讨论；（5）综合、归纳结论。运用分类的思想解题首先需要明确分类讨论的原因，即哪些问题常常需要用到分类的思想来解决。大多数的学生在面对一个数学问题时，不易判断此问题是否需要用到分类的方法来解决该问题，即无法根据问题的条件和结论迅速辨认问题中与分类有关的数量关系或位置关系。因此，从所给的问题情境中，正确而迅速地辨认题目中与分类有关的数量关系或位置关系的，是解决问题的基础，一般的说，当我们研究的问题是下列几种的情形时，可以考虑使用分类的思想方法来解决问题。
在初中数学教学的过程中逐步恰当地渗透数学思想方法，培养学生的思维能力，让学生形成良好的数学思维习惯，既是符合新课程的标准，又是进行数学素质教育的一个极好的切入点。数学中的分类讨论思想不但是一种重要的数学思想，而且是一种重要的数学逻辑方法，分类思想不但在数学知识的探究和概念学习中十分重要，而且在解决数学问题过程中起着不可替代的作用。数学中的分类讨论思想，是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类进行研究，从而解决问题的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，更是一种重要的数学逻辑方法。
四、实例分析
【分析】分Cp=Co，pC=po和oC=op三种情况分别讨论即可。在每种情况下分别画出对应的图形，利用三角形相似的原理加以解决，本题对学生的能力要求较高，有的学生望而却步，有的学生可能只想到了其中的一种或两种情况。考虑到题目考查了分类讨论的思想，这样的学生已经是非常了不起了，接下来就要通过一些方法加以解决，笔者认为这道题只是常州中考题中涉及分类讨论思想的其中一例，还有很多就不一一列举。在今后的教学中还要加以提炼和总结，对不同层次的学生在渗透分类讨论思想的教学过程中还需要因人而异，不仅是分类讨论思想是这样，其他初中数学中涉及的思想方法应该加以研究落实。
参考文献：
数学解决问题论文篇8
关键字：直觉思维；数学问题解决中图分类号：G642.0文献标识码：B文章编号：1672-1578（2014）02-0008-01引言：直觉思维的重要性在我国数学教学中一直没有受到应有的重视，其实，直觉思维同逻辑思维在揭示数学问题的本质，以及内在规律性的问题方面，具有同等重要的作用。直觉思维充满创造性，它具有自由，灵活，自发，偶然等等特点。它没有完全的逻辑过程，是对问题的迅速回答，讲求的是猜想，是顿悟，是创新。事实证明，伟大的发现往往运用的正是直觉思维，而不是逻辑思维。例如，阿基米德的浮力定律的发现就是由洗澡引发的等等。随着科技的进步，时代的发展，与掌握基础知识相比，我们更加重视学生对于数学的能力的培养，帮助学生以数学的方式思考，以数学的眼光观察世界，处理问题。
1.对于直觉思维的理解
1.1直觉思维的含义。国内外的研究者对于"直觉"一词的含义的解释各不相同，存在着许多种的说法。但是都肯它的存在，以及在解决问题中发挥的重要作用。直觉思维是一种客观存在的，完全不同于逻辑思维的非逻辑思维方式，具体表现为，人们在遇到突发的新事物，新问题，需要解决时。运用已有的经验和认识，在整体上直接对问题加以认识以及把握，达到直接的领悟，是一种高度的简化的，浓缩的洞察问题，迅速的解决问题的思维方式。简单的说，就是从整体上对于所遇到的新问题，做出猜想，达到顿悟。
1.2直觉思维的特点。与逻辑思维相比，直觉思维具有明显的跳跃性。在数学问题的解决中，直觉思维是从整体上把握问题的性质以及特点，初步的做出结论性的判断，从而直接得出答案。而不是，按部就班的逻辑分析。
直觉思维的另一个突出的特点就是快速性。直觉思维不同于逻辑思维，在遇到一个问题时，对于问题的解决，要遵循一定的思维规律，要认真严谨的做出一步步的分析，得出的结论是严谨的，准确性强。而直觉思维，对于一个问题的解决是凭借的自己的过往的经验，以及已有的知识，立即的进行判断，快速的得出结论。
综合性也是直觉思维的特点。直觉思维对于问题的解决是从整体上进行的，对于问题的把握是从整体理解到触及问题的本质。因此，直觉思维是整体的，综合的。
偶然性是直觉思维的又一特点。直觉思维具有很强的个人的色彩，与个人的以往经验，认识水平都具有重要的关系，因此，在问题的解决上偶然性很大。
创造性是直觉思维的最重要的一个特点，直觉思维是属于无意识范畴的，因此，它的想象力是丰富多彩的，是发散性的。因此，对于问题的解决，更易做出创造性的答案。
2.直觉思维在数学问题解决中的作用
问题解决，是为了提高学生解决现实生活中的实际问题的能力，问题解决是一个创造性的活动。数学的学习本身就是为了解决实际问题的，因此，问题解决是数学的目的。而且，问题解决是数学学习的基本方法与技巧。直觉思维，在数学问题解决中起着重要的作用。
2.1直觉思维更加符合青少年的思维的习惯。青少年喜欢自由思考，喜欢无拘束。他们的逻辑思维的严密性还不足，在知识上也存在着，这样那样的缺陷，有时，能够说出问题的答案，却说不出原因。因此，直觉思维更加适合青少年的思维方式，在这时培养学生的直觉思维能力，根据他们不同的特点，教会他们直觉思维的方法，才能使学生得到数学学习的乐趣，从而激发学生学习数学的兴趣。
2.2培养学生的探索能力。直觉思维虽然强调顿悟，常常能创造出奇异的效果，是具有创造性的活动，因此能够培养学生的探索问题的能力。
2.3帮助问题的解决。在数学问题的解决过程中，我们常常会遇到，突然解决思路中断，逻辑思维阻塞，当各种尝试，各种方案的尝试都未能解决问题时，突然的顿悟，往往能帮助我们一下子理清思路，解决阻塞，从而得出全新的解决方案。
2.4培养创新力。人们在遇到新问题时，往往借助已有的知识经验，在新领域，新问题中塑造各种模型，然后在作出比较严格的理论，以及实践性的检验，从而获得创造性的突破。
3.直觉思维在数学问题解决中培养
直觉是人自然产生的，属于潜意识的范畴，但是，直觉也是可以通过后天的学习，训练加以培养的。对于数学问题解决中的直觉思维，是可以通过教师对于学生有意识的教育，训练而得到最大的发展的。
3.1扎实数学基础知识。直觉思维虽然具有一定的偶然性，但是这绝对不是单纯的凭空想象，而是以扎实的数学知识为基础的，如果学生不具备数学基本功，也就不能凭借经验对问题做出迅速的判断，从而得出答案了。因此扎实数学基础是最根本的任务。
3.1鼓励学生大胆猜想。所谓的数学猜想，就是指根据已有的数学经验，借助数学条件，以及相应的数学原理，对于未知的量或者未知的关系作出判断。这就需要，教师在讲解数学问题时，不是直接告诉学生公式定理，而是用一些特殊的例题，启发学生思考，使学生通过这些例题，大胆猜想，自己得出正确的公式原理。期间要允许学生犯错，教师要慢慢的耐心引导，以培养学生的猜想能力，并逐渐向正确的猜想方向发展。
3.3注重解题的教学。教师在教学中选择什么样的题目类型，对于直觉思维的培养也是很重要的。例如选择题的讲解训练对于学生数学直觉思维的培养就很重要。选择题的解题没有解题的过程，只需要学生从四个选项中找出正确的答案。这时，就可以通过合理的猜想，以节约大量宝贵的时间了。
总之，直觉思维在数学的问题解决中扮演着重要的角色。而且日益受到我国教育界的重视，本文通过对于直觉思维的理解，直觉思维在数学问题解决中的作用以及培养，系统的介绍了直觉思维。参考文献
[1]蒋景生.重视并发展学生解决数学问题中的直觉思维《试题与研究：新课程论坛》2012（15）
[2]王海兰，数学教学中如何培养学生的直觉思维《新课程（上）》2012（09）（3）赵思林，全.论述数学直觉思维的培养训练《数学教报》2010（01）
数学解决问题论文篇9
关键词：信息化；教学方法；教学改革；数学试验
中图分类号：G642文献标识码：a
文章编号：1009-0118（2012）08-0105-02
为适应新形势下军队建设发展对院校人才培养的新要求，军校面临的任务是不仅为学员打下坚实的理论基础，更要培养学员应用理论的意识和动手解决实际问题的能力。《数学实验》是一门以数学知识为基础、数学软件为平台，培养学员分析和解决经过简化的实际问题的综合性实践课程，在培养学员理论联系实际，提高学员综合运用数学知识和计算机技术分析和解决实际问题的能力等方面具有重要作用。
该课程是数学教学改革与研究的尝试，人们对该课程的内容体系并没有达成统一的理解与认识，并且国内外现有的教材为数很少，内容和形式差别很大。国内开设本课程的院校为数不多，因此国内外可借鉴的经验很少。我院早在2000年就开设了数学实验课程，经过近十年的摸索与实践，我们的教学效果初见成效，在每年的“大学生数学建模竞赛”中我们都能够取得优异成绩。
一、教学改革的背景
结合我院学员的实际情况以及培养目标，笔者认为开设课程的目的是为了增强学员的应用数学的思想和方法解决实际问题的意识和能力。经过多年的摸索与实践，以下几个方面需要探索和研究：
（一）教学内容体系的安排侧重于理论
本课程设置40学时，主要讲9个实验，每个实验安排2学时的理论课，配套2学时的上机实验课，选用的是清华大学的《数学实验》教材，在这9个实验中，其中有6个是有关数学方法的专题实验。在专题实验的学习中，个别实验存在着对理论的讲解过难、过深的问题，并且这种讲解对运用matLaB实现理论方法并未起到良好的效果。
再者，由于学时紧张，通常一个实验讲下来，学员普遍反映理论内容掌握不牢，命令应用不熟，最终影响到学员能力的培养。
（二）教学方法和手段的实施比较单一
由于该课程学时设置较少，我们只是选择性的讲9个实验，每个实验都是一次理论课配套一次上机课。在2个学时的理论课上，几乎所有的时间都是教员在讲，学员被动的接受，一些本应通过上机操作就能理解的问题，却要在理论课上耗费大量时间，而且学员没有经过自己动手尝试，碰到同类型的问题又会不知所措。现在的上机实验课以学员自行练习为主，这样，有些自我约束能力差的学员就会上网、玩游戏或干其它事情，浪费掉宝贵的上机时间，不能保证上机的效果。
针对上述存在的问题，我们将围绕着新形势下新型军事人才培养目标，结合我院学员的实际情况，提出关于信息化条件下本科《数学实验》课程内容体系和实施方法改革的一些构想，突出这门课程的应用性。
二、教学改革的内容
我们的改革目标是，在教学实践中逐步优化教学内容，灵活采取多种教学方法和手段，突出本课程的应用性，提高学员解决实际问题的能力。具体内容和拟解决的关键问题是：
（一）灵活讲解理论内容，协调理论与matLaB命令之间的关系
本课程的目的是用数学方法借助于计算机软件解决实际问题，因此教学思路应该是从问题出发，然后找到解决问题的方法，最终解决问题。按照这种教学思路，我们可以在实际教学中尝试把重点放在分析问题和解决问题这两个环节，对于方法的理论性适当降低要求，协调好理论与matLaB命令之间的关系。若matLaB工具箱中有现成的命令，可以弱化理论，重点放在如何应用命令上；如果matLaB中没有现成的命令可用，那我们就要以理论为基础进行编程，这时理论内容一定要分析透彻，也就是要灵活处理理论知识讲解的详略。
比如：“常微分方程数值解”中，求解常微分方程是在解决实际问题经常会遇到的问题，能求出精确解固然好，但在许多具体问题中难以实现，所以求数值解便是一种“曲线救国”的思想，从而对求数值解的欧拉方法和龙格——库塔方法先从理论上进行了讲解，然后给出matLaB的实现方法。由于在matLaB中没有欧拉方法的现成命令，所以要精讲理论，为学员编程打好基础，但是龙格——库塔方法，在matLaB工具箱中有现成的调用命令，从而对该方法的理论介绍可以弱化，而且龙格——库塔方法的理论内容更为晦涩，在此不应使理论冲淡应用这一主题，重点应放在如何运用命令上。但在清华大学的这本教材上，注重方法的原理、推导以及理论体系的完整性，对理论部分的讲解比较繁杂，这对解决实际问题的效果未必好。
通过对教学内容的适当调整，使学生掌握解决问题的基本方法，理解方法的主要思想，培养学员运用所学方法解决问题的能力。
（二）根据不同实验的难易程度合理安排课时，采取灵活的教学方法和手段充分调动学员的主动性和积极性
例如，第一个实验是matlab基础，学员已经有了C语言基础，授课时我们只需要把matlab自身的应用环境和特点讲解清楚，对于基础性语句可以尝试让学员上机时自己练习，这样就可以适当减少教员课上讲解的时间，给学员提供更多的动手练习的机会。为了保证上机的效果，我们可以借鉴数学建模的思路，把学员分组，提前布置上机的任务，然后以组为单位进行作业和练习的评比，充分调动每个学员的积极性和主动性，增强学员的动手能力。
三、教学改革的意义
当今世界科学技术发展日新月异，知识更新越来越快，知识的急剧膨胀使其有效时限大大缩短。在高新技术领域，知识衰减的速度为每年15％-20％，知识的半衰期已缩短至5年。美国未来学家阿尔文·托夫勒曾说过：“未来的文盲将不是目不识丁的人，而是不知道如何学习的人”。信息化条件下，部队人才的培养越来越强调一个新的理念，即毕业学员能够快速适应部队工作发展的需要，适应不断改进的工作方法和工作条件。部队所需要的军事人才必须具有较强的自主学习能力，能够在“干中学”，通过岗位自学来更新知识，提高能力，胜任工作，这对学员的创新能力提出了更高的要求。要实现上述培养目标，进行实践锻炼固然重要，然而良好的基础知识是创新成果诞生的良好基点。优秀的创新成果都是饱含科技含量的，没有坚实的知识积累和深厚的知识底蕴是不可能孕育出优良发明的。因此，为适应新形势下军队建设发展对院校人才培养的新要求，部队院校面临的任务不仅要为学员打下坚实的理论基础，更重要的是要在大学基础课程中注重学员学习能力、创新能力的培养，从而缩短毕业学员与新的工作岗位的磨合期，加快理论性知识向实用能力的转化速度，为提高学员日后的实际工作能力奠定基础。
参考文献：
［1］萧树铁.数学实验(第二版)［m］.北京：高等教育出版社,2006.
数学解决问题论文篇10
关键词：新课标高中数学数学方法论数学教学
如何按照数学家的思维模式去进行思维呢？我根据多年的教学经验给出数学方法论的涵义。
1.数学方法论的界定和分类
1.1界定。
我国著名数学家、数学方法论的倡导者徐利治先生指出：“方法论(methodology)就是把某种共同的发展规律和研究方法作为讨论对象的一门学问。”数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法，以及数学中的发现、发明与创造等法则的一门新兴学科。数学方法论很大程度上可以被说成对于数学思想（维）方法的研究，其目标就是帮助人们学会数学的思维。通过对具体数学事例的研究实现对真实思维过程的“理性重建”，获得各个方法论原则的深刻体会，并使之真正成为“可以理解的”“可以学到手的”和“能够加以推广应用的”。
1.2分类。
数学科学和数学史料是数学方法论的源泉，同时，数学方法论还涉及哲学、思维科学，心理学、一般科学方法论、系统科学等众多的领域。一般情况下，数学方法论分为以下两类：数学宏观方法论和数学微观方法论。
数学宏观方法论所研究的是整个数学的产生、形成和发展的规律，数学理论的构造，以及数学与其他科学之间的关系。研究宏观方法论的主要途径之一是研究数学史，另一条主要途径是研究数学理论体系的构造。
数学微观方法论所研究的是一些比较具体数学方法，特别是数学发现和数学创造的方法，包括数学思维方法、数学解题心理与数学解题理论，等等。
2.高中数学方法论的特点
数学方法对于数学的发展起着关键性的推动作用，许多比较困难的重大问题的解决，往往取决于数学概念和数学方法上的突破，如历史上古希腊三大尺规作图难题，就是笛卡尔创立解析几何之后，数学家们借助解析几何，采用了Rmi［关系(relationship)―映射(mapping)―反演(inversion)］方法，才得到彻底解决。这又启发了后来的数学家们采用类似的办法解决了欧氏几何与实数理论的相对相容性问题。
新课标下，高中数学教学特别强调数学思想和方法，主要表现在以下几个方面。
2.1数学方法论的理论研究得到了发展。
对数学方法论的早期研究，十七世纪就已经开始了，法国数学家笛卡尔和德国数学家莱布尼兹都曾做过这方面的探讨。历史上不少著名的大数学家，如欧拉、高斯、希尔伯特等人也曾就数学方法沦的问题发表过许多精辟的见解。但是，对数学方法论进行系统的研究，还是最近几十年的事，在这方面作了突出的贡献，当首推美国数学家和数学教育家波利亚。最近几十年来，由于现代电子计算机技术已经进入了人工智能和模拟思维的阶段，就更加促使数学方法论蓬勃发展起来；信息论，控制论、认知科学和人工智能的最新研究成果相继引进了数学方法论的领域。
1980年出版的《中学数学教材教法》中涉及“一些基本的数学思想和数学方法”，这里的数学思想和方法就是数学方法论。进入80年代之后，数学方法论有很大的发展。南京大学郑毓信教授在《数学方法论》一书中有一段意味深长的开头：“数学方法论现今对于我国数学界、特别是数学教育界已不是一个陌生的名称……”特别是在徐利治教授的倡导下，数学方法论的研究已经形成了一个影响全国的气候。
2.2数学方法论中的思想。
2.2.1抽象化思想。小学从具体事物的数量中抽象出数字，开创了算术运算的时期。中学用字母表示数，开创了在一般形式下研究数、式、方程的时期。高等代数用字母表示多项式、矩阵，开始研究具体的代数系统，进而又用字母表示满足一定公理体系的抽象元素，开始研究抽象的代数系统――向量空间、欧氏空间。随着概念抽象化程度不断提高，数学研究的对象急剧增加。
2.2.2化归思想。所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。中学数学中，化无理方程为有理方程，化分式方程为整式方程，化三元一次方程组为二元一次方程组直至一元一次方程，从一切角度利用诱导公式都可以化成锐角形式来求其三角函数值，这些都用到化归思想。总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化为熟悉，复杂化为简单，抽象化为直观，含糊化为明朗。
2.2.3分类讨论思想。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其分类的原则，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值的不同会导致结果的不同。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。
2.2.4类比推理思想。波利亚曾说：“类比是一个伟大的引路人。”在中学数学中，由两个数学系统中所含元素的属性在某些方面相同或相似，推出它们的其他属性也可能相同或相似的思维形式被称为类比推理，运用类比推理的模式解决数学问题的方法称为类比法。在中学数学中，由分数的性质类比推理分式的性质；由两直线的位置关系类比推理两平面的位置关系；中学数学通过数轴建立了直线上点的坐标，类比建立平面上和空间直角坐标系中点的坐标。
3.数学方法论对数学教学的意义
数学方法论对于数学教学的积极意义主要在于：以数学方法论为指导进行具体数学知识内容的教学有助于我们将数学课“讲活”、“讲懂”、“讲深”。
3.1数学课程目标改革的必然要求。
目前新课标下的数学课程改革，强调“情感态度与价值观”，强调数学学习的“过程与方法”，强调“探究与发现”。在这种理念下，要使数学新课程改得以有效实施，教师就必须加强和重视数学方法的学习和研究，这样对教材才有正确清楚的认识。
3.2数学课堂教学现代化的改革要求。
现在的数学课堂不再是单纯的“传授式”教学，新课标明确指出：“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。”意在进一步改变数学的教学模式，拓宽学生在数学教学活动中的空间，关注学生数学素养的提高。而数学方法论在教学实践中以“问题解决”为中心组织教学，强调“数学的思维”，把问题作为载体，将数学思维方法的分析渗透到具体数学知识内容的教学中，使学生真正看到思维的力量，并使之成为可以理解的、可以学会的和能够加以推广应用的知识。
3.3数学教师专业化发展的客观要求。
数学教师的专业发展，不仅要掌握深厚广博的数学基础，而且要了解数学发展的学科历史，掌握数学的思想方法，深刻领会数学的内在本质，懂得其来龙去脉及数学的价值。对于从事数学教学的教师，不能不懂得数学发现的原理、规则和思想方法，它们能使我们在数学教学中更好地驾驭教材，把数学教学变得更为生动，教出方法、教出发现、教出创新。因此，数学方法论是数学教师专业发展及自身成长的必备知识。
四、数学方法论在教学实践中注意的问题
数学方法论是一门实践性的学科，它在教学实践中主要体现在数学思想方法的教学和数学思维的培养。在教学中，应重视如何能将所学到的各种方法和策略应用到实际的数学活动中去，包括以数学思维方法的分析去带动和促进具体数学知识内容的教学。
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4.1关注学生最近发展区。
在贯彻数学思想方法地教学中，要关注学生的最进发展区，尽可能帮助学生掌握现代数学思想方法并根据学生的差异，采取不同的思想方法，帮助学生完成学习迁移。布鲁姆认为，教育的基本任务是找到这样的策略，既考虑到个别的差异，又能促进个体最充分地发展。因此，教师应尽可能设计有利于学生发展的教学环节，如在教学设计、课堂探究等过程中，都应该注意不同层次的学生能不同程度地领会数学思想方法，使全体学生尽量使用数学思想方法分析问题、解决问题，最终使每个学生的数学水平都有所发展。
4.2设计数学情境，培养数学直觉。
数学直觉是一种不包括普通逻辑推理过程的直接悟性，它的思维方式是有其特别之处的。培养直觉思维，我们还要从数学的发现过程入手证明问题。现行的数学教材都是经过逻辑加工好的数学形式，定理的证明及公式的推导一般都是按照编排好的逻辑演绎方式进行讲授。在证明问题前，如果能先将数学结论获得前的推测简要地重现给学生，或者将自己对结论的猜测告诉学生，又或者创设情境让学生去猜测、提出疑问等引导学生探索“发现”结论将有助于培养学生的数学直觉。比如说下面例题：
椭圆+=1的焦点F、F，点p是椭圆上的动点，当∠FpF为钝角时，求点p横坐标的取值范围。
分析：点p在椭圆上运动，要使∠FpF＞90°，凭借直觉，首先想到当∠FpF=90°时，点p的位置在哪里呢？又根据平面几何知识可知点p又在以FF为直径的圆周上，所以当∠FpF=90°时，点p为圆和椭圆的交点，由对称性有-＜x＜。
根据直觉思维考查问题，还要重视各个元素之间的联系，以及系统的整体结构，从整体上把握研究的内容和方向并选取数学问题供学生训练，同时引导学生利用已有的知识去猜想、发现、最后论证。“直觉无处不在，直觉为我们打开发现真理的大门”。直觉思维是人类基本的思维形式。在数学教学中进行上述思考和探索加上善于联想数形结合，就一定能提高学生的直觉思维能力。
参考文献：
［1］徐利治.数学方法论选讲［m］.华中工学院出版社，1983.
［2］马忠林，郑毓信.数学方法论［m］.南宁：广西教育出版社，2007.2.
［3］郑毓信.数学方法论入门［m］.浙江教育出版社，2008.
［4］张禾瑞，郝新.高等代数(第四版)［m］.北京：高等教育出版社，1999.
［5］波利亚.怎样解题［m］.上海科技教育出版社，2007.